Derivata de ordinul al doilea

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f^{\prime \prime }$ este derivata funcției $f^{\prime }$, deci se calculează derivând a doua oară; condiția prealabilă este ca $f^{\prime }$ să existe pe o vecinătate a lui $x_0$. Programa clasei a XI-a se oprește la ordinul doi, iar notația folosită este $f^{\prime \prime }$, nu $f^{(2)}$. Semnificația principală: semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă convexitatea — $f^{\prime \prime }\ge 0$ pe un interval înseamnă funcție convexă („ține apa”), $f^{\prime \prime }\le 0$ înseamnă concavă („varsă apa”). În mișcarea rectilinie, dacă $x(t)$ este poziția, atunci $v(t)=x^{\prime }(t)$ este viteza și $a(t)=v^{\prime }(t)=x^{\prime \prime }(t)$ este accelerația. Capcană: $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ singur nu înseamnă punct de inflexiune — trebuie și schimbarea semnului lui $f^{\prime \prime }$.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^3-3x$: $f^{\prime }(x)=3x^2-3$ și $f^{\prime \prime }(x)=6x$, care își schimbă semnul în $0$ — deci $0$ este punct de inflexiune. • Pentru $x(t)=t^3-6t^2+9t$: $v(t)=3t^2-12t+9$ și $a(t)=6t-12$.