Într-un fermentator, ritmul de producție este $$r(t) = 5 \cdot 2^t$$ litri pe oră, la $$t$$ ore de la pornire. Care dintre funcțiile următoare este o primitivă a lui $$r$$?

$$\dfrac{5 \cdot 2^{t+1}}{t+1}$$

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Primitive uzuale: tabel și liniaritate

Care este primitiva lui e la minus x pe 2?

Argumentul $- \frac{x}{2}$ al exponențialei are coeficientul $a = - \frac{1}{2}$ și se tratează ca la orice argument liniar: împarți primitiva din tabel la $a$ . Așadar primitiva lui $e^{- x /2}$ este $\frac{e ^{- x /2}}{- \frac{1}{2}} = - 2 e^{- x /2}$ , cu semn minus și factor $2$ . Exemplu: $\int 9 e^{- x /3} d x = - 27 e^{- x /3} + C$ , cu factorul $9$ rămas în față. Proba: derivata lui $- 27 e^{- x /3}$ este $- 27 \cdot (- \frac{1}{3}) e^{- x /3} = 9 e^{- x /3}$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Primitiva unei sume este suma primitivelor, iar un factor constant iese în fața primitivei; acestea sunt cele două reguli ale liniarității. Cu ele, orice funcție care se desface în termeni din tabel are primitiva scrisă termen cu termen, plus $C$ .

Din tabel: constanta $k$ dă $k x$ ; puterea $x^{n}$ dă $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ; $\frac{1}{x}$ dă $ln x$ ; $x$ dă $\frac{2 x x}{3}$ , iar $\frac{1}{x}$ dă $2 x$ ; $e^{x}$ rămâne $e^{x}$ , iar $m^{x}$ dă $\frac{m ^{x}}{ln m}$ .

Când argumentul este $a x + b$ , iei primitiva din tabel pentru întregul argument și o împarți la $a$ : $\frac{1}{4 x + 9}$ dă $\frac{ln ( 4 x + 9 )}{4}$ , iar $e^{- x /3}$ dă $- 3 e^{- x /3}$ , cu semnul lui $a$ . Un produs nu se primitivează ca produs al primitivelor: îl desfaci într-o sumă sau folosești altă metodă.

O condiție $F (x_{0}) = y_{0}$ află constanta $C$ : pui punctul în primitiva scrisă termen cu termen și rezolvi ecuația. Verifici mereu prin derivare, termen cu termen; un rezultat care scade acolo unde ritmul este pozitiv arată un semn pierdut, iar un factor lipsă se vede imediat la derivare.

De reținut

pentru $f (a x + b)$ primitiva se împarte la $a$ , cu tot cu semn
$\int e^{a x} d x = \frac{e ^{a x}}{a} + C$
primitiva unui produs nu este produsul primitivelor

Greșeala tipică

Se uită minusul: $\int 9 e^{- x /3} d x$ iese $27 e^{- x /3}$ , a cărui derivată este $- 9 e^{- x /3}$ , nu funcția dată. Orice primitivă a unei funcții pozitive trebuie să crească, iar $27 e^{- x /3}$ scade.

Exerciții din această mini-lecție

Ritmul de creștere al unui lot de miei este $w^{'} (t) = 8 t$ kg pe săptămână (model). Care dintre funcțiile următoare este o primitivă a lui $8 t$ pe $[0; + \infty)$ ?
- a) $16 t t$
- b) $\frac{16 t t}{3}$
- c) $\frac{4}{t}$
- d) $\frac{8 t t}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{16 t t}{3}$

Scriem $8 t = 8 t^{1/2}$ ; exponentul nou este $\frac{3}{2}$ , deci primitiva este $8 \cdot \frac{2}{3} t t = \frac{16 t t}{3}$ . Prima variantă împarte la vechiul exponent, $\frac{1}{2}$ ; a treia este derivata lui $8 t$ ; a patra uită factorul $2$ din $\frac{2}{3} \cdot 8$ .
Într-un fermentator, ritmul de producție este $r (t) = 5 \cdot 2^{t}$ litri pe oră, la $t$ ore de la pornire. Care dintre funcțiile următoare este o primitivă a lui $r$ ?
- a) $5 \cdot 2^{t} \cdot ln 2$
- b) $\frac{5 \cdot 2 ^{t + 1}}{t + 1}$
- c) $5 \cdot 2^{t}$
- d) $\frac{5 \cdot 2 ^{t}}{ln 2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{5 \cdot 2 ^{t}}{ln 2}$

Derivata lui $2^{t}$ este $2^{t} ln 2$ , deci primitiva lui $2^{t}$ este $\frac{2 ^{t}}{ln 2}$ , iar factorul $5$ rămâne în față. Prima variantă înmulțește cu $ln 2$ , adică derivează; a doua aplică regula puterii unei exponențiale; a treia ar fi corectă doar pentru baza $e$ , unde $ln e = 1$ .
Debitul unui izvor, în litri pe minut, la $x$ zile după o ploaie, $0 \leq x \leq 1$ , este $q (x) = (4 - 3 x)^{3}$ (model). Care dintre funcțiile următoare este o primitivă a lui $q$ ?
- a) $- \frac{( 4 - 3 x ) ^{4}}{12}$
- b) $\frac{( 4 - 3 x ) ^{4}}{12}$
- c) $\frac{( 4 - 3 x ) ^{4}}{4}$
- d) $- \frac{( 4 - 3 x ) ^{4}}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{( 4 - 3 x ) ^{4}}{12}$

Derivata lui $(4 - 3 x)^{4}$ este $4 \cdot (- 3) (4 - 3 x)^{3} = - 12 (4 - 3 x)^{3}$ , deci primitiva împarte la $- 12$ , adică la $a (n + 1)$ cu $a = - 3$ și $n + 1 = 4$ . Varianta $\frac{( 4 - 3 x ) ^{4}}{12}$ pierde semnul lui $a$ ; $\frac{( 4 - 3 x ) ^{4}}{4}$ împarte doar la noul exponent; ultima împarte doar la $a$ .

Întrebări conexe

Cum aflu primitiva lui 1 supra 6x plus 5?

Tabelul dă logaritmul argumentului, iar cum argumentul $6 x + 5$ are coeficientul $6$ , împarți la el, deci primitiva este $\frac{ln ( 6 x + 5 )}{6}$ , pe intervalul unde $6 x + 5 > 0$ . Proba: derivata este $\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6 x + 5} = \frac{1}{6 x + 5}$ .

Ce primitivă are 1 supra 5 minus 2x?

Argumentul $5 - 2 x$ are coeficientul $- 2$ , iar împărțirea la el păstrează semnul minus, deci primitiva este $\frac{ln ( 5 - 2 x )}{- 2} = - \frac{1}{2} ln (5 - 2 x)$ , pe intervalul $x < \frac{5}{2}$ , unde argumentul este pozitiv. Proba: derivata este $- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{5 - 2 x} = \frac{1}{5 - 2 x}$ .

Cum verific primitiva cu argument liniar?

Derivezi primitiva găsită, ca la orice verificare: derivata argumentului aduce factorul $a$ , care se reduce cu împărțirea la $a$ din formulă, și trebuie să rămână exact funcția dată. Pentru $F (x) = \frac{( 4 x + 1 ) ^{6}}{24}$ , derivata este $\frac{6 \cdot 4 ( 4 x + 1 ) ^{5}}{24} = (4 x + 1)^{5}$ .

Cum scriu constanta C când apare e la minus 1?

Lași valoarea exactă, fără s-o rotunjești: numărul $e^{- 1}$ rămâne scris așa, iar constanta îl conține, ca să se reducă la verificarea condiției. Pentru $r (t) = 5 + 8 e^{- t /4}$ și $F (4) = 100$ : $F (t) = 5 t - 32 e^{- t /4} + C$ , iar $F (4) = 20 - 32 e^{- 1} + C = 100$ dă $C = 80 + 32 e^{- 1}$ ; deci $F (t) = 5 t + 80 + 32 e^{- 1} - 32 e^{- t /4}$ .

Cum apare tabelul primitivelor în probele oficiale?

Tabelul primitivelor a apărut în 82 de probe M_tehnologic din 2013–2026, la problema 2 din Subiectul al III-lea. Scrii fiecare termen cu primitiva lui din tabel, pe rând separat, apoi adaugi $C$ și verifici derivând.

Oamenii mai întreabă și: primitiva exponențialei cu argument liniar · primitiva lui e la ax plus b · de ce apare minus la primitiva lui e la minus x · e la minus x pe 2 integrală nedefinită