Suma coeficienților binomiali

Formulă din tema Combinatorică, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}, C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + \dots + (- 1)^{n} C_{n}^{n} = 0 (n \geq 1)

Prima identitate se obține punând $a = b = 1$ în binomul lui Newton, a doua punând $a = 1$ și $b = - 1$ . Prima are și o citire directă: o mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi, iar grupându-le după numărul de elemente obții tocmai combinările. A doua spune că submulțimile cu număr par de elemente sunt tot atâtea câte cele cu număr impar. Capcană: a doua identitate cere $n \geq 1$ — pentru $n = 0$ suma este $1$ .

Exemplu: $C_{4}^{0} + C_{4}^{1} + C_{4}^{2} + C_{4}^{3} + C_{4}^{4} = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}$ . • Dintr-o clasă de $10$ elevi se pot forma $2^{10} = 1024$ de echipe diferite (numărând și echipa goală, și clasa întreagă). • $C_{5}^{0} - C_{5}^{1} + C_{5}^{2} - C_{5}^{3} + C_{5}^{4} - C_{5}^{5} = 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0$ .

Suma coeficienților binomiali

Continuă cu