Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrala definită: F(b) − F(a)

Cum calculez integrala din f(x) minus un termen?

Scazi întâi termenul din $f$ , sub integrală, apoi aplici formula Leibniz–Newton pe ce rămâne: o primitivă $F$ , valorile ei în capete, diferența. Exemplu: $f (x) = 6 x^{2} + 16 x + 13$ și $\int_{1}^{2} (f (x) - 16 x) d x$ . Rămâne $6 x^{2} + 13$ , cu primitiva $F (x) = 2 x^{3} + 13 x$ , deci $F (2) - F (1) = 42 - 15 = 27$ . Proba: derivata lui $F$ este $6 x^{2} + 13$ , adică funcția rămasă.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Când $f$ este un ritm sau o viteză, numărul $\int_{a}^{b} f (x) d x$ spune cât s-a acumulat între cele două capete: litri dintr-un debit, kilograme dintr-un ritm de lucru, milimetri dintr-o viteză. Formula Leibniz–Newton îl află din două valori ale unei primitive: dacă $f$ este continuă pe $[a, b]$ și $F$ este o primitivă a ei, atunci $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

Calculul are trei mișcări, în ordinea aceasta: scrii o primitivă, o evaluezi în cele două capete, apoi scazi valoarea din capătul de jos din cea din capătul de sus. Primitiva se ia fără constantă. Înainte de primitivă pregătești funcția: dacă enunțul scoate un termen din $f$ , îl scazi sub integrală și integrezi ce a rămas.

Patru capcane de evitat. Valoarea din limita de jos se calculează, nu se presupune zero: $e^{0} = 1$ , iar $ln 1 = 0$ . O fracție cu numitor de gradul întâi cere în față inversul coeficientului lui $x$ . La cerința „Arătați că …” păstrezi $e$ și $ln$ în rezultat. Intervalul nu are voie să conțină un punct în care funcția nu este definită.

Verifici în două feluri: derivezi primitiva și regăsești funcția dată, apoi controlezi unitatea: ea provine din unitatea funcției și unitatea variabilei, înmulțite între ele.

De reținut

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ , cu $F$ o primitivă a lui $f$ pe $[a, b]$
termenul scos din $f$ se scade sub integrală, înaintea primitivei
în capătul de jos primitiva se evaluează efectiv: $e^{0} = 1$ , $ln 1 = 0$

Greșeala tipică

Se adună termenul în loc să se scadă: la exemplul de mai sus, $f (x) + 16 x = 6 x^{2} + 32 x + 13$ dă $106 - 31 = 75$ în loc de $27$ .

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră funcția $f (x) = \frac{1}{x + 13}$ . Pe care dintre intervalele de mai jos poți aplica formula Leibniz–Newton funcției $f$ ?
- a) $[- 15; - 10]$
- b) $[- 13; - 8]$
- c) $[2; 15]$
- d) $[- 20; - 13]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $[2; 15]$

Numitorul $x + 13$ se anulează pentru $x = - 13$ , nu pentru $x = 13$ , deci intervalul nu are voie să conțină $- 13$ , nici în interior, nici într-un capăt. Doar $[2; 15]$ respectă condiția, chiar dacă el conține $13$ : cine citește rădăcina ca $13$ îl respinge tocmai pe el. Varianta a) conține $- 13$ în interior, iar b) și d) îl au drept capăt, care face și el parte din interval.
Funcția $f : R \to R$ are primitiva $F (x) = x^{3} + 4 e^{x}$ . Cât este $\int_{0}^{2} f (x) d x$ ?
- a) $4 e^{2} + 4$
- b) $4 e^{2} + 8$
- c) $4 e^{2} + 12$
- d) $- 4 e^{2} - 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4 e^{2} + 4$

Formula dă direct $\int_{0}^{2} f (x) d x = F (2) - F (0)$ , cu $F (2) = 8 + 4 e^{2}$ și $F (0) = 0 + 4 e^{0} = 4$ , deci rezultatul este $4 e^{2} + 4$ . Varianta $4 e^{2} + 8$ ia $F (0)$ egal cu zero, deși $e^{0} = 1$ . Varianta $4 e^{2} + 12$ adună cele două valori, iar $- 4 e^{2} - 4$ le scade în ordinea inversă.
Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = 15 x^{2} + 6 x + 7$ . Cât este $\int_{1}^{3} (f (x) - 6 x) d x$ ?
- a) $192$
- b) $144$
- c) $168$
- d) $156$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $144$

Scazi mai întâi: $f (x) - 6 x = 15 x^{2} + 7$ , cu primitiva $F (x) = 5 x^{3} + 7 x$ . Atunci $F (3) - F (1) = 156 - 12 = 144$ . Varianta $192$ adună $6 x$ în loc să-l scadă, varianta $168$ nu face reducerea, iar $156$ uită să scadă $F (1)$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă termenul scos din f are semnul minus?

Îl elimini tot prin reducere, adunându-l: pentru $f (x) = 9 x^{2} - 10 x + 13$ , cerința $\int_{0}^{2} (f (x) + 10 x) d x$ lasă $9 x^{2} + 13$ , cu primitiva $F (x) = 3 x^{3} + 13 x$ , deci $F (2) - F (0) = 50 - 0 = 50$ . Controlul: după reducere nu mai rămâne niciun termen de gradul întâi.

Iese la fel dacă scad termenul după integrare?

Da, fiindcă integrala unei diferențe este diferența integralelor (liniaritatea, din lecția despre primitivele uzuale), doar că drumul e mai lung. Pentru $f (x) = 6 x^{2} + 16 x + 13$ pe $[1; 2]$ , $\int_{1}^{2} f (x) d x = 51$ și $\int_{1}^{2} 16 x d x = 24$ , iar $51 - 24 = 27$ , ca prin reducere.

Ce valoare are primitiva în capătul de jos?

O calculezi de fiecare dată, fără să presupui zero. La $\int_{1}^{5} \frac{3}{x} d x$ , $F (x) = 3 ln x$ chiar dă $F (1) = 0$ , deci rezultatul este $3 ln 5$ ; la $\int_{0}^{3} 2 e^{x} d x$ , însă, $F (0) = 2 e^{0} = 2$ , iar rezultatul este $2 e^{3} - 2$ .

Cum verific primitiva găsită după reducere?

O derivezi termen cu termen și trebuie să obții funcția rămasă după reducere, nu pe $f$ . Pentru $f (x) = 12 x^{3} + 5 x + 8$ și cerința cu $f (x) - 5 x$ , primitiva $3 x^{4} + 8 x$ are derivata $12 x^{3} + 8$ , adică exact $f (x) - 5 x$ ; dacă la derivare regăsești tot $f$ , ai sărit reducerea.

Cum apare integrala definită în probele oficiale?

Integrala definită a apărut în 83 de probe M_tehnologic din 2013–2026, la problema 2 din Subiectul al III-lea. Ca la orice cerință de calcul, scrii primitiva și cele două valori pe rânduri separate, apoi scazi.

Oamenii mai întreabă și: integrala din f(x) minus o parte a lui f · cum reduc funcția înainte de primitivă · integrala lui f(x) minus termenul de gradul întâi · formula Leibniz-Newton după reducerea funcției