Teorema lui Fermat: definiție

Fie $f:I\to \mathbb{R}$, cu $I$ interval, și $x_0$ un punct de extrem local din interiorul lui $I$. Dacă $f$ este derivabilă în $x_0$, atunci $f^{\prime }(x_0)=0$. Ipoteza „din interior” este esențială, iar reciproca este falsă. Nu o confunda cu „mica teoremă a lui Fermat” (pentru $p$ prim și $a$ întreg, $a^p-a$ se divide cu $p$) sau cu „marea teoremă a lui Fermat” (ecuația $x^n+y^n=z^n$ nu are soluții în numere naturale nenule pentru $n\ge 3$), care țin de teoria numerelor.

Exemplu: Pe $[0,1]$, funcția $f(x)=x$ are extremele în capete, unde derivata nu se anulează; iar $f(x)=x^3$ are $f^{\prime }(0)=0$ fără să aibă extrem în $0$.

Vezi și: Punct critic, Punct de extrem local, Teorema lui Rolle