Trigonometrie: valori și reducere, la tehnologic

Formulă din tema Trigonometrie, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a IX-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a IX-a; celelalte formule de la tehnologic ale temei sunt la finalul paginii „Trigonometrie”.

Pe cercul de rază $1$, punctul $M(x)=(\cos x,\sin x)$ are abscisa $\cos x$ și ordonata $\sin x$, iar $\pi$ radiani înseamnă $180^{\circ }$. Primul rând spune că pătratele lor adunate dau $1$. Următoarele trei duc un unghi din cadranul II, III sau IV la unghiul de referință $x$ din primul cadran: $\pi -x$, $\pi +x$, $2\pi -x$. Tangenta e ordonata împărțită la abscisă, deci cere abscisa nenulă. Capcană: la $\pi +x$ sinusul și cosinusul își schimbă semnul, dar tangenta nu, fiindcă ordonata și abscisa se schimbă amândouă. Control: semnul fiecărei valori se potrivește cu cadranul, iar pătratele coordonatelor dau $1$.

Exemplu: O roată de autoutilitară are raza de $0,36$ m. Ventilul stă pe obadă, la unghiul $\theta$ față de orizontala axului, deci la înălțimea $h=0,36+0,36\sin \theta$ față de sol. Pentru $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$: $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, deci $h=0,54$ m. Pentru $240^{\circ }=180^{\circ }+60^{\circ }$: $\sin 240^{\circ }=-\sin 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $h\approx 0,05$ m. Pentru $315^{\circ }=360^{\circ }-45^{\circ }$: $\sin 315^{\circ }=-\sin 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $h\approx 0,11$ m. Pistolul de umflat cere cel puțin $0,08$ m de la sol: ventilul de la $240^{\circ }$ nu e accesibil, cel de la $315^{\circ }$ da. Pe orizontală, la $150^{\circ }$: $0,36\cos 150^{\circ }=-0,36\cos 30^{\circ }\approx -0,31$ m. Verificare: ${\cos }^{2}150^{\circ }+{\sin }^{2}150^{\circ }=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$.