Test tehnologic: vectori și drepte în coordonate

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a X-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Supliment Bac M3 2027–2029: geometrie în coordonate

Exerciții

Partea I – Calcule scurte (30 de puncte)

Exercițiile 1–6 au câte 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Pe planul unei plăci de montaj, în milimetri, sunt trasate punctele $A (- 3, 5)$ , $B (4, 1)$ și $C (9, 8)$ . Determină coordonatele punctului $D$ pentru care patrulaterul $A B C D$ este paralelogram.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se dau vectorii $u (- 3; 4)$ și $v (- 1; - 6)$ , cu coordonatele în centimetri. Care este modulul vectorului $7 u + 3 v$ ?

Variantele: a) „34 cm”; b) „26 cm”; c) „ $2440$ cm”; d) „ $476$ cm”.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Dreptele $d_{1} : 8 x + m y - 5 = 0$ și $d_{2} : 7 x - 4 y + 6 = 0$ sunt perpendiculare, unde $m$ este un număr real. Determină numărul $m$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 2)$ , $B (7, 10)$ și $C (- 4, 12)$ . Determinați lungimea înălțimii din vârful $C$ în triunghiul $A B C$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Pe planul unei hale, în metri, o conductă urmează dreapta de ecuație $12 x + 35 y - 38 = 0$ , iar o pompă se află în punctul $P (8, - 8)$ . Calculează distanța de la pompă la conductă.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Triunghiul $A B C$ are, în metri, vârfurile $A (- 4, 6)$ și $B (8, - 3)$ , iar centrul lui de greutate este punctul $G (5, 2)$ . Determină coordonatele vârfului $C$ .

Partea a II-a – Hărți, cabluri și linii electrice (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a II-a are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Pe harta unei ferme, cu scara 1 : 25 000 (un centimetru pe hartă înseamnă 250 m pe teren), puțul de apă al fermei este originea $O (0, 0)$ a unui reper cu axele spre est și spre nord. Conducta de irigații merge în linie dreaptă de la puț până la hidrantul $H_{1}$ , aflat pe hartă în punctul $(3, 2; 2, 4)$ , apoi tot în linie dreaptă până la hidrantul $H_{2}$ , aflat în punctul $(- 3, 2; 7, 2)$ , coordonatele fiind în centimetri pe hartă.

a) (5 puncte) Scrie vectorul $O H_{1}$ cu coordonatele în metri pe teren și calculează lungimea tronsonului de conductă dintre puț și $H_{1}$ .

b) (5 puncte) Calculează lungimea tronsonului de conductă dintre $H_{1}$ și $H_{2}$ , în metri.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Pe planul unei hale, în metri, un electrician întinde un cablu drept între stâlpii $A (- 2, 1)$ și $B (10, 10)$ . Un al treilea suport trebuie montat pe același cablu, în punctul $C (22, y)$ .

a) (5 puncte) Determină ordonata $y$ pentru care punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt pe aceeași dreaptă.

b) (5 puncte) Scrie ecuația dreptei care trece prin $B$ și este perpendiculară pe cablu, arată că punctul $D (1, 22)$ se află pe ea și calculează distanța $B D$ .

Exercițiul 9 (10 puncte)

Pe planul unei zone industriale, în metri, o linie electrică aeriană urmează dreapta de ecuație $3 x + 4 y - 85 = 0$ . Regulamentul interzice orice construcție la mai puțin de 8 m de linie, pe oricare dintre părțile ei.

a) (5 puncte) Scrie ecuațiile celor două drepte care mărginesc zona de protecție.

b) (5 puncte) Care dintre construcțiile $H_{1} (14, 12)$ , $H_{2} (30, 15)$ și $H_{3} (8, 5)$ se află în zona de protecție?

Partea a III-a – Cerințe ca la examen și o problemă de sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a III-a are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Cele trei cerințe de mai jos sunt independente.

a) (5 puncte) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 10, 7)$ , $B (9, 3)$ și $C (1, - 5)$ . Calculați lungimea medianei din vârful $A$ a triunghiului $A B C$ .

b) (5 puncte) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (12, 10)$ și $B (6, 2)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin mijlocul segmentului $A O$ și este paralelă cu dreapta $A B$ .

c) (5 puncte) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 3, 9)$ , $B (9, 3)$ și $C (- 3, - 3)$ . Determinați lungimea medianei din vârful $B$ a triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Pe schița unei linii de laminare, în centimetri, o bandă de tablă trece în linie dreaptă, pe dreapta de ecuație $5 x + 12 y - 14 = 0$ ; grosimea benzii se neglijează. O rolă de presare are centrul în punctul $P (3, 14)$ și atinge banda.

a) (5 puncte) Calculează raza rolei.

b) (5 puncte) Determină coordonatele punctului $F$ în care rola atinge banda.

c) (5 puncte) O a doua rolă, identică, apasă banda din partea cealaltă, în același punct $F$ . Determină coordonatele centrului $P^{'}$ al celei de-a doua role și distanța $P P^{'}$ dintre cele două centre.

Barem și răspunsuri

În barem, fiecare rezolvare e desfăcută pe pași, iar paranteza de după pas arată câte puncte valorează; o rezolvare diferită, dar corectă, valorează la fel. Pașii numiți „Verificare” nu poartă puncte, iar răspunsurile finale sunt îngroșate. Un rezultat corect, dar nejustificat, nu ia punctele unui subpunct din Partea a III-a.

Exercițiul 1.

În paralelogramul $A B C D$ vectorii laturilor opuse sunt egali, $A B = D C$ (1 p). Coordonatele lui $A B$ sunt $(4 - (- 3); 1 - 5) = (7; - 4)$ (2 p). Din $D C = (9 - x_{D}; 8 - y_{D}) = (7; - 4)$ rezultă $x_{D} = 9 - 7 = 2$ și $y_{D} = 8 + 4 = 12$ , deci $D (2; 12)$ (2 p). Verificare: diagonalele $A C$ și $B D$ au același mijloc, fiindcă $\frac{- 3 + 9}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$ și $\frac{5 + 8}{2} = \frac{1 + 12}{2} = 6, 5$ . Cine scrie $A B = C D$ obține $D (16; 4)$ , adică alt patrulater.

Exercițiul 2.

Vectorul $7 u + 3 v$ are coordonatele $(7 \cdot (- 3) + 3 \cdot (- 1); 7 \cdot 4 + 3 \cdot (- 6)) = (- 24; 10)$ (2 p). Modulul lui este $(- 24)^{2} + 1 0^{2} = 676 = 26$ , deci alegi varianta $b)$ (2 p). Variantele rămase nu convin: $2440$ este modulul lui $7 u - 3 v = (- 18; 46)$ , 34 este suma $24 + 10$ a valorilor absolute ale coordonatelor, iar $476$ vine din $2 4^{2} - 1 0^{2}$ , adică din scăderea pătratelor în loc de adunarea lor (1 p). Verificare: $2 6^{2} = 676 = 576 + 100$ .

Exercițiul 3.

Panta lui $d_{2}$ este $\frac{7}{4}$ , fiindcă $4 y = 7 x + 6$ (1 p). Pentru $m \neq = 0$ , din $m y = - 8 x + 5$ rezultă că panta lui $d_{1}$ este $- \frac{8}{m}$ (1 p). Dreptele sunt perpendiculare când produsul pantelor este $- 1$ : $- \frac{8}{m} \cdot \frac{7}{4} = - 1$ (1 p), adică $\frac{14}{m} = 1$ și $m = 14$ (2 p). Verificare: pentru $m = 14$ , panta lui $d_{1}$ este $- \frac{8}{14} = - \frac{4}{7}$ , iar $- \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} = - 1$ . Valoarea $m = 0$ nu convine: $d_{1}$ ar fi verticală, iar $d_{2}$ nu este orizontală. Cine pune produsul pantelor egal cu $1$ obține $m = - 14$ .

Exercițiul 4.

Verificăm că $C A^{2} = (- 4 - 1)^{2} + (12 - 2)^{2} = 125$ și $C B^{2} = (- 4 - 7)^{2} + (12 - 10)^{2} = 125$ , deci triunghiul este isoscel, iar piciorul înălțimii din $C$ este mijlocul lui $A B$ , adică $D (4, 6)$ (3 p). Înălțimea este $C D = (- 4 - 4)^{2} + (12 - 6)^{2} = 100 = 10$ (2 p). Verificare: panta lui $A B$ este $\frac{10 - 2}{7 - 1} = \frac{4}{3}$ , panta lui $C D$ este $\frac{12 - 6}{- 4 - 4} = - \frac{3}{4}$ , iar produsul lor este $- 1$ , deci $C D ⊥ A B$ .

Exercițiul 5.

Distanța cerută este modulul valorii expresiei $12 x + 35 y - 38$ în punctul $P$ , împărțit la rădăcina pătrată din suma pătratelor coeficienților lui $x$ și $y$ : $\frac{∣12 \cdot 8 + 35 \cdot ( - 8 ) - 38∣}{1 2 ^{2} + 3 5 ^{2}}$ (2 p). Numărătorul este $∣96 - 280 - 38∣ = 222$ , iar $144 + 1225 = 1369 = 37$ (2 p). Distanța este $222 : 37 = 6$ m (1 p). Verificare: punctele $U (9, - 2)$ și $V (- 26, 10)$ sunt pe conductă, fiindcă $12 \cdot 9 - 70 - 38 = 0$ și $- 312 + 350 - 38 = 0$ , iar $U V = 3 5^{2} + 1 2^{2} = 37$ ; triunghiul $P U V$ are aria $\frac{∣8 \cdot ( - 12 ) + 9 \cdot 18 + ( - 26 ) \cdot ( - 6 ) ∣}{2} = 111$ m², deci distanța este $\frac{2 \cdot 111}{37} = 6$ m. Cine uită să împartă la $37$ obține $222$ m.

Exercițiul 6.

Abscisa centrului de greutate este media absciselor vârfurilor, $x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}$ (1 p). Din $5 = \frac{- 4 + 8 + x _{C}}{3}$ rezultă $x_{C} = 15 - 4 = 11$ (2 p), iar din $2 = \frac{6 - 3 + y _{C}}{3}$ rezultă $y_{C} = 6 - 3 = 3$ (2 p). Verificare: $\frac{- 4 + 8 + 11}{3} = 5$ și $\frac{6 - 3 + 3}{3} = 2$ . Cine ia punctul $G$ drept mijlocul lui $A B$ obține altă poziție a lui $C$ .

Exercițiul 7.

a) (5 p) Un centimetru pe hartă înseamnă 250 m pe teren, deci $O H_{1} = 250 \cdot (3, 2; 2, 4) = (800; 600)$ m (2 p). Lungimea tronsonului este modulul vectorului: $80 0^{2} + 60 0^{2} = 1000000 = 1000$ m (3 p). Verificare: pe hartă lungimea este $3, 2^{2} + 2, 4^{2} = 16 = 4$ cm, iar $4 \cdot 250 = 1000$ m. Cine citește scara ca 1 cm pentru 25 m obține 100 m, de zece ori prea puțin.

b) (5 p) Pe hartă, $H_{1} H_{2} = (- 3, 2 - 3, 2; 7, 2 - 2, 4) = (- 6, 4; 4, 8)$ cm (2 p), iar lungimea lui este $6, 4^{2} + 4, 8^{2} = 64 = 8$ cm (1 p). Pe teren tronsonul are $8 \cdot 250 = 2000$ m (2 p). Verificare: în metri, $H_{1} H_{2} = (- 1600; 1200)$ , iar $160 0^{2} + 120 0^{2} = 2000$ .

Exercițiul 8.

a) (5 p) Panta dreptei $A B$ este $\frac{10 - 1}{10 - ( - 2 )} = \frac{3}{4}$ (2 p). Punctele sunt pe aceeași dreaptă când panta dreptei $B C$ este tot $\frac{3}{4}$ : $\frac{y - 10}{22 - 10} = \frac{3}{4}$ (1 p), deci $y - 10 = 9$ și $y = 19$ (2 p). Verificare: panta dreptei $A C$ este $\frac{19 - 1}{22 - ( - 2 )} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ .

b) (5 p) Perpendiculara pe cablu are panta $- \frac{4}{3}$ (1 p), deci ecuația ei este $y - 10 = - \frac{4}{3} (x - 10)$ (1 p). Pentru $x = 1$ se obține $y = 10 - \frac{4}{3} \cdot (- 9) = 10 + 12 = 22$ , deci $D (1, 22)$ este pe ea (1 p). Distanța este $B D = (1 - 10)^{2} + (22 - 10)^{2} = 81 + 144 = 15$ m (2 p). Verificare: panta lui $B D$ este $\frac{22 - 10}{1 - 10} = - \frac{4}{3}$ , iar $\frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3}) = - 1$ . Cine ia pentru perpendiculară panta $- \frac{3}{4}$ schimbă doar semnul și nu inversează fracția.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Dreptele cerute sunt locul punctelor aflate la 8 m de linie, deci $\frac{∣3 x + 4 y - 85∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 8$ (2 p). Cum $9 + 16 = 5$ , rezultă $∣3 x + 4 y - 85∣ = 40$ , adică $3 x + 4 y - 85 = \pm 40$ (1 p). Cele două drepte sunt $3x + 4y - 45 = 0$ și $3x + 4y - 125 = 0$ (2 p). Verificare: cele două drepte sunt paralele cu linia, iar distanța dintre fiecare și linie este $\frac{∣ - 45 + 85∣}{5} = \frac{∣ - 125 + 85∣}{5} = 8$ .

b) (5 p) Distanțele la linie sunt $\frac{∣3 \cdot 14 + 4 \cdot 12 - 85∣}{5} = \frac{5}{5} = 1$ m pentru $H_{1}$ (1 p), $\frac{∣3 \cdot 30 + 4 \cdot 15 - 85∣}{5} = \frac{65}{5} = 13$ m pentru $H_{2}$ (1 p) și $\frac{∣3 \cdot 8 + 4 \cdot 5 - 85∣}{5} = \frac{41}{5} = 8, 2$ m pentru $H_{3}$ (1 p). Doar $H_{1}$ este la mai puțin de 8 m, deci în zonă se află construcția $H_{1}$ (2 p). Verificare: $3 x + 4 y$ trebuie să fie între 45 și 125 pentru un punct din zonă; $H_{1}$ dă $90$ , $H_{2}$ dă $150$ , iar $H_{3}$ dă $44$ , adică $H_{3}$ scapă la doar 0,2 m de limită.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Mijlocul lui $B C$ este $M (\frac{9 + 1}{2}, \frac{3 - 5}{2}) = (5, - 1)$ (2 p). Lungimea medianei este $A M = (- 10 - 5)^{2} + (7 + 1)^{2} = 225 + 64 = 289 = 17$ (3 p). Verificare: $M$ este la jumătatea lui $B C$ pe ambele axe, fiindcă $9 - 5 = 5 - 1$ și $3 - (- 1) = - 1 - (- 5)$ .

b) (5 p) Panta dreptei $A B$ este $\frac{2 - 10}{6 - 12} = \frac{4}{3}$ , iar dreapta $d$ are aceeași pantă (2 p). Mijlocul lui $A O$ este $(6, 5)$ , deci $y - 5 = \frac{4}{3} (x - 6)$ , adică $y = \frac{4}{3} x - 3$ (3 p). Verificare: pentru $x = 6$ se obține $8 - 3 = 5$ .

c) (5 p) Punctele $A$ și $C$ au aceeași abscisă, $- 3$ , iar mijlocul lui $A C$ este $M (- 3, 3)$ (2 p). Mediana este $B M = (9 + 3)^{2} + (3 - 3)^{2} = 12$ (3 p). Verificare: $B M$ este orizontală, iar $A C$ verticală, deci $B M$ este și înălțime, iar triunghiul este isoscel.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Raza este distanța de la centru la bandă, fiindcă rola atinge banda (1 p). Distanța este $\frac{∣5 \cdot 3 + 12 \cdot 14 - 14∣}{5 ^{2} + 1 2 ^{2}} = \frac{169}{13}$ (2 p), adică raza este $13$ cm (2 p). Verificare: $25 + 144 = 13$ și $15 + 168 - 14 = 169 = 1 3^{2}$ .

b) (5 p) Banda are panta $- \frac{5}{12}$ , deci perpendiculara din $P$ pe bandă are panta $\frac{12}{5}$ (1 p). Ecuația ei este $y - 14 = \frac{12}{5} (x - 3)$ , iar înlocuită în ecuația benzii dă $169 x = - 338$ , adică $x = - 2$ (3 p). Atunci $y = 14 + \frac{12}{5} \cdot (- 5) = 2$ , deci rola atinge banda în $F (- 2; 2)$ (1 p). Verificare: $5 \cdot (- 2) + 12 \cdot 2 - 14 = 0$ , iar $P F = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$ , egal cu raza.

c) (5 p) A doua rolă are aceeași rază și atinge banda în același punct, din partea cealaltă, deci centrul ei este simetricul lui $P$ față de $F$ , iar $F$ este mijlocul segmentului $P P^{'}$ (1 p). Rezultă $x_{P^{'}} = 2 \cdot (- 2) - 3 = - 7$ și $y_{P^{'}} = 2 \cdot 2 - 14 = - 10$ , adică $P^{'} (- 7; - 10)$ (2 p). Distanța dintre centre este $P P^{'} = 2 \cdot 13 = 26$ cm (2 p). Verificare: $(- 7 - 3)^{2} + (- 10 - 14)^{2} = 100 + 576 = 26$ .

Pentru părinți și profesori

Testul verifică partea de geometrie în coordonate a suplimentului din clasa a X-a, pe cele patru lecții ale ei: „Vectori în coordonate: sumă și scalar, tehnologic”, „Paralele și perpendiculare prin pante, tehnologic”, „Linii importante în coordonate, la tehnologic” și „Distanța punct–dreaptă: formula, tehnologic”. Reperul cartezian, distanța dintre două puncte și ecuația dreptei sunt lucrate în clasa a IX-a, iar derivata, care apare în unele cerințe despre tangente, ține de clasa a XI-a.

Punctaj: exercițiile valorează în total 90 de puncte, iar cu cele 10 puncte din oficiu lucrarea ajunge la 100.
Timp: 50 de minute.
Cum se lucrează: fără ajutor și fără calculator, cu foaia de calcul la îndemână; rădăcinile pătrate sunt alese astfel încât să iasă numere întregi, iar la Partea a III-a se scriu toate calculele, pentru că un rezultat corect, fără pași, nu ia punctele subpunctului. Pentru fiecare exercițiu, ghidajul oferă o primă alegere între patru răspunsuri, apoi cere câte un număr, iar răspunsurile greșite vin cu explicația greșelii. Îl pornești doar dacă te blochezi.
Între 90 și 100 de puncte: geometria în coordonate e stăpânită.
De la 75 la 89 de puncte: pornești ghidajul și reiei numai exercițiile la care ți-au lipsit puncte.
De la 60 la 74 de puncte: te întorci la lecțiile din tabel doar pentru exercițiile rezolvate sub jumătate dintre puncte, iar testul îl refaci după o săptămână.
Sub 60 de puncte: treci în ordine prin cele patru lecții și lucrezi testul cu ghidajul pornit de la primul exercițiu.
Formule de reținut: coordonatele unui vector se află scăzând coordonatele punctului de plecare din cele ale punctului de sosire, iar suma și produsul cu un număr se fac pe fiecare coordonată; modulul unui vector cu coordonatele $a$ și $b$ este $a^{2} + b^{2}$ ; panta dreptei prin două puncte cu abscise diferite este variația ordonatei împărțită la variația abscisei; două drepte neverticale și distincte sunt paralele dacă au aceeași pantă, iar două drepte neverticale sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este $- 1$ ; mijlocul unui segment are coordonatele mediilor, iar centrul de greutate al unui triunghi are coordonatele mediilor celor trei vârfuri; distanța de la un punct la dreapta $a x + b y + c = 0$ se obține împărțind modulul valorii expresiei $a x + b y + c$ în punctul dat la rădăcina pătrată din suma pătratelor lui $a$ și $b$ , cu $a$ și $b$ care nu sunt amândouă nule.

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 2, 7	coordonatele unui vector, suma, produsul cu un număr și modulul	Vectori în coordonate: sumă și scalar, tehnologic
3, 8, 10 b)	panta, paralelismul, perpendicularitatea, ecuația unei drepte	Paralele și perpendiculare prin pante, tehnologic
4, 6, 10 a) c)	mediana, înălțimea și centrul de greutate al unui triunghi	Linii importante în coordonate, la tehnologic
5, 9, 11	distanța de la un punct la o dreaptă, drepte la distanță dată	Distanța punct–dreaptă: formula, tehnologic

Marcajul „tip Bacalaureat M3” îl au exercițiile 4 și 10: ele păstrează formatul unor cerințe din Subiectul I al probelor oficiale (lungimea înălțimii, lungimea unei mediane, ecuația unei drepte paralele cu o dreaptă dată), cu puncte noi și rezultate noi.

Programa și examenul. Testul aparține suplimentului pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029. Vectorii cu coordonate, condițiile de paralelism și de perpendicularitate, liniile triunghiului și distanța de la un punct la o dreaptă sunt în programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), pe când programa nouă (OMEC 6930/2025, Anexa 3, clasa a X-a) le include doar parțial. În probele oficiale 2013–2026, liniile importante ale triunghiului (medianele și o înălțime) au apărut în 5 probe, toate la Subiectul I, iar paralelismul în 2 probe, la Subiectul I și la Subiectul al III-lea; vectorii și distanța de la un punct la o dreaptă lipsesc deocamdată din probe, dar pot apărea, deoarece programa le cuprinde. La examenul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6), paralelismul și distanța de la un punct la o dreaptă revin în geometria analitică, la profilul MAT_P3 (unitatea XI.3), iar paralelismul și la profilul MAT_P4 (unitatea XII.2); vectorii și liniile triunghiului ies din programa de examen. Elevii care intră în clasa a IX-a în 2026–2027 sau mai târziu dau examenul din 2030 încolo (OMEC 4138/2026), iar promoțiile intrate în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 dau Bacalaureatul M3 în 2027, 2028 și 2029.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.