Numărul e ca limită de șir

Formulă din tema Limite de șiruri, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Șirul $e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ este crescător și mărginit (între $2$ și $3$), deci convergent prin teorema lui Weierstrass; limita lui definește numărul $e$, baza logaritmului natural. Ultimele două forme sunt cele de lucru: important este ca exponentul să fie inversul cantității adunate la $1$. Ele rezolvă nedeterminarea $1^{\infty }$: se aduce paranteza la forma $1+x_n$, se completează exponentul la $\frac{1}{x_n}$ și se corectează înmulțind cu ce lipsește. Capcană: fără nedeterminare nu se aplică — dacă baza tinde la un număr diferit de $1$, se calculează direct.

Exemplu: $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{3}{n}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left[{\left(1+\frac{3}{n}\right)}^{\frac{n}{3}}\right]}^3=e^3$. • $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n+1}{n+2}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{n+2}\right)}^n=e^{-1}$.