Leibniz–Newton la tehnologic: calcul în 3 pași

Trei pași dau integrala definită a unei funcții continue: scrii o primitivă, îi calculezi valorile în cele două capete ale intervalului și scazi. Calculul poartă numele de formula Leibniz–Newton. În clasa a XII-a de la liceul tehnologic îl faci aici pe o baterie pusă la redresor într-un service auto: afli câți amperi-oră a primit, din curenții notați de mecanic. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), integrala definită se cere în Subiectul al III-lea, la problema 2.

Situația de pornire

O autoutilitară a intrat într-un service auto fiindcă mașina nu mai pornea dimineața. Testerul arată că bateria ei, de 74 Ah, mai are doar 38 Ah, deci îi lipsesc 36 Ah. Mecanicul o pune la redresorul atelierului, care are numai un ampermetru: arată curentul din fiecare clipă, în amperi (A), nu și câți amperi-oră (Ah) au intrat în baterie. Fișa de lucru a service-ului cere ca bateria să primească cu un sfert mai mult decât îi lipsește, adică 45 Ah, fiindcă o parte din curent se pierde la încărcare (valori din exemplu). Mecanicul citește ampermetrul când are timp: la pornirea redresorului, după o oră, după trei ore, la prânz și la sfârșitul turei de 8 ore.

Întrebare: câți amperi-oră primește bateria până la prânz, în primele 4 ore, și câți după-amiază, între ora 4 și ora 8? Ajunge tura pentru cei 45 Ah ceruți de fișă?

De la situație la model

Citește coloana curenților. În prima oră curentul scade cu 0,45 A. De la ora 1 la ora 3 scade cu 0,9 A, adică tot cu 0,45 A pe oră, de la ora 3 la ora 4 iar cu 0,45 A, iar de la ora 4 la ora 8 scade cu 1,8 A, adică din nou cu 0,45 A pe oră. Scăderea pe oră e aceeași, deci curentul urmează o dreaptă: $I(t)=6,8-0,45t$, cu $t$ în ore de la pornirea redresorului, pe durata turei, $0\le t\le 8$.

Redresorul n-are contor de amperi-oră, dar mecanicul îl poate construi. Curentul arată cât de repede cresc amperii-oră primiți, deci numărul lor e funcția a cărei derivată este curentul, adică o primitivă a curentului (vezi primitiva unei funcții). Cantitatea dintre două momente e diferența a două citiri. Programa de examen definește integrala definită tocmai așa. Pentru o funcție continuă $f$ pe intervalul $[a,b]$, integrala definită este numărul

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

unde $F$ este o primitivă oarecare a lui $f$ pe $[a,b]$. Aceasta e formula Leibniz–Newton. Demonstrația ei nu se cere.

De ce se scad două citiri și ce se întâmplă cu constanta?

Între ora 3 și ora 5 bateria a primit $F(5)-F(3)=28,375-18,375=10$ Ah. Un contor care n-a fost adus la zero și arăta deja 15 Ah la pornire ar fi arătat cu 15 Ah mai mult la ambele ore, $43,375$ și $33,375$, iar diferența ar fi rămas 10 Ah. Din același motiv, două primitive care diferă printr-o constantă dau aceeași valoare, așa că nu scrii constanta în rezultat.

Cum pregătești funcția când enunțul scoate din ea o parte?

La Bacalaureatul M3, în 41 dintre cele 83 de probe din 2013–2026, cerința a) a problemei 2 a dat o funcție $f$ și a cerut integrala lui $f(x)$ minus o parte a lui $f$. Mai întâi faci scăderea, apoi integrezi ce a rămas. De exemplu, la $f(x)=6x^3+4x+1$ și $\int (f(x)-4x)dx$ ai de integrat doar $6x^3+1$. Reducerea se face sub integrală, nu pe rezultat, și îți scutește primitiva lui $4x$.

Metoda pas cu pas

1. Verifică intervalul și pregătește funcția. Ea trebuie să fie continuă pe $[a,b]$: fără numitor care se anulează, fără rădăcină dintr-un număr negativ. Dacă enunțul scoate din $f$ un termen, fă mai întâi scăderea și integrează doar ce rămâne. Dacă unitățile nu se potrivesc, de pildă debit în m³/h și timp în minute, le aduci la același fel acum.
2. Scrie primitiva, primul dintre cei trei pași de calcul. Ia fiecare termen pe rând din primitivele uzuale, fără constantă. La $\frac{1}{3x+4}$, spre deosebire de $\frac{1}{x}$, primitiva are în față factorul $\frac{1}{3}$. Derivează $F$: trebuie să obții exact funcția de integrat.
3. Calculează cele două valori, al doilea pas: $F(b)$ și $F(a)$, fiecare pe rândul lui, cu unitatea. La limita de jos nu presupune zero: $e^0=1$, iar $\ln 1=0$.
4. Scade, al treilea pas: $F(b)-F(a)$, cu valorile de la pasul 3. Dă rezultatul cu unitatea lui. La „Arătați că …” lasă $e$ și $\ln$ în rezultat, fără aproximări.
5. Verifică în două feluri. Mai întâi unitatea: ea e cea a funcției înmulțită cu cea a variabilei, deci amperi ori ore dă amperi-oră. Apoi caută un al doilea drum, independent de calcul: o mărime măsurată, ca citirea testerului, o parte integrată separat, funcția rescrisă în alte unități sau, la o ecuație, valoarea găsită pusă înapoi în ea. Un rezultat care nu iese pe ambele drumuri te trimite înapoi la pasul 2.

Calculul propriu-zis înseamnă pașii 2–4. Pasul 1 pregătește, pasul 5 controlează. Ce vine după, proprietățile care leagă mai multe integrale, e în lecția despre integrala pe tronsoane. Ariile și volumele, cu tot restul anului, sunt pe traseul clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

Se aplică numai când $f$ e continuă pe $[a,b]$ și $F^{\prime }=f$ pe tot intervalul. Constanta nu se scrie. Primitivele termenilor le iei din lecția despre primitive uzuale. Verificare rapidă: derivezi primitiva și obții funcția de integrat; rezultatul are unitatea funcției înmulțită cu cea a variabilei.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Bateria de la redresor

Domeniu: auto.

Enunț. Reluăm bateria din situația de pornire: curentul este $I(t)=6,8-0,45t$ A, pentru $0\le t\le 8$ ore. Aflați câți Ah primește bateria între orele 0 și 4 și câți între orele 4 și 8. Ajung cei 45 Ah ceruți de fișă?

Rezolvare. Pasul 1: funcția e continuă pe $[0;8]$ și nu are nimic de redus. Pasul 2, primitiva, termen cu termen: primitiva lui $6,8$ este $6,8t$, iar a lui $0,45t$ este $0,225t^2$, fiindcă derivata lui $t^2$ este $2t$. Deci $F(t)=6,8t-0,225t^2$, iar derivând obții $6,8-0,45t$, adică exact curentul. Pasul 3, valorile:

$$F(4)=6,8\cdot 4-0,225\cdot 16=27,2-3,6=23,6$$

$$F(8)=6,8\cdot 8-0,225\cdot 64=54,4-14,4=40$$

iar $F(0)=0$. Pasul 4, scăderile: până la prânz bateria primește $F(4)-F(0)=23,6$ Ah, iar după-amiază $F(8)-F(4)=40-23,6=16,4$ Ah. În toată tura intră 40 Ah, cu 5 Ah mai puțin decât cere fișa, deci tura nu ajunge, iar bateria rămâne la redresor și după tură.

Capcană. Cine înmulțește curentul de la pornire cu durata obține $6,8\cdot 4=27,2$ Ah până la prânz, cu 3,6 Ah peste cât a intrat de fapt. Curentul scade pe parcurs, deci nu poate fi tratat ca fiind constant.

Verificare. Seara, testerul arată în baterie 70 Ah. După fișă, din fiecare 5 Ah primiți rămân în baterie 4, deci din cei 40 Ah ai turei rămân 32 Ah, iar $38+32=70$ Ah, cât arată testerul.

Exemplul 2 — Strugurii culeși într-o zi

Domeniu: agricol.

Enunț. O echipă mică culege struguri pe un teren cu viță de vie, într-o zi de lucru de 12 ore. Ritmul culesului, în kg pe oră, la ora $t$ de la începutul zilei, este aproximat de $q(t)=36t-3t^2$, pentru $0\le t\le 12$. Ritmul crește până la jumătatea zilei, apoi scade, iar la sfârșit echipa se oprește. a) Aflați câte kg strânge echipa între ora 3 și ora 8. b) Aflați câte kg strânge în toată ziua.

Rezolvare. Pasul 1: funcția e continuă pe $[0;12]$. Pasul 2: primitiva lui $36t$ este $18t^2$, iar a lui $3t^2$ este $t^3$, deci $F(t)=18t^2-t^3$, cu $F^{\prime }(t)=36t-3t^2$. Pasul 3, valorile:

$$F(3)=162-27=135,F(8)=1152-512=640,F(12)=2592-1728=864$$

Pasul 4: a) între ora 3 și ora 8 echipa strânge $F(8)-F(3)=640-135=505$ kg. b) În toată ziua strânge $F(12)-F(0)=864-0=864$ kg.

Capcană. Cine scade valorile funcției, nu pe ale primitivei, obține $q(8)-q(3)=96-81=15$. Unitatea trădează greșeala: 15 kg/h e un ritm, nu o cantitate.

Verificare. La sfârșitul zilei, brigadierul a numărat 48 de lădițe pline, de câte 18 kg. Cantitatea e $48\cdot 18=864$ kg, la fel ca la b).

Exemplul 3 — Cutii de detergent, pe baxuri

Domeniu: comert.

Enunț. După lansarea unei promoții, un magazin vinde în ziua $t$ de la lansare, pentru $t\ge 1$, aproximativ $r(t)=\frac{144}{t}$ cutii de detergent pe zi. a) Aflați câte cutii se vând între ziua 2 și ziua 9. b) Cutiile vin în baxuri de 12. Câte baxuri trebuie comandate pentru acest interval? Se dau $\ln 2\approx 0,693$ și $\ln 3\approx 1,099$.

Rezolvare. Pasul 1: funcția e continuă pe $[2;9]$, fiindcă $t$ nu ajunge la 0. Pasul 2: primitiva lui $\frac{1}{t}$ este $\ln t$, deci $F(t)=144\ln t$. Pasul 3: $F(9)=144\ln 9$ și $F(2)=144\ln 2$. Pasul 4: scăderea; logaritmii dați sunt ai lui 2 și 3, așa că scrii $9=3^2$, deci $\ln 9=2\ln 3$,

$$144\ln 9-144\ln 2=144(2\ln 3-\ln 2)\approx 144\cdot (2,198-0,693)=144\cdot 1,505=216,72$$

Se vând aproximativ 217 cutii. b) $216,72:12\approx 18,06$, deci trebuie 19 baxuri, adică 228 de cutii.

Capcană. Cine rotunjește 18,06 baxuri la cel mai apropiat număr întreg, 18, comandă 216 cutii, adică mai puține decât cele vândute. Baxurile se rotunjesc în sus, pentru că un bax nu se cumpără pe jumătate.

Verificare. Derivata lui $144\ln t$ este $\frac{144}{t}$, funcția din enunț. Calculatorul dă direct $\ln 4,5\approx 1,504$, iar $144\cdot 1,504\approx 216,6$ cutii, aproape de 216,72; diferența vine din rotunjirea lui $\ln 2$ și $\ln 3$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: integrala unei funcții fără o parte a ei

Domeniu: electric.

Enunț. Cerința de mai jos are forma celor de la Subiectul al III-lea, problema 2: e un calcul, fără poveste. Dacă $f(x)$ ar fi puterea unui aparat electric, în kW, iar $x$ timpul, în ore, integrala ar da energia, în kWh; funcția de aici nu descrie însă un aparat anume. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=12x^2+8x+e^x$. a) Arătați că ${\int }_0^1(f(x)-8x)dx=e+3$. b) Determinați numărul real $a$, $a>1$, astfel încât ${\int }_1^a(f(x)-e^x)dx=4a^3+28$.

Rezolvare. a) Pasul 1: funcția e continuă pe $[0;1]$. Scădem termenul $8x$ chiar din $f$, înainte de a căuta primitiva: $f(x)-8x=12x^2+e^x$. Pasul 2: o primitivă este $F(x)=4x^3+e^x$. Pasul 3: $F(1)=4+e$ și $F(0)=0+e^0=1$. Pasul 4: integrala este $(4+e)-1=e+3$. b) Reducem: $f(x)-e^x=12x^2+8x$, cu primitiva $G(x)=4x^3+4x^2$. Integrala este $G(a)-G(1)=4a^3+4a^2-8$. Ecuația devine $4a^3+4a^2-8=4a^3+28$, de unde $a^2=9$. Condiția $a>1$ lasă $a=3$.

Capcană. La punctul a), cine ia $F(0)=0$ obține $4+e$, adică cu 1 mai mult decât răspunsul corect. Pentru $e^x$, valoarea în 0 este 1.

Verificare. Derivata lui $F$ este $12x^2+e^x$, funcția de integrat. La b), cu $a=3$ ecuația dă $4\cdot 27+4\cdot 9-8=136$ și $4\cdot 27+28=136$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. a) Calculează ${\int }_1^3(9x^2-14x+11)dx$. b) Derivează primitiva folosită și compară-o cu funcția dată.

2. Calculează ${\int }_1^e\left(\frac{6}{x}+4x\right)dx$ și scrie rezultatul exact.

3. Calculează ${\int }_4^{16}(3\sqrt{x}+2)dx$. Pentru $\sqrt{x}$ folosește primitiva $\frac{2}{3}x\sqrt{x}$.

4. Calculează ${\int }_0^2(5e^x+11)dx$ și scrie rezultatul exact. Atenție la valoarea primitivei în 0, unde $e^0$ nu este zero.

Nivelul 2 — situații

5. La ștrandul unei stațiuni, turiștii trec prin turnichet după ce își cumpără biletul. La $t$ ore după deschidere, ritmul intrărilor, în turiști pe oră, este $q(t)=7t^2+22$: puțini dimineața, tot mai mulți spre prânz. Câți turiști intră între ora 1 și ora 4 după deschidere?

6. Două linii de umplere a borcanelor cu dulceață lucrează un schimb de 6 ore. La ora $t$ a schimbului, debitul liniei A, în borcane pe oră, este $r_A(t)=96+11t$, iar al liniei B este $r_B(t)=147-2t^2$. Care linie umple mai multe borcane în cele 6 ore și cu câte?

7. O pompă de beton are, la $t$ minute după pornire, debitul $q(t)=24+0,4t$, în m³/h. Câți m³ toarnă în primele 45 de minute?

8. La spălarea unui adăpost de animale, un robinet se deschide treptat, iar debitul apei crește după deschidere ca $q(t)=kt$, în l/min, cu $t$ în minute și $k$ o constantă. În primele 6 minute se consumă 63 l. Află $k$, cu unitatea lui, și debitul de la minutul 6.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x^3+5x^2+13$. Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-5x^2)dx=43$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=7x^2+3x+4$. Arătați că ${\int }_0^2\frac{1}{f(x)-7x^2}dx=\frac{1}{3}\ln \frac{5}{2}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=9x^2+4x+7$. Determinați numărul real $a$, $a>1$, pentru care ${\int }_1^{a}f(x)dx=3a^3+27$.

12. (Sinteză.) Într-o fabrică de mobilă, pompa care trimite adezivul vinilic la mașina de încleiat are un filtru care se încarcă treptat, așa că debitul scade pe parcursul schimbului. Adezivul are densitatea de 1,11 kg/l. Debitul, citit la orele 0, 2, 4 și 6 ale schimbului, este, în l/h, 11,6; 9,8; 8,0 și 6,2. a) Arată că tabelul e liniar și scrie $q(t)$. b) Câți litri trimite pompa între ora 2 și ora 6? c) Câte kilograme de adeziv reprezintă?

Răspunsuri și verificări

1. a) O primitivă este $F(x)=3x^3-7x^2+11x$, cu $F(3)=51$ și $F(1)=7$, deci integrala este $51-7=44$. b) $F^{\prime }(x)=9x^2-14x+11$, adică funcția dată. Verificare: pe termeni, ${\int }_1^{3}9x^{2}dx=78$, ${\int }_1^{3}14xdx=56$ și ${\int }_1^{3}11dx=22$, iar $78-56+22=44$.

2. Primitiva este $F(x)=6\ln x+2x^2$, cu $F(e)=6+2e^2$ și $F(1)=0+2$. Rezultatul exact este $2e^2+4$. Verificare: pe termeni, ${\int }_1^e\frac{6}{x}dx=6$ și ${\int }_1^{e}4xdx=2e^2-2$, iar suma e tot $2e^2+4$, aproximativ 18,78.

3. Primitiva este $F(x)=2x\sqrt{x}+2x$, cu $F(16)=128+32=160$ și $F(4)=16+8=24$. Rezultatul este 136. Verificare: separat, ${\int }_4^{16}2dx=24$ și ${\int }_4^{16}3\sqrt{x}dx=112$, iar suma e tot 136.

4. Primitiva este $F(x)=5e^x+11x$, cu $F(2)=5e^2+22$ și $F(0)=5$. Rezultatul exact este $5e^2+17$. Verificare: pe termeni, ${\int }_0^{2}11dx=22$ și ${\int }_0^{2}5e^{x}dx=5e^2-5$, iar suma e tot $5e^2+17$, aproximativ 53,95.

5. Primitiva este $F(t)=\frac{7t^3}{3}+22t$, cu $F(4)=\frac{448}{3}+88$ și $F(1)=\frac{7}{3}+22$. Diferența: 213 turiști. Verificare: partea constantă dă $22\cdot 3=66$ de turiști, partea cu $t^2$ dă 147, iar suma e 213.

6. Pentru A, $F_A(t)=96t+\frac{11t^2}{2}$, cu $F_A(6)=774$ de borcane. Pentru B, $F_B(t)=147t-\frac{2t^3}{3}$, cu $F_B(6)=882-144=738$ de borcane. Linia A umple mai multe, cu 36 de borcane. Verificare: integrala diferenței $r_A-r_B=2t^2+11t-51$ pe $[0;6]$ dă tot 36, iar $r_B(6)=75>0$.

7. Timpul e în minute, iar debitul în m³/h, deci întâi treci timpul în ore: cu $u=t/60$, debitul devine $q=24+24u$, iar 45 de minute înseamnă 0,75 h. Atunci ${\int }_0^{0,75}(24+24u)du=24\cdot 0,75+12\cdot 0,75^2=24,75$ m³. Verificare: integrând direct în minute, $24\cdot 45+0,2\cdot 45^2=1485$, în m³·min/h, iar împărțit la 60 dă tot 24,75 m³.

8. ${\int }_0^{6}ktdt=18k=63$, deci $k=3,5$ l/min². Debitul de la minutul 6 este $3,5\cdot 6=21$ l/min. Verificare: cu $k=3,5$, ${\int }_0^{6}3,5tdt=1,75\cdot 36=63$ l.

9. Reducem: $f(x)-5x^2=8x^3+13$. O primitivă este $F(x)=2x^4+13x$, cu $F(2)=58$ și $F(1)=15$. Integrala este $58-15=43$. Verificare: fără reducere, ${\int }_1^{2}f(x)dx=30+\frac{35}{3}+13$, iar ${\int }_1^{2}5x^{2}dx=\frac{35}{3}$; diferența e tot 43, dar calculul e mai lung.

10. Reducem: $f(x)-7x^2=3x+4$, iar $F(x)=\frac{1}{3}\ln (3x+4)$, pentru că $F^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{3x+4}=\frac{1}{3x+4}$. Valorile: $F(2)=\frac{1}{3}\ln 10$ și $F(0)=\frac{1}{3}\ln 4$. Integrala este $\frac{1}{3}(\ln 10-\ln 4)=\frac{1}{3}\ln \frac{5}{2}$. Verificare: numeric, $\ln 10-\ln 4\approx 2,3026-1,3863=0,9163$, iar $\ln 5-\ln 2\approx 1,6094-0,6931=0,9163$, deci scrierea $\ln \frac{5}{2}$ e corectă.

11. Primitiva este $F(x)=3x^3+2x^2+7x$, deci integrala este $3a^3+2a^2+7a-12$. Ecuația $3a^3+2a^2+7a-12=3a^3+27$ dă $2a^2+7a-39=0$, cu rădăcinile $3$ și $-\frac{13}{2}$. Condiția $a>1$ lasă $a=3$. Verificare: $3\cdot 27+18+21-12=108$, iar $3\cdot 27+27=108$.

12. a) Diferențele dintre debite sunt toate $-1,8$ la 2 ore, adică $-0,9$ l/h pe oră, deci $q(t)=11,6-0,9t$. b) $F(t)=11,6t-0,45t^2$, cu $F(6)=69,6-16,2=53,4$ și $F(2)=23,2-1,8=21,4$, deci 32 l. c) $32\cdot 1,11=35,52$ kg. Verificare: derivata lui $F$ este $11,6-0,9t$, adică $q(t)$; $q(6)=6,2$ l/h, valoarea din tabel; iar $35,52:1,11=32$ l.

Așa vine la Bac M3

Integrala definită a apărut în toate cele 83 de probe de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din anii 2013–2026, la Subiectul al III-lea, problema 2. În 80 dintre ele, chiar primul punct, a), cere o integrală calculată cu formula din lecție. Formele în care vine se văd în patru cerințe reale, luate din patru probe:

• Simularea din 2023, Subiectul al III-lea, exercițiul 2a: se dă un polinom de gradul al doilea și se cere integrala lui $f(x)$ minus termenul de gradul întâi, pe $[0;2]$, cu rezultatul 12, deci pasul 1 din Metodă reduce termenul, iar baremul probei dă 3 puncte pentru reducere și primitiva polinomului rămas, pasul 2, și 2 puncte pentru valoarea din cele două limite, pașii 3 și 4.
• Simularea din 2025, Subiectul al III-lea, exercițiul 2a: funcția are un termen $e^x$ și unul de gradul întâi, iar integrala cere $f(x)$ minus termenul de gradul întâi, pe $[0;1]$, cu rezultatul $e+1$, iar baremul probei dă 3 puncte pentru reducere și primitivă, pașii 1 și 2, și 2 puncte pentru valoare, unde pasul 3 cere $e^0=1$.
• Modelul din 2026, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: după ce reduci termenul pătratic din $f$, la numitor rămâne o expresie de gradul întâi, iar integrala fracției pe $[0;2]$ are rezultatul $\frac{\ln 5}{2}$, deci baremul probei dă 3 puncte pentru reducere și primitivă, cu factorul $\frac{1}{2}$ de la pasul 2, și 2 puncte pentru valoarea de la pașii 3 și 4.
• Iunie 2017, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: limita de sus a integralei e necunoscuta $a$, iar integrala trebuie să fie egală cu cubul lui $a$ micșorat cu 2, deci baremul probei dă 3 puncte pentru valoarea integralei, un polinom în $a$, la pașii 2–4, și 2 puncte pentru ecuația care se reduce la un pătrat egal cu zero, de unde $a=2$, iar pasul 5 din Metodă cere să înlocuiești $a=2$ în ecuație.

Exercițiile 9–11 au trei dintre aceste forme: reducerea urmată de primitiva unui polinom, fracția cu numitor de gradul întâi și limita de sus necunoscută. Forma cu $e^x$, unde contează $e^0=1$, e în exemplul 4 și în exercițiul 4.

Greșeli care costă puncte

• Iei valoarea primitivei în limita de jos egală cu zero fără să calculezi → cum o prinzi: înlocuiești efectiv, $e^0=1$ și $\ln 1=0$; cu $e^0=0$, integrala ${\int }_0^1{e}^{x}dx$ ar ieși $e$, nu $e-1$.
• Faci reducerea funcției cu semnul greșit, $f(x)+8x$ în loc de $f(x)-8x$ → cum o prinzi: refaci scăderea termen cu termen, iar primitiva trebuie să dea prin derivare funcția redusă.
• Scrii $\ln (3x+4)$ ca primitivă a lui $\frac{1}{3x+4}$ → cum o prinzi: derivezi și obții $\frac{3}{3x+4}$, deci primitiva corectă are în față factorul $\frac{1}{3}$.
• Înlocuiești $e$ cu 2,7 și dai un rezultat aproximativ la „Arătați că …” → cum o prinzi: egalitatea din enunț e exactă, deci rezultatul tău trebuie să arate la fel, de pildă $e+3$, nu 5,7.
• Lași $a^3$ în ambii membri la o cerință ca exercițiul 11 și ajungi la o ecuație de gradul 3 → cum o prinzi: primitiva are același termen în $a^3$ ca membrul drept, deci cuburile se reduc și rămâne o ecuație de gradul 2.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Definirea integralei Riemann a unei funcții continue prin formula Leibniz–Newton se cere la Subiectul al III-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 83 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă redresorul pornește de la 7,6 A, iar curentul scade tot cu 0,45 A pe oră? Primitiva devine $F(t)=7,6t-0,225t^2$, iar în tura de 8 ore bateria primește $F(8)=60,8-14,4=46,4$ Ah. Acum tura ajunge, fiindcă 46,4 Ah trec de cei 45 Ah ceruți de fișă. Formula e aceeași; se schimbă doar coeficientul lui $t$ din primitivă.

De ce cere fișa cu un sfert mai mult decât îi lipsește bateriei? Nu tot curentul rămâne în baterie: o parte se pierde în căldură și în gazele care se formează la încărcare. Fișa din exemplu socotește că rămân patru cincimi, deci pentru cei 36 Ah care lipsesc bateria trebuie să primească $36:0,8=45$ Ah, adică 36 Ah plus încă un sfert din ei, 9 Ah.

Câți amperi-oră primește bateria dacă mecanicul o pune la redresor abia la ora 2 a turei? Timpul din formulă se măsoară de la pornirea redresorului, nu de la începutul turei. Până la sfârșitul turei rămân 6 ore de încărcare, deci bateria primește $F(6)=40,8-8,1=32,7$ Ah, nu $F(8)-F(2)=27,3$ Ah, cât ar ieși cu ceasul turei.

Ce fac dacă am doar citirile ampermetrului, nu și formula? Verifici dacă scăderea curentului, raportată la timpul dintre două citiri, e aceeași peste tot: în tabel, 0,45 A pe oră, deși citirile nu sunt la ore egale. Dacă da, scrii dreapta $I(t)$ și continui ca în lecție. Dacă nu, curentul nu scade uniform, iar formula se aplică abia după ce găsești o funcție care descrie citirile.

Cât de des a fost integrala definită cerință la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? În probele oficiale 2013–2026 a apărut în toate cele 83 de probe, la Subiectul al III-lea, problema 2. În 80 dintre ele, chiar primul punct cere calculul unei integrale definite. Funcția e dată în enunț, iar tu scrii primitiva și valoarea ei între limite, pe rânduri separate, ca în soluțiile din lecție.

Rezultatul rămâne cu $e$ și $\ln$, sau îl scriu cu zecimale? Rămâne cu $e$ și $\ln$ când cerința e „Arătați că … = e + 3”. Egalitatea e exactă, iar o aproximare ca 5,72 nu o dovedește. Valoarea numerică o scrii doar dacă enunțul o cere sau dacă rezultatul trebuie să intre într-o măsurătoare, ca la cutiile de detergent din exemplul 3.