Legea probabilității totale

Formulă din tema Probabilități, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Evenimentele $A_1,\dots ,A_n$ formează un sistem complet: sunt două câte două incompatibile, reuniunea lor este evenimentul sigur și fiecare are probabilitate strict pozitivă, deci $P(A_1)+\dots +P(A_n)=1$. Formula însumează, pe fiecare scenariu, probabilitatea scenariului înmulțită cu probabilitatea lui $B$ în acel scenariu. Rezultatul este o medie ponderată a valorilor $P(B\mid A_i)$, deci se află obligatoriu între cea mai mică și cea mai mare dintre ele — un control care prinde imediat greșelile de calcul. Capcană: nu se amestecă bilele din urne diferite; amestecul dă același răspuns doar când urnele au tot atâtea bile.

Exemplu: Urna $U_1$ are $3$ bile albe și $2$ negre, urna $U_2$ are $1$ albă și $4$ negre; se alege o urnă la întâmplare, apoi o bilă din ea. Atunci $P(\text{alba˘})=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{10}+\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$ — valoare cuprinsă, cum trebuie, între $\frac{1}{5}$ și $\frac{3}{5}$. ✓