Ecuația reciprocă de gradul al patrulea: formulă (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — toate formulele temei → ·

Formulă din tema Polinoame, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XII-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Polinoame”.

a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0 : x^{2} y = x + \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2 \Rightarrow a y^{2} + b y + (c - 2 a) = 0

Lista coeficienților se citește la fel în ambele sensuri, cu zerouri puse la termenii care lipsesc; de aici două urmări: termenul liber nu este nul, deci $0$ nu poate fi soluție — ceea ce face legitimă împărțirea cu $x^{2}$ —, iar soluțiile se grupează câte două, fiecare cu inversul ei. Fiecare valoare a lui $y$ se duce apoi în $x^{2} - y x + 1 = 0$ , cu discriminantul $y^{2} - 4$ : peste $2$ în valoare absolută ies soluții reale, sub $2$ ies nereale. La gradul al treilea nu e nevoie de substituție, fiindcă $- 1$ este rădăcină.

Exemplu: $x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ dă $y^{2} - 5 y + 6 = 0$ , deci $y \in {2, 3}$ ; din $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ iese $x = 1$ (dublă), iar din $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ies $x = \frac{3 \pm 5}{2}$ .

Ecuația reciprocă de gradul al patrulea: formulă (M2, științe ale naturii)

Continuă cu