Vectori în plan: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Dreapta în plan, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a IX-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a IX-a; celelalte formule de la tehnologic ale temei sunt la finalul paginii „Dreapta în plan”.

Săgeata $\overrightarrow{AB}$ merge de la $A$ la $B$. Primul rând: vectorii puși cap la cap se adună, iar într-un paralelogram $ABCD$ diagonala $\overrightarrow{AC}$ este suma laturilor care pornesc din $A$. Al doilea: $k$ și $l$ sunt numere reale, $\vec{u}$ și $\vec{v}$ vectori; modulul se înmulțește cu $|k|$, iar înmulțirea se distribuie față de adunare. Al treilea: pentru $\vec{u}\ne \vec{0}$, doi vectori sunt coliniari exact când unul este multiplu real al celuilalt. Al patrulea: orice $\vec{v}$ se scrie cu doi vectori necoliniari $\vec{a}$, $\vec{b}$ și coeficienți unici $x$, $y$. Capcană: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ cere ca $ABCD$ să fie paralelogram, nu orice patrulater. Control: refă suma și regăsești vectorul.

Exemplu: Un padoc are forma paralelogramului $ABCD$, cu $AB=24$ m și $AD=15$ m. Regula triunghiului dă $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, iar cum $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, rezultă regula paralelogramului: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Hrănitoarea $M$ stă la mijlocul diagonalei: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Adăpătoarea $P$ e pe latura $AB$, la $18$ m de $A$: $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$, coliniar cu $\overrightarrow{AB}$, cu $|\overrightarrow{AP}|=\frac{3}{4}\cdot 24=18$ m. Poarta $Q$ e pe latura $DC$, la $6$ m de $D$: $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, deci în descompunerea după $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AD}$ are coeficienții $x=\frac{1}{4}$ și $y=1$. Verificare: $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$, iar $18+6=24$ m.