Nedeterminarea infinit minus infinit și expresia conjugată: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Limite de funcții și continuitate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XI-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XI-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Limite de funcții și continuitate”.

La o diferență de forma $\infty -\infty$ în care intră un radical de ordinul al doilea, singura unealtă este amplificarea cu expresia conjugată: termenii de grad maxim se reduc, iar diferența devine un raport, lămurit apoi împărțind numărătorul și numitorul prin $x$. Operația nu încheie exercițiul, ci mută problema. Spre $-\infty$ lucrurile se schimbă: acolo scăderea devine o adunare de mărimi pozitive și crește nemărginit, nehotărâtă fiind suma $\sqrt{x^2+bx+c}+x$; tot acolo, scoaterea lui $x$ din radical lasă $\sqrt{x^2}=|x|=-x$, deci apare un minus și cele două capete dau rezultate opuse. Ca să împarți prin $x$ o expresie aflată sub radical, radicandul se împarte la $x^2$.

Exemplu: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}=\frac{6}{2}=3$, adică tocmai $\frac{b}{2}$ pentru $b=6$.