Inversa prin metoda Gauss-Jordan: formulă

Formulă din tema Determinanți și matrice inversabile, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Se scrie un singur tablou cu $n$ linii și $2n$ coloane: în primele $n$ coloane matricea $A$, în ultimele $n$ matricea unitate $I_n$. Se aplică numai operații elementare pe linii ($L_i\leftrightarrow L_j$, $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cu $\alpha \ne 0$, $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i\ne j$), aceleași pe tot rândul, până când în primele $n$ coloane apare $I_n$; atunci ultimele $n$ coloane conțin exact $A^{-1}$, adică $b_{ij}$ sunt elementele inversei. Dacă pe parcurs apare o linie nulă în partea stângă, matricea nu este inversabilă și calculul se oprește. Metoda este de preferat de la ordinul $3$ în sus: nu cere niciun determinant. În tablou nu apare o bară despărțitoare: primele $n$ coloane sunt matricea $A$, ultimele $n$ sunt $I_n$ — iar la final, $A^{-1}$.

Exemplu: Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$: $\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right)\stackrel{L_1\leftrightarrow L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 2& 1& 1& 0\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& -1& 1& -2\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow (-1)L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 1& -1& 2\end{array}\right)\stackrel{L_1\leftarrow L_1-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& -1\\ 0& 1& -1& 2\end{array}\right)$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ ✓.