Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Primitivă: verificare și constantă C

Ajunge o valoare ca să verific o primitivă?

Nu. Egalitatea $F^{'} = f$ trebuie să fie adevărată pentru orice $x$ din interval. Două formule diferite pot avea aceeași valoare într-un punct fără să fie amândouă primitive. Exemplu: pentru $f (x) = 6 x - 8$ , funcția $F (x) = 3 x^{2} - 8 x + 5 (x - 2)$ dă $F (2) = - 4$ , ca primitiva bună $3 x^{2} - 8 x$ , dar $F^{'} (x) = 6 x - 3$ , nu $f (x)$ . Derivezi și compari întreaga expresie.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

O primitivă a lui $f$ pe un interval este o funcție $F$ cu $F^{'} (x) = f (x)$ în fiecare punct al intervalului. Două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, deci toate primitivele sunt $F (x) + C$ ; mulțimea lor este integrala nedefinită $\int f (x) d x$ .

Ca să verifici o formulă propusă, o derivezi termen cu termen și compari cu $f$ pentru orice $x$ , nu doar într-un punct. Un termen $a t^{n}$ are derivata $na t^{n - 1}$ , iar un produs se derivează cu doi termeni, $u^{'} v + u v^{'}$ . Ca să construiești o primitivă, ridici fiecare exponent cu $1$ și împarți la noul exponent.

O condiție $F (x_{0}) = y_{0}$ alege o singură primitivă: pui $x_{0}$ în $F (x) + C$ și afli $C$ . Din $F^{'} = f$ rezultă și forma lui $F$ : dacă $f > 0$ , $F$ este crescătoare, iar dacă $f$ crește, $F$ este convexă. Orice funcție continuă are primitive; la o funcție pe ramuri verifici continuitatea în punctul de legătură.

Capcanele sunt constanta uitată, constanta egală cu valoarea citită și derivata unui produs făcută dintr-un singur termen. Controlul se face derivând rezultatul și punând punctul dat în el.

De reținut

$F$ este primitivă a lui $f$ dacă $F^{'} (x) = f (x)$ pentru orice $x$ din interval
primitivele aceleiași funcții diferă printr-o constantă
constanta se află din condiția $F (x_{0}) = y_{0}$

Greșeala tipică

Se compară $F^{'}$ cu $f$ doar într-un punct. În exemplul de mai sus, $F (2) = - 4$ coincide cu valoarea primitivei bune, dar $F^{'} (0) = - 3$ , nu $f (0) = - 8$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ritmul cu care crește stocul unui depozit este $f (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2} + 7$ tone pe zi (model). Care dintre funcțiile următoare este o primitivă a lui $f$ pe $R$ ?
- a) $8 x^{4} - 6 x^{3} + 7 x$
- b) $2 x^{4} - 2 x^{3} + 7$
- c) $24 x^{2} - 12 x$
- d) $2 x^{4} - 2 x^{3} + 7 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2 x^{4} - 2 x^{3} + 7 x$

Primitiva se construiește termen cu termen: $8 x^{3} \to 2 x^{4}$ , $- 6 x^{2} \to - 2 x^{3}$ , $7 \to 7 x$ . Prima variantă crește exponenții fără să împartă la exponentul nou; a doua scrie $7$ în loc de $7 x$ , deci derivata ei nu mai conține termenul constant $7$ ; a treia este derivata lui $f$ , nu o primitivă.
Stocul $S$ al unui depozit de cereale, în tone, la $x$ zile după începutul măsurătorilor, este o primitivă a ritmului $s (x) = 6 x^{2} - 8$ . La $x = 3$ stocul este de $40$ tone. Care este stocul la începutul măsurătorilor, $S (0)$ ?
- a) $40$
- b) $10$
- c) $- 14$
- d) $- 38$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10$

Primitivele sunt $S (x) = 2 x^{3} - 8 x + C$ . Din $S (3) = 54 - 24 + C = 40$ rezultă $C = 10$ , iar $S (0) = C = 10$ tone. Varianta $40$ ia constanta egală cu valoarea citită; $- 14$ uită termenul $- 8 x$ ( $40 - 54$ ); $- 38$ ia termenul $- 8 x$ cu semn plus în $S (3)$ ( $40 - 78$ ).
O linie de ambalare are ritmul $v (x)$ , în cutii pe minut, iar cantitatea ambalată este o primitivă a lui $v$ . Pentru care dintre ritmurile următoare, definite pe $R$ , orice primitivă este o funcție crescătoare?
- a) $v (x) = x^{2} - 9 x + 7$
- b) $v (x) = - x^{2} - 3 x - 7$
- c) $v (x) = x^{2} + 3 x + 7$
- d) $v (x) = x^{2} + 3 x - 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $v (x) = x^{2} + 3 x + 7$

Orice primitivă $V$ are $V^{'} = v$ , deci este crescătoare pe $R$ dacă $v (x) > 0$ pentru orice $x$ . Trinomul $x^{2} + 3 x + 7$ are discriminantul $9 - 28 = - 19 < 0$ și primul coeficient pozitiv, deci este pozitiv peste tot. Varianta cu $- 9 x$ are discriminantul $53$ și este negativă între rădăcini; cea cu termenul liber $- 9$ are discriminantul $45$ și este negativă între rădăcini; $- x^{2} - 3 x - 7$ este negativă peste tot, deci primitivele ei scad.

Întrebări conexe

Cum verific o primitivă care conține un logaritm?

Derivezi produsul cu regula produsului, care are doi termeni, și compari cu $f$ pe tot intervalul. Pentru $f (x) = 4 x^{2} (3 ln x + 1)$ și $F (x) = 4 x^{3} ln x$ , pe $(0; + \infty)$ : $F^{'} (x) = 12 x^{2} ln x + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x} = 12 x^{2} ln x + 4 x^{2} = f (x)$ , deci $F$ este primitivă a lui $f$ .

Cum verific o primitivă care conține un radical?

Derivezi cu regula produsului, folosind $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ , apoi aduci la același numitor. Lucrezi pe $(0; + \infty)$ , unde radicalul e derivabil. Pentru $F (x) = (2 x + 5) x$ : $F^{'} (x) = 2 x + \frac{2 x + 5}{2 x} = \frac{4 x + 2 x + 5}{2 x} = \frac{6 x + 5}{2 x}$ , deci $F$ este primitivă a lui $f (x) = \frac{6 x + 5}{2 x}$ .

Ce spune ritmul despre forma totalului?

Dacă ritmul este pozitiv, totalul crește; dacă ritmul însuși crește, totalul urcă tot mai repede, adică este convex. Pentru $r (t) = 6 t + 20$ avem $r (t) > 0$ și $r^{'} (t) = 6 > 0$ pe $[0; 10]$ : totalul este crescător și convex.

Până la ce moment urcă totalul tot mai repede?

Cât timp ritmul crește, adică $r^{'} (t) \geq 0$ . Pentru $r (t) = 90 + 24 t - 3 t^{2}$ , derivata $24 - 6 t$ se anulează la $t = 4$ : până atunci totalul este convex; după aceea ritmul scade, deci totalul crește tot mai lent, dar nu scade, câtă vreme $r$ rămâne pozitiv pe $[0; 10]$ .

Cum apare primitiva în probele oficiale?

Primitiva a apărut în 39 de probe M_tehnologic din 2013–2026, la problema 2 din Subiectul al III-lea. La o primitivă dată derivezi termen cu termen și compari cu $f$ ; la una cu condiție scrii $F (x) + C$ și afli $C$ .

Oamenii mai întreabă și: verific o primitivă doar într-un punct · F derivată egal cu f într-un singur punct · de ce nu ajunge o valoare la primitivă · cum verific corect că F este primitivă