Formula Leibniz-Newton: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a XII-a; celelalte formule de la tehnologic ale temei sunt la finalul paginii „Integrala definită”.

$f$ e continuă pe $[a;b]$, iar $F$ e una dintre primitivele lui $f$, adică $F^{\prime }=f$; constanta nu se scrie. Al doilea rând desparte suma, cu $\alpha$ și $\beta$ constante. Al treilea taie intervalul într-un punct $c$, util când formula funcției se schimbă. Al patrulea compară două integrale pe același interval. Rezultatul are unitatea funcției ori a variabilei. Capcană: monotonia merge într-un singur sens; din inegalitatea integralelor nu rezultă $f\le g$ în fiecare punct. Control: o integrală de funcție pozitivă iese pozitivă, iar valoarea stă între minim ori lungimea și maxim ori lungimea.

Exemplu: O linie de îmbuteliat suc primește sucul cu ritmul $r(t)=16+6t$ L/min pe $[0;3]$ și $r(t)=58-8t$ pe $[3;6]$, cu $t$ în minute. În $t=3$ formulele dau 34, deci ritmul nu sare. Cantitatea este ${\int }_0^{6}r(t)dt$. Pe primul tronson, cu liniaritatea, ${\int }_0^3(16+6t)dt=[16t+3t^2{]}_0^3=48+27=75$; pe al doilea, $[58t-4t^2{]}_3^6=204-138=66$. Cu $c=3$, total $75+66=141$ L. Control: $10\le r(t)\le 34$, deci cantitatea stă între $10\cdot 6=60$ și $34\cdot 6=204$ L.