Primitive uzuale: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Primitive și integrala nedefinită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a XII-a; în tema ei stă la finalul paginii „Primitive și integrala nedefinită”.

$f$ are primitiva $F$ pe un interval; $C$ e o constantă reală. Al doilea rând desparte suma funcțiilor $f$ și $g$ și scoate constantele $k$ și $m$. Al treilea cere $a\ne 0$ și $F^{\prime }=f$; împărțirea la $a$ anulează factorul $a$ care apare la derivarea lui $ax+b$. Ultimul rând: $n$ natural, $n\ge 1$, iar $\ln x$ cere $x>0$. Capcană: $+C$ nu dispare, ci se află din condiția dată, de pildă o valoare la $x_0$. Control: derivezi rezultatul și obții funcția de la început.

Exemplu: Un încărcător dă unui acumulator curentul $i(t)=9t^2+\frac{6}{3t+1}+3e^t$ A, cu $t$ în ore, iar sarcina $q$ este o primitivă a lui $i$. Termenii se integrează separat: $\int 9t^{2}dt=3t^3$, $\int \frac{6}{3t+1}dt=6\cdot \frac{\ln (3t+1)}{3}=2\ln (3t+1)$ și $\int 3e^{t}dt=3e^t$. Deci $q(t)=3t^3+2\ln (3t+1)+3e^t+C$. La pornire sunt 8{,}5 Ah: $q(0)=3+C=8,5$, deci $C=5,5$. După o oră, $q(1)=3+2\ln 4+3e+5,5\approx 19,43$ Ah. Control: $q^{\prime }(t)=9t^2+\frac{6}{3t+1}+3e^t=i(t)$.