Test tehnologic: primitive

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Primitive

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=20x^3-9x^2+4$. Care dintre funcțiile de mai jos, definite pe $\mathbb{R}$, este o primitivă a lui $f$?

Variantele: a) „$F(x)=5x^4-3x^3+4x$”; b) „$F(x)=5x^4-3x^3+4$”; c) „$F(x)=20x^4-9x^3+4x$”; d) „$F(x)=60x^2-18x$”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(2x-5{)}^4$. Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(3)=1$ și calculați $F(4)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\left(-\frac{7}{3};+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{12}{3x+7}$. Care dintre funcțiile de mai jos este o primitivă a lui $f$?

Variantele: a) „$F(x)=4\ln (3x+7)$”; b) „$F(x)=12\ln (3x+7)$”; c) „$F(x)=36\ln (3x+7)$”; d) „$F(x)=\frac{4}{3}\ln (3x+7)$”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3e^{2x}+4x$. Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(0)=10$ și calculați $F(1)$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x-3}{\sqrt{x}}$. Arătați că funcția $F:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=(2x-6)\sqrt{x}$ este o primitivă a funcției $f$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+a$ pentru $x\le 0$ și $f(x)=5x^2+11$ pentru $x>0$, unde $a$ este număr real. Determinați valoarea lui $a$ pentru care funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și deduceți că, pentru această valoare, $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

O fermă avicolă urmărește consumul de furaj al unui lot de pui. Ritmul consumului crește odată cu vârsta puilor: $r(t)=k\sqrt{t}$ kg pe zi, la $t$ zile de la populare, pentru $0\le t\le 36$, unde $k$ este o constantă. Cantitatea de furaj consumată de la populare până în ziua $t$ este primitiva $Q$ a lui $r$ pentru care $Q(0)=0$. Registrul fermei arată că în primele 9 zile lotul a consumat 108 kg de furaj.

a) (5 puncte) Aflați constanta $k$ și scrieți formula lui $Q(t)$.

b) (5 puncte) Arătați că $Q$ este crescătoare și convexă pe $(0;36]$ și aflați câte kilograme de furaj consumă lotul între ziua 9 și ziua 25.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un robot de sudură execută o sudură dreaptă. Viteza lui de înaintare, la $t$ secunde de la amorsarea arcului, este $v(t)=12\sqrt{t}+\frac{9}{\sqrt{t}}$ mm/s, pentru $1\le t\le 9$. Poziția arcului față de un reper, în mm, este o primitivă $s$ a lui $v$, iar la $t=1$ s arcul se află la 56 mm de reper.

a) (5 puncte) Aflați formula lui $s(t)$.

b) (5 puncte) Aflați câți mm de cordon se depun între $t=1$ s și $t=9$ s și la ce distanță de reper se află arcul la $t=4$ s.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Într-o fabrică de lactate, laptele dintr-o cuvă de iaurt este însămânțat cu bacterii lactice. În primele ore, bacteriile produc acid lactic cu ritmul $g(t)=25\cdot 2^t$ grame pe oră, la $t$ ore de la însămânțare, pentru $0\le t\le 4$ (model din exercițiu). Se dă $\ln 2\approx 0,693$.

a) (5 puncte) Arătați că funcția $G(t)=\frac{25(2^t-1)}{\ln 2}$ este primitiva lui $g$ pentru care $G(0)=0$, adică masa de acid lactic produsă de la însămânțare până la ora $t$.

b) (5 puncte) Calculați masa de acid lactic produsă între ora 2 și ora 4, în grame, rotunjită la unitate.

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2+8x+17)e^x$.

a) (5 puncte) Demonstrați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(x^2+6x+11)e^x$ este o primitivă a funcției $f$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a funcției $f$ pentru care $G(0)=15$.

c) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x+\frac{5}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că funcția $F:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=3x^2+5\ln x$ este o primitivă a funcției $f$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $G$ a funcției $f$ pentru care $G(1)=9$.

c) (5 puncte) Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este crescătoare pe intervalul $(0;+\infty )$.

Barem și răspunsuri

Fiecare pas din barem poartă între paranteze punctele lui, iar rezolvările corecte care diferă de cele de mai jos iau aceleași puncte. La Partea a III-a, rezultatul corect nu ajunge dacă lipsesc calculul și justificarea: subpunctul rămâne fără punctele lui. Rezultatele finale apar îngroșate.

Exercițiul 1.

Funcția $F(x)=5x^4-3x^3+4x$ are derivata $20x^3-9x^2+4$, adică exact $f(x)$, pentru orice $x$, deci răspunsul este $\mathbf{a})$ (3 p). Celelalte variante sunt false: derivata lui b) este $20x^3-9x^2$, fără termenul 4; derivata lui c) este $80x^3-27x^2+4$; varianta d) este derivata lui $f$, nu o primitivă a ei (2 p). Verificare: în $x=1$, $f(1)=20-9+4=15$; derivata variantei a) dă tot 15, iar a variantei b) dă 11. Cine ridică exponentul fără să împartă la exponentul nou ajunge la varianta c).

Exercițiul 2.

Derivata lui $(2x-5{)}^5$ este $5\cdot 2(2x-5{)}^4$, deci primitivele lui $f$ sunt $F(x)=\frac{(2x-5{)}^5}{10}+C$ (2 p). Din $F(3)=\frac{1}{10}+C=1$ rezultă $C=\frac{9}{10}$ (1 p), iar $F(4)=\frac{3^5}{10}+\frac{9}{10}=\frac{252}{10}=\frac{126}{5}$ (2 p). Verificare: $F(3)=\frac{1+9}{10}=1$. Cine uită factorul 2 al argumentului împarte la 5, nu la 10, și obține $C=\frac{4}{5}$ și $F(4)=\frac{247}{5}$, aproape dublul răspunsului corect.

Exercițiul 3.

Pentru $\frac{1}{ax+b}$ primitiva este $\frac{\ln (ax+b)}{a}$, deci pentru $f(x)=12\cdot \frac{1}{3x+7}$ primitiva este $12\cdot \frac{\ln (3x+7)}{3}=4\ln (3x+7)$, iar răspunsul este $\mathbf{a})$ (3 p). Verificare prin derivare: $(4\ln (3x+7){)}^{\prime }=4\cdot \frac{3}{3x+7}=\frac{12}{3x+7}$ (1 p); varianta b) dă $\frac{36}{3x+7}$ (nu s-a împărțit la 3), varianta c) dă $\frac{108}{3x+7}$ (s-a înmulțit cu 3), iar varianta d) dă $\frac{4}{3x+7}$ (s-a împărțit de două ori) (1 p).

Exercițiul 4.

Primitiva lui $3e^{2x}$ este $\frac{3}{2}{e}^{2x}$, fiindcă se împarte la 2, iar a lui $4x$ este $2x^2$: $F(x)=\frac{3}{2}{e}^{2x}+2x^2+C$ (2 p). Din $F(0)=\frac{3}{2}+C=10$ rezultă $C=\frac{17}{2}$ (1 p), deci $F(1)=\frac{3}{2}{e}^2+2+\frac{17}{2}=\frac{3{\mathbf{e}}^2+21}{2}$ (2 p). Verificare: $F^{\prime }(x)=3e^{2x}+4x$. Cine nu împarte la 2 ia $3e^{2x}$ ca primitivă și obține $C=7$ și $F(1)=3e^2+9$.

Exercițiul 5.

Funcția $F$ este derivabilă pe $(0;+\infty )$ și, cu regula de derivare a produsului și cu ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $F^{\prime }(x)=2\sqrt{x}+\frac{2x-6}{2\sqrt{x}}$ (3 p). Cu numitorul comun $\sqrt{x}$, $F^{\prime }(x)=\frac{2x+x-3}{\sqrt{x}}=\frac{3x-3}{\sqrt{x}}=f(x)$ pentru orice $x>0$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ (2 p). Verificare: în $x=4$, $F^{\prime }(4)=4+\frac{2}{4}=\frac{9}{2}$, iar $f(4)=\frac{9}{2}$. Cine ia derivata lui $\sqrt{x}$ egală cu $\frac{1}{\sqrt{x}}$, fără factorul 2 de la numitor, obține $\frac{4x-6}{\sqrt{x}}$, adică $5$ în $x=4$, nu $\frac{9}{2}$.

Exercițiul 6.

Pe $(-\infty ;0)$ și pe $(0;+\infty )$ funcția este continuă, iar singurul punct de legătură al ramurilor este $x=0$ (1 p). Limita la stânga este $e^0+a=1+a$, valoarea funcției în 0 este tot $1+a$, iar limita la dreapta este $5\cdot 0^2+11=11$; continuitatea în 0 cere $1+a=11$, deci $a=10$ (3 p). Pentru $a=10$ funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, iar o funcție continuă pe un interval are primitive pe el, deci $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$ (1 p). Verificare: pentru $a=10$, ramura din stânga dă $e^0+10=11$, ca ramura din dreapta. Cine ia $e^0$ egal cu 0 obține $a=11$, iar atunci ramura din stânga ar da 12 în 0, nu 11.

Exercițiul 7.

a) (5 p) O primitivă a lui $k\sqrt{t}$ este $\frac{2kt\sqrt{t}}{3}$, iar condiția $Q(0)=0$ dă constanta 0, deci $Q(t)=\frac{2kt\sqrt{t}}{3}$ (2 p). Din $Q(9)=\frac{2k\cdot 9\cdot 3}{3}=18k=108$ rezultă $k=6$ (2 p), deci $Q(t)=4t\sqrt{\mathbf{t}}$ (1 p).

b) (5 p) $Q^{\prime }(t)=r(t)=6\sqrt{t}>0$ pe $(0;36]$, deci $Q$ este crescătoare (1 p); $Q^{\prime \prime }(t)=r^{\prime }(t)=\frac{3}{\sqrt{t}}>0$, deci $Q$ este convexă (1 p). Avem $Q(25)=4\cdot 25\cdot 5=500$ (2 p), iar între ziua 9 și ziua 25 lotul consumă $Q(25)-Q(9)=500-108=392$ kg (1 p). Verificare: $Q(9)=4\cdot 9\cdot 3=108$ kg și $Q(36)=4\cdot 36\cdot 6=864$ kg în toate cele 36 de zile. Cine ia $Q(25)=500$ kg ca răspuns uită să scadă consumul din primele 9 zile.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Primitiva lui $\sqrt{t}$ este $\frac{2t\sqrt{t}}{3}$, deci a lui $12\sqrt{t}$ este $8t\sqrt{t}$ (1 p); primitiva lui $\frac{1}{\sqrt{t}}$ este $2\sqrt{t}$, deci a lui $\frac{9}{\sqrt{t}}$ este $18\sqrt{t}$ (1 p). Atunci $s(t)=8t\sqrt{t}+18\sqrt{t}+C$ (1 p); din $s(1)=8+18+C=56$ rezultă $C=30$ (1 p), deci $s(t)=8t\sqrt{\mathbf{t}}+18\sqrt{\mathbf{t}}+30$ (1 p).

b) (5 p) $s(9)=216+54+30=300$ mm (2 p); cordonul depus între $t=1$ s și $t=9$ s are $300-56=244$ mm (1 p). La $t=4$ s avem $s(4)=64+36+30=130$, deci arcul se află la 130 mm de reper (2 p). Verificare: derivata lui $s$ este $12\sqrt{t}+\frac{9}{\sqrt{t}}$, iar $s(1)=8+18+30=56$. Cine împarte $\sqrt{t}$ la vechiul exponent ia $24t\sqrt{t}$ pentru primul termen și obține la $t=9$ s o poziție de 716 mm, de peste două ori mai mult.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Funcția $G$ este derivabilă, iar derivata lui $2^t$ este produsul dintre $2^t$ și $\ln 2$, deci $G^{\prime }(t)=\frac{25\cdot 2^t\cdot \ln 2}{\ln 2}$ (2 p), adică $G^{\prime }(t)=25\cdot 2^t=g(t)$ (1 p). Cum $G(0)=\frac{25(1-1)}{\ln 2}=0$, $G$ este primitiva lui $g$ cu $G(0)=0$ (2 p).

b) (5 p) $G(4)=\frac{25\cdot 15}{\ln 2}=\frac{375}{\ln 2}$ și $G(2)=\frac{25\cdot 3}{\ln 2}=\frac{75}{\ln 2}$ (2 p); diferența este $\frac{300}{\ln 2}$ (1 p), adică $\frac{300}{0,693}\approx 432,9$, deci aproximativ $433$ g (2 p). Verificare: între orele 2 și 4 ritmul crește de la $g(2)=100$ la $g(4)=400$ g pe oră, deci în cele 2 ore se produc între 200 și 800 g; 433 g se află între ele. Cine uită să împartă la $\ln 2$ obține $25\cdot 12=300$ g, cu 133 g mai puțin.

Exercițiul 10.

a) (5 p) $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ și, cu regula produsului, $F^{\prime }(x)=(2x+6)e^x+(x^2+6x+11)e^x$ (3 p). Atunci $F^{\prime }(x)=(x^2+8x+17)e^x=f(x)$ pentru orice $x$, deci $F$ este primitivă a lui $f$ (2 p).

b) (5 p) Primitivele lui $f$ sunt $G(x)=(x^2+6x+11)e^x+C$, cu $F$ de la a) (3 p). Din $G(0)=11+C=15$ rezultă $C=4$, deci $G(x)=({\mathbf{x}}^2+6x+11){\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}+4$ (2 p).

c) (5 p) O primitivă $H$ a lui $f$ are $H^{\prime }=f$, deci $H^{\prime \prime }=f^{\prime }$ (2 p). $f^{\prime }(x)=(2x+8)e^x+(x^2+8x+17)e^x=(x^2+10x+25)e^x=(x+5{)}^2{e}^x\ge 0$ pentru orice $x$ real, deci $H$ este convexă pe $\mathbb{R}$ (3 p).

Verificare: a) în $x=0$, $F^{\prime }(0)=6+11=17=f(0)$; b) $G(0)=11+4=15$; c) $f^{\prime }$ se anulează numai în $x=-5$. Cine derivează produsul $(x^2+6x+11)e^x$ ca produs al derivatelor obține în $x=0$ valoarea 6, nu 17.

Exercițiul 11.

a) (5 p) $F$ este derivabilă pe $(0;+\infty )$, cu $(3x^2{)}^{\prime }=6x$ și $(5\ln x{)}^{\prime }=\frac{5}{x}$ (3 p). Atunci $F^{\prime }(x)=6x+\frac{5}{x}=f(x)$ pentru orice $x>0$, deci $F$ este primitivă a lui $f$ (2 p).

b) (5 p) Primitivele lui $f$ sunt $G(x)=3x^2+5\ln x+C$ (3 p). Din $G(1)=3+0+C=9$ rezultă $C=6$, deci $G(x)=3{\mathbf{x}}^2+5\ln \mathbf{x}+6$ (2 p).

c) (5 p) O primitivă $H$ a lui $f$ are $H^{\prime }=f$ (2 p). Pentru $x>0$ avem $6x>0$ și $\frac{5}{x}>0$, deci $f(x)>0$ și $H$ este crescătoare pe $(0;+\infty )$ (3 p).

Verificare: a) în $x=1$, $F^{\prime }(1)=6+5=11=f(1)$; b) $G(1)=3+6=9$; c) $f(1)=11>0$. Cine pune constanta $C=9$, adică valoarea citită, obține $G(1)=12$, nu 9.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică unitatea de primitive a clasei a XII-a, filiera tehnologică, pe cele două lecții ale ei: „Primitiva: încasările unei zile, tehnologic” și „Primitive uzuale: tabel, liniaritate, tehnologic”. Integrala definită, cu formula Leibniz–Newton, cu ariile și volumele, rămâne în sarcina testului următor.

• Punctaj: lucrarea valorează 100 de puncte: 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul rezolvă singur, pe foaie, fără calculator; valorile cu $e$, cu logaritm sau cu radical rămân exacte, iar o rotunjire apare numai unde enunțul dă aproximările. La Partea a III-a se scriu toți pașii, fiindcă numai rezultatul, chiar corect, rămâne fără punctele subpunctului. Ghidajul împarte fiecare exercițiu în pași scurți, cu o întrebare cu patru variante și apoi cu un număr de aflat, iar la fiecare variantă greșită primești explicația greșelii; îl pornești doar când exercițiul nu iese.
• La 90–100 de puncte: ai stăpânit primitivele și poți trece la integrala definită.
• La 75–89 de puncte: mai exersezi, cu ghidajul, exact exercițiile în care ai pierdut puncte.
• La 60–74 de puncte: recitești lecția potrivită din tabel pentru fiecare exercițiu încheiat sub jumătate dintre puncte, apoi refaci testul peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi din nou cele două lecții, în ordine, și lucrezi testul de la început cu ghidajul.
• Formule de reținut: $F$ este primitivă a lui $f$ pe un interval $I$ exact când $F^{\prime }=f$ în fiecare punct al lui $I$, nu doar într-unul, iar $\int f(x)dx=F(x)+C$, cu $C$ constantă reală; o condiție $F(x_0)=y_0$ fixează constanta; $f>0$ pe $I$ dă $F$ crescătoare, iar $f^{\prime }\ge 0$ dă $F$ convexă; o funcție continuă pe un interval are primitive pe el, iar la o funcție pe ramuri continuitatea se verifică în punctul de legătură; $\int (kf+mg)dx=k\int fdx+m\int gdx$; $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$, cu $a\ne 0$ și $F$ o primitivă a lui $f$; tabelul: $x^n\to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ cu $n$ natural, $n\ge 1$; $\frac{1}{x}\to \ln x$ pe $(0;+\infty )$; $\sqrt{x}\to \frac{2x\sqrt{x}}{3}$ pe $[0;+\infty )$; $\frac{1}{\sqrt{x}}\to 2\sqrt{x}$ pe $(0;+\infty )$; $e^x\to e^x$; $m^x\to \frac{m^x}{\ln m}$ pentru $m>0$, $m\ne 1$; $\frac{1}{ax+b}\to \frac{\ln (ax+b)}{a}$ pentru $ax+b>0$; la $(ax+b{)}^n$, cu $n$ natural și $a\ne 0$, se ridică la puterea $n+1$ și se împarte la produsul dintre $a$ și $n+1$; $e^{ax+b}\to \frac{e^{ax+b}}{a}$, cu $a\ne 0$.

Exercițiile 10 și 11 poartă marcajul „tip Bacalaureat M3”: urmează forma problemei 2 din Subiectul al III-lea, cu o funcție dată și trei cerințe de câte 5 puncte despre ea, dar cu funcții și numere care nu apar în probele oficiale 2013–2026.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Cerințele despre primitive sunt la Subiectul al III-lea, problema 2; în probele oficiale 2013–2026, primitiva a apărut în 39 de probe, iar tabelul primitivelor uzuale a fost folosit în 82 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.