Primitiva: încasările unei zile, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

O primitivă a funcției f este o funcție F a cărei derivată este f: o formulă propusă o verifici derivând-o, iar o condiție de felul F(x₀) = y₀ îi fixează constanta. Ca elev de clasa a XII-a la tehnologic, exersezi aici ambele lucruri, pe încasările unei cofetării. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), primitiva a avut cerințe în 39 dintre cele 83 de probe din 2013–2026, toate la Subiectul al III-lea, problema 2.

Situația de pornire

Casa de marcat a unei cofetării scoate la cerere raportul încasărilor pe fiecare oră, în lei pe oră. Din rapoartele orare ale lunii trecute, contabila a ajustat într-un tabel de calcul o formulă pentru încasarea orară a unei zile obișnuite: $f (t) = 80 + 150 t - 12 t^{2}$ , cu $t$ orele de la deschiderea de la 8:00, valabilă pe cele 12 ore de program (model din exemplu). Patronul duce banii la bancă la prânz și seara, așa că ea vrea să știe dinainte venitul încasat de la deschidere până la ora $t$ , nu încasarea unei singure ore. Doi colegi i-au propus câte o formulă pentru total, iar ea trebuie să vadă care e corectă înainte să o folosească în fișa de casă.

Ora	Timpul $t$ de la 8:00 (h)	Încasarea orară (lei/h)
8:00	0	80
10:00	2	332
12:00	4	488
16:00	8	512
20:00	12	152

Primul coleg propune pentru totalul încasat, în lei, formula $F_{1} (t) = 80 t + 75 t^{2} - 4 t^{3}$ , iar al doilea $F_{2} (t) = 80 t + 150 t^{2} - 12 t^{3}$ . Programul de gestiune al cofetăriei ține și totalul încasat de la începutul lunii: azi, la 12:00, arăta 47 564 lei.

Întrebare: care dintre cele două formule dă totalul încasat de la deschidere și cât arăta totalul lunii la deschiderea de la 8:00?

De la situație la model

Notează cu $F (t)$ totalul încasat de la deschidere până la ora $t$ . Încasarea orară $f (t)$ arată cât de repede crește totalul, deci $F^{'} (t) = f (t)$ . La examen funcția dată se numește $f$ , iar variabila $x$ .

În situație	În matematică
încasarea orară la $t$ ore după deschidere, în lei pe oră	funcția $f (t)$
totalul încasat până la ora $t$ , în lei	o funcție $F$ cu $F^{'} (t) = f (t)$ , adică o primitivă a lui $f$
două coloane de total cu aceeași încasare orară, una pornită de la începutul lunii și alta de la deschidere	două primitive ale aceleiași funcții, care diferă printr-o constantă
totalul lunii citit la 12:00 în programul de gestiune	condiția $F (4) = 47564$ , care alege o singură primitivă
totalul nu scade niciodată în cursul zilei	$F$ este crescătoare, pentru că $f (t) > 0$

O primitivă a funcției $f$ pe un interval $I$ este o funcție $F$ derivabilă pe $I$ , cu $F^{'} (x) = f (x)$ pentru orice $x \in I$ . Integrala nedefinită a funcției continue $f$ este mulțimea tuturor primitivelor ei, scrisă $\int f (x) d x = F (x) + C$ . Pe un interval, oricare două primitive ale lui $f$ se deosebesc doar printr-un număr constant; demonstrația nu se cere.

Care dintre formulele colegilor e bună?

Derivezi $F$ și compari cu $f$ în fiecare punct al intervalului: egalitatea într-un singur punct nu ajunge. Un termen $a t^{n}$ are derivata $na t^{n - 1}$ , o sumă se derivează termen cu termen, iar un produs de două funcții, ca $t \cdot e^{t}$ , se derivează cu regula produsului din clasa a XI-a.

De ce au două coloane de total aceeași încasare orară?

Derivata unei constante este 0, deci dacă $F$ este primitivă, și $F + C$ este, pentru orice constantă $C$ . Cele două coloane de total din situație se deosebesc exact prin totalul de la începutul lunii, o valoare care nu intră în derivată.

Ce face citirea de la 12:00?

Scrii $F (t) = F_{1} (t) + C$ , pui valoarea cunoscută într-un punct, de pildă $F (4) = 47564$ , și rezolvi ecuația în $C$ . Alt punct, aceeași metodă, alt $C$ .

Ce spune încasarea orară despre forma totalului?

Fiindcă $F^{'} = f$ , semnul lui $f$ este semnul pantei lui $F$ : $f > 0$ dă $F$ crescătoare. Derivata a doua a primitivei este $f^{'}$ , deci dacă $f$ crește, adică $f^{'} \geq 0$ , primitiva este convexă.

Continuitatea asigură primitivele

Orice funcție continuă pe un interval are primitive pe el. La o funcție pe ramuri, continuitatea trebuie verificată în punctul de legătură a ramurilor: limitele laterale și valoarea funcției trebuie să fie egale.

Metoda pas cu pas

Citește intervalul $I$ și funcțiile $f$ și $F$ , dacă ți se dă și $F$ . O primitivă se definește pe un interval, iar $ln x$ cere $x > 0$ . Scrie și ce unități au $f$ și variabila, ca să știi ce măsoară $F$ .
Dacă trebuie să arăți că $F$ este primitivă a lui $f$ , derivezi $F$ (sumă, constantă ori funcție, puteri, produs) și compari $F^{'}$ cu $f$ pentru orice $x \in I$ .
Dacă trebuie să afli o primitivă, cauți o funcție a cărei derivată este $f$ , termen cu termen, și adaugi constanta $C$ : primitivele sunt $F + C$ .
Dacă enunțul pune o condiție $F (x_{0}) = y_{0}$ , scrii $F + C$ , pui $x_{0}$ în loc de $x$ și rezolvi ecuația în $C$ .
Dacă trebuie să arăți o proprietate a oricărei primitive, scrii $F^{'} = f$ și studiezi semnul lui $f$ pe $I$ ; $f > 0$ dă $F$ crescătoare, iar $f^{'} \geq 0$ dă $F$ convexă. Dacă trebuie să arăți că $f$ are primitive, arăți că $f$ e continuă pe $I$ , iar la o funcție pe ramuri verifici punctul de legătură.
Verifică pe alt drum: derivezi răspunsul și obții $f$ , pui $x_{0}$ în primitiva găsită și obții $y_{0}$ , sau compari variația lui $F$ pe un interval mic cu valoarea lui $f$ . Când datele vin dintr-o situație, mai citești o valoare din tabel și o compari cu ce dă formula.

Regulile de derivare de la pasul 2 sunt în lecția despre derivata sumei și a produsului, semnul derivatei și creșterea, în lecția despre creștere și scădere, iar continuitatea într-un punct, în lecția despre continuitatea vitezei la telegondolă. Primitivele uzuale și liniaritatea sunt în lecția despre primitive uzuale, iar folosirea lor la integrala definită, în formula Leibniz–Newton. Lista completă a lecțiilor clasei e la clasa a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$F^{'} = f pe I ⟺ F este primitiv \overset{a}{˘} a lui f$

$\int f (x) d x = F (x) + C$

Condițiile: $F$ derivabilă pe un interval $I$ și egalitatea $F^{'} = f$ în fiecare punct al lui $I$ , nu doar în unul; $C$ este o constantă reală, iar o condiție $F (x_{0}) = y_{0}$ o fixează. Verificare rapidă: derivezi primitiva găsită și obții funcția dată, apoi pui $x_{0}$ și obții $y_{0}$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Totalul încasat și totalul lunii

Domeniu: economic.

Enunț. Reia cofetăria din situația de pornire: încasarea orară este $f (t) = 80 + 150 t - 12 t^{2}$ , pentru $0 \leq t \leq 12$ , iar formulele propuse pentru total sunt $F_{1} (t) = 80 t + 75 t^{2} - 4 t^{3}$ și $F_{2} (t) = 80 t + 150 t^{2} - 12 t^{3}$ . a) Care dintre ele este o primitivă a lui $f$ ? b) Cât s-a încasat până la 12:00 și în toată ziua? c) Cât arăta totalul lunii la deschidere, dacă la 12:00 arăta 47 564 lei?

Rezolvare. a) Pasul 2: derivezi termen cu termen. $F_{1}^{'} (t) = 80 + 150 t - 12 t^{2}$ , adică exact $f (t)$ , pentru orice $t$ , deci $F_{1}$ este primitivă. $F_{2}^{'} (t) = 80 + 300 t - 36 t^{2}$ , care diferă de $f$ , deci $F_{2}$ nu este. b) $F_{1} (4) = 320 + 1200 - 256 = 1264$ lei până la 12:00 și $F_{1} (12) = 960 + 10800 - 6912 = 4848$ lei în toată ziua. c) Pasul 4: totalul lunii este $F (t) = F_{1} (t) + C$ . Din $F (4) = 47564$ rezultă $1264 + C = 47564$ , deci $C = 46300$ lei, adică totalul lunii la deschidere.

Capcană. Cine copiază coeficienții și doar mărește exponenții, fără să împartă la noul exponent, obține $F_{2}$ . Derivata lui $F_{2}$ la 12:00 ar fi $80 + 1200 - 576 = 704$ lei pe oră, deși tabelul arată 488, adică cu 216 lei pe oră mai mult decât a încasat cofetăria în acea oră.

Verificare. Pe alt drum, cu o variație mică: $F_{1} (4, 01) - F_{1} (4) \approx 4, 8827$ lei într-o sutime de oră, adică $\frac{4 , 8827}{0 , 01} \approx 488, 27$ lei pe oră, aproape de $f (4) = 488$ . Și totalul lunii la sfârșitul zilei este $46300 + 4848 = 51148$ lei.

Exemplul 2 — Un drum forestier

Domeniu: constructii.

Enunț. Panta unui drum forestier, adică metrii cu care se schimbă cota la fiecare hectometru (100 m), este în punctul de la $x$ hectometri de la intrare $s (x) = 3 x^{2} - 10 x + 9$ , pentru $0 \leq x \leq 3$ (model din exemplu). Cota drumului este funcția $F$ cu $F^{'} = s$ . Reperul de nivelment de la 200 m de la intrare, adică $x = 2$ , are cota de 540 m. a) Aflați cota $F (x)$ . b) Aflați cota la intrare și la capătul de 300 m. c) Urcă drumul tot timpul?

Rezolvare. a) Pasul 3: o primitivă este $x^{3} - 5 x^{2} + 9 x$ , iar derivata ei dă $3 x^{2} - 10 x + 9$ . Primitivele sunt $x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + C$ . Pasul 4: din $F (2) = 8 - 20 + 18 + C = 540$ rezultă $C = 534$ , deci $F (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 534$ . b) La intrare $F (0) = 534$ m, iar la capăt $F (3) = 27 - 45 + 27 + 534 = 543$ m. c) Pasul 5: discriminantul lui $s$ este $100 - 108 = - 8 < 0$ și coeficientul lui $x^{2}$ este pozitiv, deci trinomul nu se anulează și are mereu semnul coeficientului dominant. Atunci $s (x) > 0$ pe tot drumul, iar $F$ este crescătoare: drumul urcă tot timpul, fără porțiuni de coborâre.

Capcană. Cine ia $C = 540$ , adică cota reperului, obține $F (2) = 6 + 540 = 546$ m, cu 6 m peste reper. Constanta nu e valoarea citită, ci ce lipsește ca primitiva să dea valoarea citită.

Verificare. Pe alt drum, prin derivare: $(x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 534)^{'} = 3 x^{2} - 10 x + 9 = s (x)$ , iar la reper $F (2) = 8 - 20 + 18 + 534 = 540$ m, cât arată reperul. Panta cea mai mică, $s (\frac{5}{3}) = \frac{2}{3}$ m pe hectometru, e tot pozitivă, cum spune discriminantul.

Exemplul 3 — Greutatea unui lot de viței

Domeniu: zootehnie.

Enunț. O fermă urmărește greutatea unui lot de 40 de viței în prima săptămână de după înțărcare, când sporul scade câteva zile și apoi revine. Sporul zilnic al lotului este $g (t) = 3 t^{2} - 18 t + 51$ kg pe zi, la $t$ zile de la înțărcare, pentru $0 \leq t \leq 6$ (model din exemplu). Greutatea $W (t)$ are $W^{'} = g$ , iar la ziua 5 lotul a cântărit 4 255 kg. a) Aflați $W (t)$ . b) Cât cântărește lotul după 4,5 zile, în kg rotunjit și în tone? c) Arătați că lotul nu scade în greutate.

Rezolvare. a) Pasul 3: o primitivă este $t^{3} - 9 t^{2} + 51 t$ . Pasul 4: din $W (5) = 125 - 225 + 255 + C = 4255$ rezultă $C = 4100$ , deci $W (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 51 t + 4100$ . b) $W (4, 5) = 91, 125 - 182, 25 + 229, 5 + 4100 = 4238, 375$ , adică aproximativ 4 238 kg, adică 4,238 t. c) Pasul 5: $g (t) = 3 (t - 3)^{2} + 24 \geq 24 > 0$ , deci $W$ este crescătoare: lotul nu scade în greutate.

Capcană. Cine uită constanta și scrie $W (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 51 t$ obține $W (5) = 155$ kg, de parcă lotul de 40 de viței ar avea 155 kg. Fără $C$ funcția nu respectă citirea de la ziua 5, care e de 4 255 kg.

Verificare. Pe alt drum, la ziua 5: $W (5, 01) - W (5) \approx 0, 3606$ kg într-o sutime de zi, adică aproximativ $36, 06$ kg pe zi, aproape de $g (5) = 75 - 90 + 51 = 36$ . La înțărcare lotul avea $W (0) = 4100$ kg, adică 102,5 kg pe vițel, o greutate obișnuită la această vârstă.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: primitivă cu produs și condiție

Domeniu: chimie.

Enunț. Ce urmează e scris ca la Subiectul al III-lea, problema 2: o funcție dată și două cerințe, fără context practic. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} + 5 x - 2) e^{x}$ . a) Demonstrați că $F (x) = (x^{2} + 3 x - 5) e^{x}$ este o primitivă a lui $f$ . b) Determinați primitiva $G$ a lui $f$ pentru care $G (0) = 4$ .

Rezolvare. a) Pasul 2: $F$ este derivabilă pe $R$ și, cu regula produsului, $F^{'} (x) = (2 x + 3) e^{x} + (x^{2} + 3 x - 5) e^{x} = (x^{2} + 5 x - 2) e^{x} = f (x)$ pentru orice $x$ , deci $F$ este primitivă. b) Pasul 4: $G (x) = F (x) + C$ , iar $G (0) = F (0) + C = - 5 + C = 4$ , deci $C = 9$ și $G (x) = (x^{2} + 3 x - 5) e^{x} + 9$ .

Capcană. Cine derivează produsul ca produs al derivatelor înmulțește derivata trinomului cu $e^{x}$ și obține un singur termen, care în $x = 0$ dă 3, nu $f (0) = - 2$ . Derivata unui produs are doi termeni, câte unul pentru fiecare factor derivat.

Verificare. Pe alt drum, în $x = 0$ : $F^{'} (0) = 3 - 5 = - 2 = f (0)$ , iar în $x = 1$ : $F^{'} (1) = 5 e - e = 4 e = f (1)$ . Și $G (0) = - 5 + 9 = 4$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Verifică dacă $F_{1} (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 7 x$ și $F_{2} (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 7$ sunt primitive pe $R$ ale funcției $f (x) = 6 x^{2} - 12 x + 7$ .

2. Află o primitivă a funcției $f (x) = 12 x^{3} - 18 x^{2} + 5$ și scrie mulțimea tuturor primitivelor ei.

3. Află primitiva $F$ a funcției $f (x) = 9 x^{2} - 14 x + 7$ pentru care $F (2) = 31$ .

4. Primitivele $F$ și $G$ ale aceleiași funcții pe $R$ au $F (1) = 7$ și $G (1) = 12$ . Cu cât diferă $G (x)$ și $F (x)$ într-un punct oarecare $x$ ? Justifică.

Nivelul 2 — situații

5. O grindă de lemn are secțiune variabilă, iar densitatea ei liniară la $x$ metri de capătul subțire este $ρ (x) = 14 + 8 x$ kg pe metru, pentru $0 \leq x \leq 5$ . Masa primilor $x$ metri este primitiva $M$ a lui $ρ$ cu $M (0) = 0$ . Află $M (x)$ , masa primilor 3 m și masa grinzii de 5 m.

6. Centrala pe gaz a unei sere emite, într-o noapte de iarnă, dioxid de carbon cu ritmul $r (t) = 48 + 14 t$ kg pe oră, la $t$ ore după ora 18:00, pe măsură ce afară se răcește (model din exercițiu). Cantitatea emisă de la 18:00 este primitiva $E$ a lui $r$ cu $E (0) = 0$ . Află $E (t)$ și cantitatea de CO₂ emisă până la 20:30, în kg.

7. Concentrația unui reactant dintr-un amestec, în g/l, variază în timp cu viteza $c^{'} (t) = - 3 t^{2} + 12 t - 15$ g/l pe oră, la $t$ ore după începutul reacției, pentru $0 \leq t \leq 5$ . La $t = 2$ ore concentrația este 40 g/l. Află $c (t)$ și concentrația inițială, apoi arată că orice primitivă a lui $c^{'}$ este descrescătoare.

8. Uzura frontală a unui cuțit de strung crește cu viteza $u (t) = 55 + 8 t$ micrometri pe oră, la $t$ ore de lucru de la ascuțire (model din exercițiu). Arată că orice primitivă a lui $u$ este convexă și află uzura după 6 ore, dacă $U (0) = 0$ , în micrometri și în milimetri.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (2 x + 9) e^{x}$ . Demonstrați că funcția $F (x) = (2 x + 7) e^{x}$ este o primitivă a lui $f$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 12 x^{2} - 10 x + 3$ . Determinați primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F (1) = 18$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{4} + 5 x^{2} + 2$ . Demonstrați că orice primitivă a lui $f$ este crescătoare pe $R$ .

12. (Sinteză.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + a$ pentru $x \leq 2$ și $f (x) = 3 x - 1$ pentru $x > 2$ , cu $a$ număr real. Află $a$ pentru care $f$ este continuă pe $R$ , arată că pentru acest $a$ funcția admite primitive pe $R$ , apoi arată că orice primitivă a lui $f$ este crescătoare.

Răspunsuri și verificări

1. $F_{1}^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x + 7 = f (x)$ , deci $F_{1}$ este primitivă. $F_{2}^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x$ , care diferă de $f$ prin 7, deci $F_{2}$ nu este. Verificare: în $x = 1$ , $F_{2}^{'} (1) = 6 - 12 = - 6$ , iar $f (1) = 6 - 12 + 7 = 1$ , deci $F_{2}$ nu poate fi primitivă; $F_{1}^{'} (1) = 1$ .

2. O primitivă este $F (x) = 3 x^{4} - 6 x^{3} + 5 x$ , iar mulțimea primitivelor este $3 x^{4} - 6 x^{3} + 5 x + C$ , cu $C$ real. Verificare: $F^{'} (x) = 12 x^{3} - 18 x^{2} + 5$ .

3. O primitivă este $3 x^{3} - 7 x^{2} + 7 x$ , iar din $F (2) = 24 - 28 + 14 + C = 31$ rezultă $C = 21$ . Deci $F (x) = 3 x^{3} - 7 x^{2} + 7 x + 21$ . Verificare: $F (2) = 24 - 28 + 14 + 21 = 31$ .

4. $G - F$ are derivata $f - f = 0$ , deci este constantă. Constanta este valoarea ei în $x = 1$ : $12 - 7 = 5$ . Deci $G (x) - F (x) = 5$ pentru orice $x$ . Verificare: aceeași diferență apare în orice punct, de pildă $x = 0$ .

5. Primitiva este $M (x) = 14 x + 4 x^{2}$ , cu $M (0) = 0$ . Masa primilor 3 m este $M (3) = 42 + 36 = 78$ kg, iar a grinzii de 5 m este $M (5) = 70 + 100 = 170$ kg. Verificare: $M^{'} (x) = 14 + 8 x = ρ (x)$ .

6. Primitiva cu $E (0) = 0$ este $E (t) = 48 t + 7 t^{2}$ . La 20:30, $t = 2, 5$ și $E (2, 5) = 120 + 43, 75 = 163, 75$ kg de CO₂. Verificare: $E^{'} (t) = 48 + 14 t = r (t)$ , iar la 20:30 ritmul ajunsese la $48 + 35 = 83$ kg pe oră.

7. O primitivă este $- t^{3} + 6 t^{2} - 15 t$ , iar din $c (2) = - 8 + 24 - 30 + C = 40$ rezultă $C = 54$ , deci $c (t) = - t^{3} + 6 t^{2} - 15 t + 54$ g/l și concentrația inițială este $c (0) = 54$ g/l. Discriminantul lui $c^{'}$ este $144 - 180 = - 36 < 0$ , iar coeficientul lui $t^{2}$ este negativ, deci $c^{'} (t) < 0$ și orice primitivă este descrescătoare. Verificare: $c (2) = 40$ g/l.

8. Orice primitivă $U$ are $U^{''} = u^{'} = 8 > 0$ , deci este convexă. Cu $U (0) = 0$ , $U (t) = 55 t + 4 t^{2}$ , iar $U (6) = 330 + 144 = 474$ μm, adică 0,474 mm. Verificare: $U^{'} (t) = 55 + 8 t$ .

9. Rezolvarea: $F$ este derivabilă pe $R$ și $F^{'} (x) = 2 e^{x} + (2 x + 7) e^{x}$ . Atunci $F^{'} (x) = (2 x + 9) e^{x} = f (x)$ pentru orice $x$ , deci $F$ este primitivă a lui $f$ . Verificare: în $x = 0$ , $F^{'} (0) = 2 + 7 = 9 = f (0)$ .

10. O primitivă este $4 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x$ , deci $F (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + C$ . Din $F (1) = 4 - 5 + 3 + C = 18$ rezultă $C = 16$ . Verificare: $F (1) = 2 + 16 = 18$ și $F^{'} (x) = 12 x^{2} - 10 x + 3$ .

11. O primitivă $F$ are $F^{'} = f$ pe $R$ . Pentru orice $x$ , $3 x^{4} \geq 0$ și $5 x^{2} \geq 0$ , deci $f (x) \geq 2 > 0$ . Atunci $F^{'} > 0$ și $F$ este crescătoare pe $R$ . Verificare: $f (0) = 2$ este cea mai mică valoare a lui $f$ .

12. Funcția $f$ este continuă pe $(- \infty; 2)$ și pe $(2; + \infty)$ . În $x = 2$ , limita la stânga este $4 + a$ , limita la dreapta este $3 \cdot 2 - 1 = 5$ , iar $f (2) = 4 + a$ ; din $4 + a = 5$ rezultă $a = 1$ , deci $f$ e continuă pe $R$ și admite primitive. Pentru $a = 1$ , $f (x) = x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ la stânga lui 2 și $f (x) = 3 x - 1 > 5 > 0$ la dreapta, deci $f > 0$ și orice primitivă este crescătoare. Verificare: limitele laterale în 2 sunt 5 și 5.

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), între 2013 și 2026, primitiva a avut cerințe în 39 dintre cele 83 de probe, câte una în fiecare, toate la Subiectul al III-lea, problema 2. Dintre ele, 17 au cerut să arăți că o funcție dată este primitivă, 10 au cerut primitiva cu o condiție, 10 o proprietate a oricărei primitive și 2 au cerut să arăți că funcția admite primitive. Câte o cerință reală pentru fiecare formă, din patru probe diferite:

Proba specială din 2024, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: funcția F e un produs dintre un trinom și $e^{x}$ , deci pasul 2 din Metodă derivează cu regula produsului și compară rezultatul cu f, iar baremul probei dă 3 puncte pentru derivata lui F și 2 puncte pentru concluzia că F este primitivă.
Modelul din 2014, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: se cere primitiva unei funcții pe intervalul pozitiv, cu valoarea 3 în punctul 1, deci pasul 3 caută primitiva cu o constantă, pasul 4 o află din condiție, iar baremul probei dă 3 puncte pentru primitiva cu constantă și 2 puncte pentru valoarea constantei.
Modelul din 2016, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: enunțul vrea o proprietate a oricărei primitive a unui polinom cu termeni pozitivi, creșterea ei, deci pasul 5 scrie F' = f și studiază semnul lui f, iar baremul probei dă 2 puncte pentru egalitatea F' = f și 3 puncte pentru semnul pozitiv.
August 2018, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: funcția e dată pe două ramuri, una cu polinom și una cu logaritm, iar pasul 1 fixează intervalul, pasul 5 verifică continuitatea în punctul de legătură, iar baremul probei dă 3 puncte pentru limitele laterale egale cu valoarea funcției și 2 puncte pentru continuitatea pe tot intervalul și concluzia.

În exercițiile 9–11 regăsești trei dintre aceste forme: verificarea unei primitive, primitiva cu condiție și proprietatea oricărei primitive. A patra, funcția pe ramuri, e în exercițiul 12.

Greșeli care costă puncte

Compari $F^{'}$ cu $f$ doar într-un punct → o formulă greșită poate coincide cu cea bună într-un punct, ca $F_{3}$ din întrebările frecvente; cum o prinzi: egalitatea $F^{'} = f$ se verifică pentru orice $x$ din interval, prin calcul, nu prin valori.
Copiezi coeficienții și mărești exponentul fără să împarți → derivata nu mai dă funcția, ca la $F_{2}$ din exemplul 1; cum o prinzi: derivezi primitiva găsită și compari cu $f$ termen cu termen.
Pui constanta egală cu valoarea citită → primitiva nu trece prin punctul dat, ca la drumul din exemplul 2; cum o prinzi: înlocuiești $x_{0}$ în primitiva găsită și obții $y_{0}$ .
Derivezi un produs ca produs al derivatelor → rezultatul nu e $f$ , ca la exemplul 4; cum o prinzi: derivata unui produs are doi termeni, iar în $x = 0$ valorile se compară direct.
Uiți constanta $C$ → primitiva nu respectă condiția, ca la lotul de viței din exemplul 3; cum o prinzi: verifici valoarea cunoscută în primitiva ta.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Noțiunea de primitivă a unei funcții definite pe un interval, cu integrala nedefinită a unei funcții continue, se cere la Subiectul al III-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 39 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce total arăta registrul lunii la închiderea de la 20:00? Totalul lunii este $F (t) = F_{1} (t) + 46300$ , iar $F_{1} (12) = 4848$ . La 20:00 totalul lunii era deci $46300 + 4848 = 51148$ lei. Diferența dintre totalul de la 20:00 și cel de la 8:00 este tocmai încasarea zilei, 4 848 lei, oricare ar fi constanta $C$ a coloanei respective.

Ce se schimbă dacă la 12:00 programul de gestiune arăta 48 000 lei, nu 47 564? Primitiva rămâne $F_{1} (t) + C$ , dar constanta se schimbă: $1264 + C = 48000$ dă $C = 46736$ . Totalul lunii la deschidere ar fi atunci 46 736 lei. Încasarea orară și totalul zilei nu se schimbă, ci doar punctul de pornire al contorului lunii, adică ce era deja în el la 8:00.

Poate o formulă să dea totalul corect la 12:00 și totuși să nu fie primitivă? Da. De pildă $F_{3} (t) = F_{1} (t) + 5 (t - 4)$ dă la 12:00 tot 1 264 lei, dar derivata ei este $f (t) + 5$ , cu 5 lei pe oră prea mult. La 16:00 ar da 3 412 lei, nu 3 392. Verificarea unei singure valori nu ajunge.

Poate scădea totalul încasat în cursul zilei? Nu. Încasarea orară are valorile 80 la deschidere și 152 la închidere, iar între ele graficul ei este o parabolă cu ramurile în jos, deci rămâne cel puțin 80. Cum $f (t) > 0$ , orice primitivă a lui $f$ este crescătoare: totalul urcă mereu.

Până la ce oră crește tot mai repede totalul încasat? Cât timp crește încasarea orară, adică $f^{'} (t) = 150 - 24 t \geq 0$ , deci până la $t = 6, 25$ , la 14:15. Până atunci totalul e convex și urcă tot mai repede. După 14:15 încasarea orară scade, deci totalul urcă tot mai încet, dar urcă, fiindcă $f$ rămâne pozitivă.

Ce forme au avut cerințele cu primitive de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? Dintre cele 39 de cerințe din 2013–2026, 17 au cerut să arăți că F este primitivă a lui f, 10 primitiva cu o condiție, 10 o proprietate a oricărei primitive, adică 5 crescătoare, 4 convexă și una concavă, iar 2 au cerut să arăți că f admite primitive.