Primitive uzuale: tabel, liniaritate, tehnologic

Tonele de sfeclă de zahăr adunate de o combină într-o zi vin dintr-un ritm cu trei părți, iar primitiva lui se scrie termen cu termen. Tabelul primitivelor uzuale dă primitiva fiecărei părți, iar liniaritatea le adună și scoate factorii constanți în față. La tehnologic, fișa aceasta te însoțește tot restul anului, în clasa a XII-a. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), tabelul a fost folosit în 82 dintre cele 83 de probe din 2013–2026, mereu în interiorul altei cerințe.

Situația de pornire

Un fermier recoltează sfeclă de zahăr de pe un teren de 28 de hectare, cu o combină tractată, care umple remorcile unui tractor. Fabrica de zahăr a cerut ca în ziua de recoltare să-i ajungă cel puțin 130 de tone. Tractoristul citește pe terminalul combinei ritmul de recoltare, adică tonele care intră în remorci într-o oră, și îl notează în caiet. Numără orele $t$ de la pornirea utilajului, la 7:00, iar ziua de lucru are 9 ore. Din citirile notate în zilele trecute, agronomul a ajustat pentru ritm formula $f(t)=12+6\sqrt{t}-2t$, în tone pe oră, valabilă pentru $0\le t\le 9$ (model din exemplu). Fermierului nu-i folosește ritmul, ci tonele adunate de la 7:00 până la ora $t$, pe care vrea să le știe dinainte, fără să aștepte bonurile de cântar de la fabrică.

Citirile din tabel cad la 7:00, 8:00, 9:15, 11:00, 13:15 și 16:00.

Întrebare: care e formula tonelor adunate de la 7:00 până la ora $t$ și câte tone s-au adunat până la 11:00 și în toată ziua? Ajunge ziua pentru cele 130 de tone cerute de fabrică?

De la situație la model

Notează cu $F(t)$ tonele adunate de la 7:00 până la ora $t$. Ritmul $f(t)$ arată cât de repede crește totalul, deci $F$ este o primitivă a lui $f$, adică $F^{\prime }(t)=f(t)$. Combina pornește de la zero tone, deci $F(0)=0$. De data aceasta nu verifici o formulă dată, ca în lecția despre primitiva și integrala nedefinită, ci o construiești, și o faci cu tabelul.

O primitivă uzuală este una pe care o citești direct dintr-un tabel, pentru că derivata ei este funcția din rândul respectiv. Liniaritatea înseamnă două reguli: primitiva unei sume este suma primitivelor termenilor, iar un factor constant se scoate în fața primitivei. Cele două reguli le folosești împreună cu tabelul de pe fișa de buzunar, iar rezultatul se verifică tot prin derivare.

Puterea, $\frac{1}{x}$, $e^x$ și $\sqrt{x}$ în tabel

Cauți rândul funcției și iei primitiva din coloana a doua. La o putere, crești exponentul cu 1 și împarți la exponentul nou. Funcția $\frac{1}{x}$ are primitiva $\ln x$, iar $e^x$ rămâne $e^x$. Pentru $\sqrt{x}$ scrii puterea $x^{\frac{1}{2}}$: exponentul nou este $\frac{3}{2}$, deci primitiva are $x\sqrt{x}$ și factorul $\frac{2}{3}$.

Ce faci cu o sumă sau cu un factor constant?

Despărți funcția în termeni și iei primitiva fiecărui termen. Dacă un termen are un factor constant, îl lași în față și iei primitiva restului. Cele trei părți ale ritmului din situație sunt $12$, $6\sqrt{t}$ și $-2t$, iar totalul fiecăreia se calculează separat.

Ce faci când argumentul nu este doar $x$?

Dacă în loc de $x$ apare $ax+b$, ca la $\frac{1}{2t+5}$ sau la $e^{-t/2}$, iei primitiva din tabel pentru argumentul întreg și o împarți la $a$, coeficientul lui $t$. Derivata lui $\ln (2t+5)$ are factorul 2 din argument, iar împărțirea la 2 îl compensează.

De ce nu există o regulă simplă pentru produs și cât?

Primitiva unui produs nu este produsul primitivelor. Pentru $x\cdot x=x^2$ primitiva este $\frac{x^3}{3}$, în timp ce produsul primitivelor ar fi $\frac{x^2}{2}\cdot \frac{x^2}{2}=\frac{x^4}{4}$, care se derivează în altceva. Un produs care nu se desface într-o sumă de termeni din tabel se rezolvă cu altă metodă, integrarea prin părți, din lecția despre alegerea funcțiilor la integrarea prin părți; aici folosești numai ce se vede în tabel.

Unde are sens fiecare rând

Rândul din tabel spune pe ce interval merge formula: $\ln x$ cere $x>0$, $\sqrt{x}$ cere $x\ge 0$, iar $\ln (ax+b)$ cere $ax+b>0$. Ca la orice primitivă, constanta $C$ rămâne neprecizată până când enunțul dă o condiție.

Metoda pas cu pas

1. Desparte în termeni. Scrie funcția ca sumă de termeni din tabel, cu factorii constanți în față. Dacă enunțul scade din $f$ o parte a ei, reduci întâi termenii care se anulează, ca în lecția despre formula Leibniz–Newton.
2. Ia primitiva fiecărui termen din tabel. Dacă argumentul este $ax+b$, împarte primitiva la $a$. Un rând care nu e în tabel trebuie adus la unul din tabel înainte.
3. Adună și adaugă $C$. Dacă enunțul pune o condiție $F(x_0)=y_0$, află $C$ din ea, ca în lecția despre primitivă.
4. Verifică. Derivezi rezultatul și obții funcția dată. Mai pui o valoare ușoară în ambele părți și te uiți dacă ordinul de mărime se potrivește cu situația.

Alege rândul după forma termenului. Un termen $x^n$ cu $n$ natural dă puterea următoare, $x^{n+1}$, împărțită la noul exponent, $n+1$. O fracție cu $x$ la numitor, la prima putere, duce la logaritm natural. O fracție cu $\sqrt{x}$ la numitor este puterea $-\frac{1}{2}$, iar primitiva ei este $2\sqrt{x}$. Un termen $e^{ax+b}$ rămâne exponențială și se împarte la $a$, iar semnul lui $a$ rămâne în rezultat. Dacă nu poți încadra termenul, derivezi o variantă și compari, până când derivata coincide cu termenul. Regulile de derivare te ajută aici, fiindcă verificarea e tot o derivare: le găsești în lecția despre derivata sumei și a produsului, iar tabelul derivatelor, pe care îl citești invers, în lecția despre derivata a doua. Proprietățile logaritmului, de care ai nevoie la valori ca $\ln 9-\ln 3$, sunt în lecția despre logaritmul produsului și al câtului. Restul lecțiilor clasei, în ordinea lor, sunt la clasa a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$\int (kf(x)+mg(x))dx=k\int f(x)dx+m\int g(x)dx$$

$$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$$

Prima formulă de deasupra tabelului este liniaritatea, a doua este regula argumentului liniar, iar tabelul dă primitivele de bază. În rândurile cu $ax+b$ și în a doua formulă, coeficientul $a$ este un număr nenul, iar $F$ din a doua formulă este o primitivă a lui $f$. Fiecare primitivă din tabel se scrie cu $+C$ când enunțul nu dă o condiție. Condițiile de aplicare sunt cele din ultima coloană. Verificare rapidă: derivezi primitiva din coloana a doua și obții funcția din prima coloană; la rândurile cu $ax+b$, factorul $a$ din derivata argumentului se simplifică cu împărțirea la $a$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Tonele adunate de combină

Domeniu: agricol.

Enunț. Reia combina din situația de pornire: ritmul este $f(t)=12+6\sqrt{t}-2t$ tone pe oră, pentru $0\le t\le 9$, iar tonele adunate de la 7:00 sunt funcția $F$ cu $F^{\prime }=f$ și $F(0)=0$. a) Aflați $F(t)$. b) Câte tone s-au adunat până la 11:00 și în toată ziua? c) Ajunge ziua pentru cele 130 de tone cerute de fabrică?

Rezolvare. a) Pasul 1: $f$ are trei termeni, $12$, $6\sqrt{t}$ și $-2t$. Pasul 2, din tabel: primitiva constantei $12$ este $12t$. Primitiva lui $\sqrt{t}$ este $\frac{2t\sqrt{t}}{3}$, iar factorul 6 rămâne în față: $6\cdot \frac{2t\sqrt{t}}{3}=4t\sqrt{t}$. Primitiva lui $t$ este $\frac{t^2}{2}$, deci a lui $-2t$ este $-t^2$. Pasul 3: $F(t)=12t+4t\sqrt{t}-t^2+C$, iar din $F(0)=0$ rezultă $C=0$. b) La 11:00, $t=4$ și $\sqrt{4}=2$, deci $F(4)=48+32-16=64$ tone; în toată ziua, $t=9$ și $\sqrt{9}=3$, deci $F(9)=108+108-81=135$ tone. c) Cum $135\ge 130$, ziua ajunge, cu 5 tone peste cerere.

Capcană. Cine împarte la vechiul exponent, $\frac{1}{2}$, în loc de cel nou, $\frac{3}{2}$, obține pentru $6\sqrt{t}$ primitiva $12t\sqrt{t}$ și, la 16:00, $108+324-81=351$ tone, de 2,6 ori mai mult decât corect. Derivata acestui total la 11:00 ar fi $12+36-8=40$ tone pe oră, deși terminalul combinei arată 16.

Verificare. Pe alt drum, derivând $F$ termen cu termen, $12+4\cdot \frac{3}{2}\sqrt{t}-2t=12+6\sqrt{t}-2t$, adică chiar $f$; la 11:00 iese $12+12-8=16$ tone pe oră, ca în tabel. Și $F(0)=0$: la 7:00 remorcile sunt goale.

Exemplul 2 — Zerul din formele de brânză

Domeniu: alimentar.

Enunț. La o fabrică de brânzeturi, după ce coagulul tăiat e pus în forme, zerul se scurge tot mai încet, pe măsură ce cașul se strânge. Debitul zerului este $q(t)=\frac{180}{2t+5}$ litri pe oră, la $t$ ore de la umplerea formelor, pentru $0\le t\le 10$ (model din exemplu). Cantitatea de zer scursă de la umplere este funcția $V$ cu $V^{\prime }=q$ și $V(0)=0$. a) Aflați $V(t)$. b) Câți litri se scurg în primele 5 ore? c) Câți litri se scurg între orele 5 și 10?

Rezolvare. a) Pasul 1: $q(t)=180\cdot \frac{1}{2t+5}$. Pasul 2, din tabel: primitiva lui $\frac{1}{ax+b}$ este $\frac{\ln (ax+b)}{a}$, iar aici $a=2$, deci primitiva lui $\frac{1}{2t+5}$ este $\frac{\ln (2t+5)}{2}$ și cea a lui $q$ este $90\ln (2t+5)$. Pasul 3: $V(t)=90\ln (2t+5)+C$; din $V(0)=90\ln 5+C=0$ rezultă $C=-90\ln 5$, deci $V(t)=90\ln (2t+5)-90\ln 5$. b) $V(5)=90\ln 15-90\ln 5=90\ln 3\approx 98,88$ litri. c) $V(10)=90\ln 25-90\ln 5=90\ln 5\approx 144,85$ litri, deci între orele 5 și 10 se scurg $90\ln 5-90\ln 3\approx 45,97$ litri.

Capcană. Cine uită să împartă la 2 obține $180\ln (2t+5)$ și, pentru primele 5 ore, $180\ln 3\approx 197,75$ litri. Atât nu se poate scurge: chiar dacă debitul de la început, de 36 de litri pe oră, ar rămâne constant, în 5 ore ar ieși doar 180 de litri, iar debitul scade.

Verificare. Derivând $90\ln (2t+5)$ obții $90\cdot \frac{2}{2t+5}=\frac{180}{2t+5}$, adică $q$. Și $V(0)=90\ln 5-90\ln 5=0$.

Exemplul 3 — Stâlpii de gard impregnați

Domeniu: lemn.

Enunț. Un atelier impregnează stâlpi de gard din lemn de pin, ținuți într-o baie cu soluție de protecție. Lotul de stâlpi absoarbe soluția cu viteza $r(t)=4+36e^{-t/2}$ litri pe oră, la $t$ ore după scufundare, pentru $0\le t\le 6$ (model din exemplu): porii de la suprafață se umplu repede, apoi soluția mai pătrunde încet, cu un ritm aproape constant. Cantitatea absorbită de la scufundare este funcția $W$ cu $W^{\prime }=r$ și $W(0)=0$. a) Aflați $W(t)$. b) Câți litri a absorbit lotul în primele 2 ore și în primele 4 ore? c) Cât din soluția absorbită în 4 ore vine din termenul constant și cât din cel cu exponențială?

Rezolvare. a) Pasul 1: $r$ are doi termeni, $4$ și $36e^{-t/2}$. Pasul 2: primitiva lui $4$ este $4t$. Pentru $e^{-t/2}$, argumentul este $at$ cu $a=-\frac{1}{2}$, deci primitiva este $\frac{e^{-t/2}}{-\frac{1}{2}}=-2e^{-t/2}$, iar a termenului $36e^{-t/2}$ este $-72e^{-t/2}$. Pasul 3: $W(t)=4t-72e^{-t/2}+C$; din $W(0)=-72+C=0$ rezultă $C=72$, deci $W(t)=4t+72-72e^{-t/2}$. b) $W(2)=8+72-72e^{-1}\approx 53,51$ litri și $W(4)=16+72-72e^{-2}\approx 78,26$ litri. c) La 4 ore, termenul constant dă $4\cdot 4=16$ litri, iar cel cu exponențială dă $72-72e^{-2}\approx 62,26$ litri; suma lor este 78,26 litri.

Capcană. Cine scrie primitiva lui $e^{-t/2}$ ca $2e^{-t/2}$, fără minus, obține $W(t)=4t+72e^{-t/2}-72$ și, la 2 ore, $8+26,49-72\approx -37,51$ litri. O cantitate absorbită negativă nu are sens.

Verificare. Derivând $W$ obții $4-72\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)e^{-t/2}=4+36e^{-t/2}$, adică $r$, iar $W(0)=72-72=0$. Și $W$ crește, pentru că $r(t)>0$: lemnul nu dă soluția înapoi în baie.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: primitiva unei sume cu condiție

Domeniu: mecanica.

Enunț. Cerința de mai jos nu are context practic și are forma de la Subiectul al III-lea, problema 2. Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2-\frac{4}{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}$. a) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=7$. b) Arătați că $F(4)=139-4\ln 4$.

Rezolvare. a) Pasul 1: $f$ are trei termeni, cu factorii 6, $-4$ și 3. Pasul 2, din tabel: primitiva lui $x^2$ este $\frac{x^3}{3}$, deci a lui $6x^2$ este $2x^3$. Primitiva lui $\frac{1}{x}$ este $\ln x$, deci a lui $-\frac{4}{x}$ este $-4\ln x$. Primitiva lui $\frac{1}{\sqrt{x}}$ este $2\sqrt{x}$, deci a lui $\frac{3}{\sqrt{x}}$ este $6\sqrt{x}$. Pasul 3: $F(x)=2x^3-4\ln x+6\sqrt{x}+C$; din $F(1)=2-0+6+C=7$ rezultă $C=-1$, deci $F(x)=2x^3-4\ln x+6\sqrt{x}-1$. b) $F(4)=2\cdot 64-4\ln 4+6\cdot 2-1=139-4\ln 4$.

Capcană. Cine ia pentru $\frac{3}{\sqrt{x}}$ primitiva $3\sqrt{x}$, fără factorul 2 al tabelului, obține $C=2$ și $F(4)=136-4\ln 4$, cu 3 mai puțin decât valoarea cerută.

Verificare. Derivând obții $6x^2-\frac{4}{x}+6\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=6x^2-\frac{4}{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}$, adică $f$. Și $F(1)=2-0+6-1=7$, cum cere enunțul.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Află câte o primitivă a funcțiilor: a) $f(x)=8x^3-9x^2+4$ pe $\mathbb{R}$; b) $g(x)=6e^x-\frac{5}{x}$ pe $(0,+\infty )$.

2. Se știe că $F(x)=x^4-2x$ este o primitivă a funcției $f$ și că $G(x)=x^2-5$ este o primitivă a funcției $g$. Află o primitivă a funcției $7f-2g$ și arată prin derivare că ai dreptate.

3. Află primitiva $F$ a funcției $f(x)=9\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$ pentru care $F(4)=50$.

4. Află câte o primitivă a funcțiilor $f(x)=(3x+2{)}^4$ și $g(x)=e^{5x-1}$, apoi verifică prin derivare.

Nivelul 2 — situații

5. O echipă nouă de electricieni înlocuiește contoarele vechi cu contoare inteligente într-un cartier. Pe măsură ce oamenii capătă îndemânare, ritmul crește: $d(t)=50+12\sqrt{t}$ contoare pe săptămână, la $t$ săptămâni de la începerea lucrării, pentru $0\le t\le 9$ (model din exercițiu). Numărul de contoare montate de la început este primitiva $N$ a lui $d$ cu $N(0)=0$. Află $N(t)$ și câte contoare se montează în primele 4 săptămâni și în toate cele 9.

6. Un magazin online anunță prin e-mail că livrările întârzie o zi. Apelurile la serviciul de relații cu clienții vin apoi tot mai rar, cu ritmul $\rho (t)=\frac{120}{t+2}$ apeluri pe oră, la $t$ ore după e-mail, pentru $0\le t\le 8$ (model din exercițiu). Numărul apelurilor primite de la e-mail este primitiva $R$ a lui $\rho$ cu $R(0)=0$. Află $R(t)$ și numărul de apeluri după 2 ore și după 8 ore, rotunjit la un număr întreg.

7. O piesă se răcește controlat într-un atelier de tratament termic: temperatura ei scade cu viteza $v(t)=90e^{-t/3}$ grade pe oră, la $t$ ore după scoaterea din cuptor, iar la $t=0$ are 400 °C. Scăderea totală de la scoatere este primitiva $S$ a lui $v$ cu $S(0)=0$. Află $S(t)$ și temperatura piesei după 3 ore, rotunjită la zecimi.

8. Pentru fundația unui depozit se sapă o groapă cu pereți înclinați, mai îngustă la fund decât la gură. Aria secțiunii orizontale la înălțimea $h$ metri deasupra fundului este $S(h)=(5h+4{)}^2$ metri pătrați, pentru $0\le h\le 1,2$. Volumul gropii dintre fund și înălțimea $h$ este primitiva $V$ a lui $S$ cu $V(0)=0$. Află $V(h)$ și volumul întregii gropi, adică până la 1,2 m.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3+\frac{5}{x}$. Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=3$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\left(-\frac{5}{2},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=3e^x+\frac{1}{2x+5}$. Demonstrați că funcția $F(x)=3e^x+\frac{1}{2}\ln (2x+5)$ este o primitivă a funcției $f$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(2x+1{)}^3-6x$. Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(0)=1$.

12. (Sinteză.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=mx+\frac{4}{x}$, cu $m$ număr real, și o primitivă oarecare $F$ a ei. Află $m$, știind că $F(2)-F(1)=3+4\ln 2$.

Răspunsuri și verificări

1. a) $F(x)=2x^4-3x^3+4x$; b) $G(x)=6e^x-5\ln x$. Verificare: $F^{\prime }(x)=8x^3-9x^2+4$ și $G^{\prime }(x)=6e^x-\frac{5}{x}$.

2. Funcția $7F-2G$ este o primitivă a lui $7f-2g$: $7(x^4-2x)-2(x^2-5)=7x^4-2x^2-14x+10$. Verificare: $f(x)=4x^3-2$ și $g(x)=2x$, deci $7f-2g=28x^3-4x-14$, iar derivata lui $7x^4-2x^2-14x+10$ este $28x^3-4x-14$.

3. O primitivă este $6x\sqrt{x}+4\sqrt{x}$, iar din $F(4)=48+8+C=50$ rezultă $C=-6$. Deci $F(x)=6x\sqrt{x}+4\sqrt{x}-6$. Verificare: $F(4)=48+8-6=50$.

4. O primitivă a lui $f$ este $\frac{(3x+2{)}^5}{15}$, iar a lui $g$ este $\frac{e^{5x-1}}{5}$. Verificare: derivata primului este $\frac{5(3x+2{)}^4\cdot 3}{15}=(3x+2{)}^4$, iar a celui de-al doilea este $\frac{5e^{5x-1}}{5}=e^{5x-1}$.

5. Primitiva este $N(t)=50t+8t\sqrt{t}$, cu $N(0)=0$. În 4 săptămâni, $N(4)=200+64=264$ de contoare, iar în 9 săptămâni, $N(9)=450+216=666$ de contoare. Verificare: derivata lui $8t\sqrt{t}$ este $8\cdot \frac{3}{2}\sqrt{t}=12\sqrt{t}$, deci $N^{\prime }(t)=50+12\sqrt{t}$, adică $d(t)$.

6. Primitiva este $R(t)=120\ln (t+2)-120\ln 2=120\ln \frac{t+2}{2}$. După 2 ore, $R(2)=120\ln 2\approx 83,18$, adică 83 de apeluri; după 8 ore, $R(8)=120\ln 5\approx 193,13$, adică 193 de apeluri. Verificare: derivata este $\frac{120}{t+2}$, iar $R(0)=120\ln 1=0$.

7. Primitiva este $S(t)=90\cdot (-3)e^{-t/3}+C=-270e^{-t/3}+270$, cu $S(0)=0$. După 3 ore, $S(3)=270-270e^{-1}\approx 170,7$ grade, deci piesa are $400-170,7=229,3$ °C. Verificare: derivata lui $S$ este $270\cdot \frac{1}{3}{e}^{-t/3}=90e^{-t/3}$, iar $S(0)=270-270=0$.

8. Primitiva este $V(h)=\frac{(5h+4{)}^3}{15}-\frac{64}{15}$, cu $V(0)=0$. La 1,2 m, adică în toată groapa, $V(1,2)=\frac{1000}{15}-\frac{64}{15}=62,4$ m³. Verificare: derivata lui $\frac{(5h+4{)}^3}{15}$ este $\frac{3(5h+4{)}^2\cdot 5}{15}=(5h+4{)}^2$, iar $V(0)=\frac{64}{15}-\frac{64}{15}=0$. Fundul are $4\times 4$ m și gura $10\times 10$ m: $S(0)=16$ și $S(1,2)=100$ m².

9. O primitivă este $x^4+5\ln x$, deci $F(x)=x^4+5\ln x+C$. Din $F(1)=1+C=3$ rezultă $C=2$. Verificare: $F(1)=1+0+2=3$ și $F^{\prime }(x)=4x^3+\frac{5}{x}$.

10. Funcția $F$ este derivabilă pe $\left(-\frac{5}{2},+\infty \right)$. Derivata ei este $F^{\prime }(x)=3e^x+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{2x+5}=3e^x+\frac{1}{2x+5}=f(x)$. Deci $F$ este primitivă a lui $f$. Verificare: în $x=0$, $F^{\prime }(0)=3+\frac{1}{5}=f(0)$.

11. O primitivă este $\frac{(2x+1{)}^4}{8}-3x^2$, deci $F(x)=\frac{(2x+1{)}^4}{8}-3x^2+C$. Din $F(0)=\frac{1}{8}+C=1$ rezultă $C=\frac{7}{8}$. Verificare: $F(0)=\frac{1}{8}+\frac{7}{8}=1$ și $F^{\prime }(x)=\frac{4(2x+1{)}^3\cdot 2}{8}-6x=(2x+1{)}^3-6x$.

12. O primitivă are forma $F(x)=\frac{m{x}^2}{2}+4\ln x+C$. Atunci $F(2)-F(1)=\left(2m+4\ln 2+C\right)-\left(\frac{m}{2}+C\right)=\frac{3m}{2}+4\ln 2$, iar constanta $C$ se reduce. Din $\frac{3m}{2}+4\ln 2=3+4\ln 2$ rezultă $m=2$. Verificare: pentru $m=2$, $F(2)-F(1)=3+4\ln 2$.

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), între 2013 și 2026, tabelul primitivelor și liniaritatea au fost folosite în 82 dintre cele 83 de probe, în 121 de cerințe, toate la Subiectul al III-lea, problema 2. Niciuna nu a avut tabelul ca temă principală: în 113 dintre ele tema principală a fost integrala definită, unde primitiva din tabel este primul pas, iar în celelalte 8 s-a cerut o primitivă cu o condiție. În 80 de probe, primitiva uzuală apare chiar la punctul a). Patru cerințe, din patru probe, arată unde intră tabelul:

• Iunie 2014, Subiectul al III-lea, exercițiul 2a: se cere integrala funcției $e^x$ pe $[0;1]$, cu rezultatul $e-1$, deci pasul 2 din Metodă citește primitiva din tabel, iar baremul probei dă 3 puncte pentru primitiva scrisă cu limitele ei și 2 puncte pentru valoarea din cele două capete.
• Proba specială din 2023, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: după ce scazi termenul cu $e^x$ rămâne o fracție cu numărătorul 6 și numitorul $2x+3$, deci pasul 1 scoate factorul 6, pasul 2 împarte la 2, coeficientul lui $x$, iar baremul probei dă 3 puncte pentru primitiva cu logaritm și 2 puncte pentru valoarea $3\ln 3$ din limite.
• Iunie 2026, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: integrala cere funcția $4x-f(x)$ împărțită la $\sqrt{x}$, care se reduce la o constantă și o fracție cu $\sqrt{x}$ la numitor, deci pasul 1 din Metodă face reducerea, pasul 2 dă primitivele $6x$ și $-6\sqrt{x}$, iar baremul probei dă 3 puncte pentru reducere și primitivă și 2 puncte pentru valoarea 12.
• Modelul din 2019, Subiectul al III-lea, exercițiul 2a: se dă o funcție pe $(0,+\infty )$ și se cere primitiva ei care ia valoarea 0 în punctul 1, iar funcția are un termen putere și unul cu $\frac{1}{x}$, deci pasul 2 ia primitivele din tabel, pasul 3 adaugă constanta, iar baremul probei dă 3 puncte pentru primitiva scrisă cu constanta $c$ și 2 puncte pentru valoarea lui $c$ din condiție.

Valorile din capetele unei integrale le calculezi cu formula din lecția despre calculul cu formula Leibniz–Newton. Exercițiile 9–11 exersează trei forme din lecție: primitiva cu condiție, verificarea unei primitive cu argument liniar și primitiva unei puteri cu argument liniar. Exercițiul 12 arată de ce constanta nu contează când scazi două valori ale aceleiași primitive.

Greșeli care costă puncte

• Împarți la vechiul exponent, nu la cel nou → primitiva lui $\sqrt{x}$ iese $2x\sqrt{x}$, ca la combina din exemplul 1; cum o prinzi: derivezi rezultatul, iar $x\sqrt{x}$ cere factorul $\frac{2}{3}$.
• Uiți să împarți la $a$ când argumentul este $ax+b$ → primitiva lui $\frac{1}{2t+5}$ iese fără factorul $\frac{1}{2}$, ca la zerul din exemplul 2; cum o prinzi: derivata lui $\ln (2t+5)$ are factorul 2, iar cantitatea nu poate depăși debitul de pornire ținut constant.
• Pierzi semnul lui $a$ la o exponențială → primitiva lui $e^{-t/2}$ iese $2e^{-t/2}$, ca la stâlpii din exemplul 3; cum o prinzi: o cantitate care crește nu poate ieși negativă.
• Faci primitiva unui produs ca produs al primitivelor → pentru $x\cdot x$ ai scrie $\frac{x^4}{4}$ în loc de $\frac{x^3}{3}$; cum o prinzi: derivezi și vezi că nu obții funcția dată.
• Uiți $+C$ când enunțul pune o condiție → primitiva nu trece prin punctul dat, ca la exemplul 4; cum o prinzi: înlocuiești punctul în primitiva găsită.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Calculul primitivelor uzuale, cu proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite, se cere la Subiectul al III-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 82 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Câte tone ar fi adunat combina până la 16:00 dacă ritmul ar fi rămas la vârful de la 9:15? Ar fi adunat $16,5\cdot 9=148,5$ tone, cu 13,5 tone mai mult decât cele 135 reale. Diferența vine din faptul că ritmul nu rămâne la vârf: începe de la 12, urcă până la 16,5 și coboară din nou la 12. Pentru un ritm care se schimbă folosești primitiva, nu produsul dintre ritm și ore.

Ce se schimbă dacă fabrica cere 140 de tone, nu 130? Ziua nu ajunge: $F(9)=135$, deci lipsesc 5 tone. Formula $f$ este valabilă numai pentru $0\le t\le 9$, adică până la 16:00, așa că nu o prelungești peste ora 9. Cele 5 tone se completează în ziua următoare, cu o nouă formulă.

Ce se schimbă dacă la 7:00 în remorci erau deja 20 de tone, rămase de ieri? Condiția devine $F(0)=20$, deci $C=20$ și formula este $12t+4t\sqrt{t}-t^2+20$. La 16:00 în remorci ar fi 155 de tone. Ritmul și tonele adunate în ziua aceea rămân aceleași, 135; constanta spune doar ce era deja în remorci la pornire.

Câte tone ar fi adunat combina dacă ritmul de bază ar fi fost de 14 tone pe oră, nu de 12? Primitiva termenului constant devine $14t$ în loc de $12t$, iar ceilalți doi termeni rămân. Prin liniaritate, totalul zilei crește cu $2\cdot 9=18$ tone și ajunge la $135+18=153$ de tone, adică 23 de tone peste cerere. Numai termenul schimbat trebuie refăcut.

Cum aleg rândul din tabel pentru $\frac{1}{2t+5}$? Funcția seamănă cu $\frac{1}{t}$, deci primitiva are un logaritm, dar în loc de $t$ apare o expresie de gradul întâi, cu coeficientul 2 la $t$. Scrii $\frac{\ln (2t+5)}{2}$: împarți la 2, coeficientul lui $t$. Verifici derivând, fiindcă derivata lui $\ln (2t+5)$ are factorul 2 din argument, care se reduce cu împărțirea și lasă înapoi funcția de la care ai pornit.

În ce cerințe de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) a intrat tabelul primitivelor? În probele oficiale 2013–2026 tabelul și liniaritatea au apărut în 82 dintre cele 83 de probe, în 121 de cerințe. Nicio cerință nu le-a avut ca temă principală: 113 au fost integrale definite, iar 8 au cerut o primitivă cu o condiție.