Consum și debit: funcția de gradul I, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Cât consumă o autoutilitară la 100 km? Cu ce debit umple o pompă un rezervor? Când consumul sau debitul rămân constante, răspunsul stă în panta unei drepte, graficul unei funcții de gradul I. Ca elev de liceu tehnologic, din clasa a IX-a citești dreapta aceasta: valorile, punctele de pe axe, creșterea sau scăderea, momentul în care atinge un prag. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), funcția de gradul I a avut câte o cerință în 48 dintre cele 83 de probe din 2013–2026.

Situația de pornire

O firmă de curierat din Sibiu are o autoutilitară diesel de 3,5 t, cu rezervorul de 70 l. Pe ruta de după-amiază, sistemul de monitorizare a flotei trece în fișa de parcurs, la fiecare oprire pentru livrare, kilometrii parcurși de la plecare și combustibilul din rezervor, măsurat de sonda de nivel; opririle nu sunt la distanțe egale, fiindcă adresele clienților sunt împrăștiate. Seara, mecanicul firmei vrea să afle cât consumă mașina încărcată și când trebuie să alimenteze, fiindcă lampa de rezervă se aprinde la 9 l de motorină.

Distanța parcursă, $x$ (km)	Combustibil în rezervor, $f (x)$ (l)
0	64
24	61
56	57
104	51
152	45
208	38

Mecanicul trece punctele din tabel pe hârtie milimetrică și obține graficul de mai jos.

Întrebare: cât consumă autoutilitara la 100 km, cât combustibil rămâne după 296 km și după câți kilometri se aprinde lampa de rezervă?

De la situație la model

În situație	În matematică
kilometrii parcurși de la plecare	argumentul $x$ , pe axa $O x$
combustibilul din rezervor, măsurat de sondă	valoarea funcției, $f (x)$ , pe axa $O y$
nivelul de la plecare, 64 l	intersecția cu $O y$ : punctul $(0; f (0))$
cât scade nivelul la fiecare kilometru	panta $a$ , adică rata de schimbare
rezervorul gol	zeroul funcției: $f (x_{0}) = 0$ , punctul $(x_{0}; 0)$
lampa de rezervă, la 9 l	ecuația $f (x) = 9$

Funcția afină este o funcție $f : R \to R$ de forma $f (x) = a x + b$ , cu $a$ și $b$ numere reale; când $a \neq = 0$ , i se mai spune și funcție de gradul I. Numărul $a$ este panta, iar $b = f (0)$ este ordonata la origine. Graficul ei este o dreaptă. Pe drumul din situație, $x$ nu poate fi oricât: graficul există doar între plecare și rezervorul gol.

Cum vezi din fișa de parcurs că punctele stau pe o dreaptă?

Împarți, pentru perechi de rânduri, cât s-a schimbat nivelul la cât s-a schimbat distanța. Între $x = 24$ și $x = 56$ nivelul scade cu 4 l pe 32 km. Între $x = 56$ și $x = 104$ scade cu 6 l pe 48 km. Ambele rapoarte dau $- \frac{1}{8}$ . Dacă raportul rămâne același pentru orice două rânduri, punctele sunt pe o dreaptă, iar dependența este afină. Dacă raportul se schimbă, graficul nu e o dreaptă și lecția aceasta nu se aplică.

Ce spun panta și semnul ei despre consum?

Panta se calculează din două puncte ale dreptei: împarți cât s-a schimbat $f (x)$ la cât s-a schimbat $x$ , scăzând în aceeași ordine sus și jos.

$a = \frac{varia ț ia lui f ( x )}{varia ț ia lui x}$

Ea spune cu cât se modifică valoarea funcției la fiecare unitate adăugată lui $x$ , iar unitatea ei este raportul unităților: aici litri pe kilometru, $l/km$ . Pe drumul din situație, $a = - \frac{1}{8}$ : nivelul scade cu un litru la fiecare 8 km.

Consumul se spune însă la 100 km: $100 : 8 = 12, 5$ , deci mașina consumă 12,5 l la 100 km. Semnul pantei hotărăște sensul graficului. Dacă $a < 0$ , dreapta coboară de la stânga la dreapta și funcția este strict descrescătoare, ca nivelul din rezervor. Dacă $a > 0$ , funcția este strict crescătoare, ca volumul unui bazin care se umple. Definițiile creșterii și ale scăderii sunt cele din lecția citirea graficului.

Plecarea și rezervorul gol: punctele de pe axe

Axa $O y$ are ecuația $x = 0$ , deci dreapta o taie în $(0; b)$ ; aici, în $(0; 64)$ . Axa $O x$ are ecuația $y = 0$ , deci afli abscisa din $a x + b = 0$ , adică $x_{0} = - \frac{b}{a}$ când $a \neq = 0$ . Aici $x_{0} = 512$ , iar punctul este $(512; 0)$ . Pentru kilometri între 0 și 512, nivelul ia toate valorile de la 64 la 0, deci mulțimea valorilor este $[0; 64]$ . Pe un interval închis, o funcție afină își atinge maximul și minimul în capete: maximul este 64 l, la plecare, iar minimul corespunde rezervorului gol, la 512 km. Pe toată axa reală, o funcție de gradul I nu are nici maxim, nici minim.

Când se aprinde lampa și unde se întâlnesc două drepte?

Pentru o valoare dată $m$ , duci pe grafic orizontala $y = m$ . Graficul unei funcții de gradul I nu e orizontal, deci orizontala îl taie într-un singur punct: $f (x) = m$ are o soluție, pe care o afli rezolvând $a x + b = m$ . Pentru două funcții afine, $f$ și $g$ , ecuația $f (x) = g (x)$ cere abscisa punctului în care se taie graficele lor. Dacă pantele sunt egale, dreptele sunt paralele sau coincid și o asemenea abscisă nu există sau nu e unică. Inecuația $f (x) \geq g (x)$ are ca soluții abscisele punctelor în care graficul lui $f$ stă deasupra graficului lui $g$ sau îl atinge.

Creșterea exponențială și scările logaritmice sunt cerute de programa aceleiași unități, dar nu la dreaptă. Le găsești în lecția despre funcția exponențială. Parabola și vârful ei sunt în lecția profit maxim.

Metoda pas cu pas

Privește întâi axele. Notează ce mărime e pe fiecare axă, în ce unitate, și între ce valori are sens $x$ în situație. Dacă datele vin într-un tabel, verifică mai întâi că raportul variațiilor e același pentru orice două rânduri; altfel punctele nu stau pe o dreaptă.
Calculează panta. Alege două puncte clare ale dreptei, la intersecții de caroiaj și cât mai depărtate unul de altul. Împarte variația lui $f (x)$ la variația lui $x$ , în aceeași ordine sus și jos, și scrie unitatea raportului. Semnul spune dacă funcția crește sau scade.
Scrie formula. Citește $b = f (0)$ pe axa $O y$ ; dacă $0$ nu face parte din domeniu, afli $b$ dintr-un punct cunoscut: $b = f (x_{1}) - a x_{1}$ . Formula este $f (x) = a x + b$ și o poți citi în cuvinte: valoarea de plecare plus panta înmulțită cu $x$ .
Tradu întrebarea în ecuație. Pentru valoarea de la $p$ calculezi $f (p)$ . Pentru „când se atinge $m$ ?” rezolvi $a x + b = m$ . Pentru intersecția cu $O x$ rezolvi $f (x) = 0$ . Pentru două grafice rezolvi $f (x) = g (x)$ . La o cerință cu „punctul” scrii ambele coordonate. Apoi vezi dacă soluția stă în domeniul practic.
Verifică pe alt drum. Pune soluția în formulă, apoi compară-o cu un punct citit direct pe grafic. Scrie unitatea și întreabă-te dacă mărimea are sens în meserie.

Fiecare pas are rostul lui. Din pasul 1 afli unitatea răspunsului, din pasul 2 sensul de variație, iar pasul 5 trădează o citire greșită cu o linie de caroiaj. O dreaptă orizontală are panta zero: $f$ este constantă, nu mai e de gradul I și nu are zero decât dacă $b = 0$ . Celelalte lecții ale clasei sunt în traseul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$f (x) = a x + b, a = \frac{varia ț ia lui f ( x )}{varia ț ia lui x}$

$pe O y : (0; b) pe O x : (- \frac{b}{a}; 0), a \neq = 0$

Se aplică numai când punctele sunt pe o dreaptă: raportul variațiilor e același pentru orice două perechi. Dacă $a > 0$ , funcția crește; dacă $a < 0$ , scade. Pentru două grafice, $f (x) = g (x)$ dă abscisa punctului comun. Verificare rapidă: formula trebuie să dea înapoi punctele citite, iar la $x = 0$ trebuie să obții $b$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Consumul și autonomia

Domeniu: auto.

Enunț. Folosește graficul din situația de pornire. a) Citește consumul la 100 km și scrie formula lui $f$ . b) Cât combustibil rămâne după 296 km? c) După câți kilometri se aprinde lampa de rezervă, la 9 l? d) La ce kilometraj se golește rezervorul, care este mulțimea valorilor de pe graficul desenat și unde își atinge funcția maximul și minimul?

Rezolvare. a) Luăm punctele $(56; 57)$ și $(152; 45)$ : $a = \frac{45 - 57}{152 - 56} = \frac{- 12}{96} = - \frac{1}{8}$ l/km, adică un litru la 8 km. La 100 km, $100 \cdot \frac{1}{8} = 12, 5$ l. Ordonata la origine este $f (0) = 64$ , deci $f (x) = 64 - \frac{x}{8}$ .

b) $f (296) = 64 - \frac{296}{8} = 64 - 37 = 27$ l.

c) Rezolvăm $f (x) = 9$ : $64 - \frac{x}{8} = 9$ , deci $\frac{x}{8} = 55$ și $x = 440$ km.

d) Rezolvăm $f (x) = 0$ : $x = 8 \cdot 64 = 512$ km. Graficul desenat merge de la $x = 0$ la $x = 512$ , iar mulțimea valorilor este $[0; 64]$ l. Panta este negativă, deci funcția este strict descrescătoare: maximul, de 64 l, se atinge la $x = 0$ , iar minimul, rezervorul gol, la $x = 512$ .

Capcană. Cine împarte variația kilometrilor la variația nivelului obține $\frac{96}{- 12} = - 8$ . Numărul acesta înseamnă 8 km parcurși cu un litru, adică inversul consumului, nu litri pe kilometru.

Verificare. Formula dă înapoi și punctele nefolosite la pantă: $f (24) = 64 - 3 = 61$ l și $f (208) = 64 - 26 = 38$ l, ca în tabel. De la ultima oprire, $(208; 38)$ , până la lampă se mai consumă $38 - 9 = 29$ l, adică $29 \cdot 8 = 232$ km, deci lampa se aprinde la $208 + 232 = 440$ km; până la rezervorul gol mai sunt $38 \cdot 8 = 304$ km, deci 512 km.

Exemplul 2 — Debitul unei pompe

Domeniu: agricol.

Enunț. Pe o fermă de legume, o pompă umple un rezervor de irigație cu capacitatea de 15 m³. Indicatorul de nivel arată că volumul din rezervor, în m³, la $t$ ore după pornire, crește după graficul unei funcții afine care trece prin punctele $(1; 6)$ și $(3; 13, 2)$ . a) Află debitul pompei în m³/h și în l/min. b) Câtă apă era în rezervor la pornire? c) După cât timp se umple rezervorul și pentru ce valori ale lui $t$ are sens graficul? d) De când conține rezervorul cel puțin 12 m³?

Rezolvare. a) Panta este $\frac{13 , 2 - 6}{3 - 1} = \frac{7 , 2}{2} = 3, 6$ m³/h, deci debitul este de 3,6 m³/h. Un m³ are 1000 l, iar o oră are 60 min: $\frac{3 , 6 \cdot 1000}{60} = 60$ l/min.

b) $b = 6 - 3, 6 \cdot 1 = 2, 4$ , deci la pornire erau 2,4 m³ și $V (t) = 2, 4 + 3, 6 t$ .

c) $V (t) = 15$ dă $3, 6 t = 12, 6$ , deci $t = 3, 5$ h, adică 3 h 30 min. Graficul are sens pentru $t \in [0; 3, 5]$ , iar mulțimea valorilor este $[2, 4; 15]$ .

d) $2, 4 + 3, 6 t \geq 12$ dă $3, 6 t \geq 9, 6$ , deci $t \geq \frac{8}{3}$ h, adică de la 2 h 40 min după pornire până la umplere.

Capcană. Dreapta continuă pe hârtie și după $t = 3, 5$ , dar rezervorul nu. Formula ar da, la $t = 4$ , volumul $2, 4 + 14, 4 = 16, 8$ m³, mai mult decât încape: valoarea nu are sens fizic.

Verificare. La 60 l/min, în cele 210 min până la umplere intră $60 \cdot 210 = 12600$ l, adică 12,6 m³, iar $2, 4 + 12, 6 = 15$ m³, capacitatea rezervorului. La $t = \frac{8}{3}$ h avem $2, 4 + 3, 6 \cdot \frac{8}{3} = 2, 4 + 9, 6 = 12$ m³.

Exemplul 3 — Dozarea unui reactiv

Domeniu: chimie.

Enunț. O pompă dozatoare introduce un reactiv într-un bazin al unei stații de tratare. Într-un cilindru gradat se citește volumul dozat, în ml, la $t$ secunde după pornirea cronometrului: $(12; 122)$ , $(36; 302)$ și $(60; 482)$ . Dependența este afină. a) Află debitul în ml/s, în l/min și în l/h. b) În cât timp ajunge volumul dozat la 1,5 l? Rotunjește timpul la secundă, în sus.

Rezolvare. a) Panta este $\frac{302 - 122}{36 - 12} = \frac{180}{24} = 7, 5$ ml/s. Într-un minut sunt 60 s, deci $7, 5 \cdot 60 = 450$ ml/min, adică 0,45 l/min. Într-o oră: $0, 45 \cdot 60 = 27$ l/h. Ordonata la origine este $b = 122 - 7, 5 \cdot 12 = 32$ ml, deci $f (t) = 32 + 7, 5 t$ .

b) Mai întâi aducem 1,5 l la aceeași unitate ca $f$ : 1,5 l $= 1500$ ml. Din $32 + 7, 5 t = 1500$ rezultă $t = \frac{1468}{7 , 5} = 195, 7 \dots$ s. Volumul de 1 500 ml se atinge între secunda 195 și secunda 196, deci rotunjim în sus, la 196 s, adică 3 min 16 s.

Capcană. Dacă pui 1,5 în ecuație, fără să transformi litrii în ml, obții $32 + 7, 5 t = 1, 5$ , deci $t < 0$ : un timp negativ arată că unitățile nu se potrivesc.

Verificare. La 195 s volumul este $32 + 7, 5 \cdot 195 = 1494, 5$ ml, încă sub 1 500, iar la 196 s este $32 + 7, 5 \cdot 196 = 1502$ ml, peste 1 500. Deci 196 s este prima secundă întreagă bună.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: timpul unui lot de piese

Domeniu: mecanica.

Enunț. (În stilul Bac M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 95$ . a) Determinați numărul real $a$ pentru care $f (a) = 137$ . b) Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A (a, 8 a)$ aparține graficului funcției $f$ . Dacă $x$ este numărul de piese dintr-un lot strunjit, iar $f (x)$ este timpul de lucru al lotului, în minute (95 min de reglaj al strungului și 3 min pe piesă), spune ce înseamnă fiecare soluție.

Rezolvare. a) Rezolvăm $3 a + 95 = 137$ , deci $3 a = 42$ și $a = 14$ . Un lot de 14 piese cere 137 min. b) Punctul $A (a, 8 a)$ este pe grafic dacă $f (a) = 8 a$ , adică $3 a + 95 = 8 a$ , deci $5 a = 95$ și $a = 19$ . La 19 piese, timpul lotului, în minute, este de 8 ori numărul pieselor: $8 \cdot 19 = 152$ min, adică în medie 8 min pe piesă, cu reglajul inclus.

Capcană. La punctul b) ordonata punctului $A (a, 8 a)$ este $8 a$ , nu $a$ . Cine scrie $f (a) = a$ obține $3 a + 95 = a$ , deci $a = - \frac{95}{2}$ , un număr negativ de piese, fără sens.

Verificare. $f (14) = 3 \cdot 14 + 95 = 137$ și $f (19) = 3 \cdot 19 + 95 = 152 = 8 \cdot 19$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. O dreaptă trece prin punctele $A (3; 21)$ și $B (9; - 3)$ . Calculează panta, scrie formula funcției și află punctul în care dreapta taie axa $O x$ .

2. Determină punctele în care graficul fiecărei funcții taie axele: a) $f (x) = - 7 x + 91$ ; b) $q (x) = 0, 8 x + 2, 4$ ; c) $p (x) = 5$ .

3. Spune dacă fiecare funcție este strict crescătoare sau strict descrescătoare și rezolvă $f (x) = 0$ : a) $f (x) = 39 - 6 x$ ; b) $q (x) = 0, 3 x - 7$ ; c) $p (x) = \frac{x}{4} - 5$ .

4. Tabelul A dă perechile $(x; f (x))$ : $(1; 20)$ , $(4; 29)$ , $(9; 44)$ , $(15; 62)$ . Tabelul B dă $(1; 20)$ , $(4; 29)$ , $(9; 42)$ . Care tabel este al unei funcții afine? Pentru acela, scrie formula.

Nivelul 2 — situații

5. Un boiler electric de 50 l, cu rezistența de 2,5 kW, încălzește apa pentru vestiarul unui atelier. Tabelul arată temperatura apei, în °C, la $x$ minute după pornire: $(0; 13)$ , $(20; 27)$ , $(50; 48)$ , $(70; 62)$ . a) Cu câte grade pe minut crește temperatura? b) Scrie formula. c) Termostatul oprește încălzirea la 75 °C. După câte minute se oprește? Rotunjește la minut, în sus.

6. La o fermă de vaci, greutatea unui vițel, în kg, la $x$ zile de la naștere, hrănit cu lapte și furaj, are graficul unei drepte care trece prin punctele $(20; 60)$ și $(60; 98)$ . a) Care este sporul mediu zilnic, în kg pe zi? b) Cât cântărea la naștere? c) În ce zi ajunge la cel puțin 120 kg?

7. Pe un drum județean lucrează două echipe de asfaltare, fiecare pe tronsonul ei. Lungimea asfaltată pe tronsonul echipei A, în km, cu tot cu zilele trecute, are, la $x$ ore de la începutul lucrului de azi, graficul unei drepte prin $(4; 2, 2)$ și $(8; 3, 2)$ ; pentru echipa B, dreapta trece prin $(2; 1, 5)$ și $(7; 3)$ . a) După câte ore au cele două tronsoane aceeași lungime asfaltată și cât este ea? b) Care tronson are mai mult asfaltat la ora 8 și cu câți metri?

8. Într-o vară secetoasă, nivelul apei din lacul de acumulare al unei microhidrocentrale, măsurat deasupra prizei de apă, în cm, are, la $x$ zile de la ultima ploaie, graficul unei drepte prin $(2; 188)$ și $(7; 143)$ . Turbina funcționează cât timp nivelul este de cel puțin 80 cm. a) Cu câți cm pe zi scade nivelul? b) Scrie formula. c) Până în ce zi funcționează turbina?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 9 x + 26$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f (a) = 98$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Funcția $f : R \to R$ este dată prin $f (x) = 11 x - 27$ . Aflați numărul real $a$ pentru care punctul $A (a, 2 a)$ se află pe graficul lui $f$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcțiile $f : R \to R$ , $f (x) = 7 x - 25$ și $g : R \to R$ , $g (x) = 31 - 9 x$ . Arătați că $f (2) + g (3) = - 7$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x - 17$ . Calculați $f (1) + f (2) + \dots + f (10)$ .

Răspunsuri și verificări

1. Panta este $\frac{- 3 - 21}{9 - 3} = - 4$ , deci $f (x) = - 4 x + b$ , iar din $f (3) = 21$ rezultă $b = 33$ și $f (x) = - 4 x + 33$ . Din $f (x) = 0$ obținem $x = 8, 25$ , deci punctul este $(8, 25; 0)$ . Verificare: $f (9) = - 36 + 33 = - 3$ , ordonata lui $B$ .

2. a) $(0; 91)$ și $(13; 0)$ . b) $(0; 2, 4)$ și $(- 3; 0)$ . c) $(0; 5)$ ; dreapta $y = 5$ este paralelă cu $O x$ , deci nu o taie. Verificare: $- 7 \cdot 13 + 91 = 0$ și $0, 8 \cdot (- 3) + 2, 4 = 0$ .

3. a) Strict descrescătoare; $x = 6, 5$ . b) Strict crescătoare; $x = \frac{70}{3} \approx 23, 3$ . c) Strict crescătoare; $x = 20$ . Verificare: $39 - 6 \cdot 6, 5 = 0$ și $\frac{20}{4} - 5 = 0$ ; semnul pantei, $- 6$ , $0, 3$ și $\frac{1}{4}$ , dă sensul.

4. Tabelul A: rapoartele $\frac{29 - 20}{3} = 3$ , $\frac{44 - 29}{5} = 3$ și $\frac{62 - 44}{6} = 3$ sunt egale, deci este afin, cu $f (x) = 3 x + 17$ . La B, $\frac{29 - 20}{3} = 3$ , dar $\frac{42 - 29}{5} = 2, 6$ , deci nu este afin. Verificare: $3 \cdot 15 + 17 = 62$ .

5. a) $\frac{27 - 13}{20} = 0, 7$ °C pe minut. b) $f (x) = 13 + 0, 7 x$ . c) $13 + 0, 7 x = 75$ dă $x = \frac{62}{0 , 7} \approx 88, 57$ min, deci termostatul oprește încălzirea la 89 min, adică după 1 h 29 min. Verificare: $13 + 0, 7 \cdot 50 = 48$ °C, ca în tabel; la 88 min apa are 74,6 °C, încă sub 75 °C.

6. a) $\frac{98 - 60}{60 - 20} = 0, 95$ kg pe zi. b) $60 - 0, 95 \cdot 20 = 41$ kg. c) $41 + 0, 95 x \geq 120$ dă $x \geq 83, 2 \dots$ , deci în ziua a 84-a, când cântărește $41 + 0, 95 \cdot 84 = 120, 8$ kg. Verificare: în ziua 83 cântărește 119,85 kg, sub 120.

7. a) Echipa A: $\frac{3 , 2 - 2 , 2}{4} = 0, 25$ km/h, deci $L_{A} = 1, 2 + 0, 25 x$ . Echipa B: $\frac{3 - 1 , 5}{5} = 0, 3$ km/h, deci $L_{B} = 0, 9 + 0, 3 x$ . Din $1, 2 + 0, 25 x = 0, 9 + 0, 3 x$ rezultă $x = 6$ h, iar lungimea este $1, 2 + 1, 5 = 2, 7$ km. b) La $x = 8$ : $L_{A} = 3, 2$ km și $L_{B} = 3, 3$ km, deci tronsonul echipei B, cu 0,1 km, adică 100 m mai mult. Verificare: $0, 9 + 0, 3 \cdot 6 = 2, 7$ km.

8. a) $\frac{143 - 188}{5} = - 9$ , deci scade cu 9 cm pe zi. b) $f (x) = 206 - 9 x$ . c) $206 - 9 x \geq 80$ dă $x \leq 14$ , deci turbina merge până în ziua a 14-a de la ultima ploaie. Verificare: $206 - 9 \cdot 14 = 80$ cm, chiar pragul; în ziua a 15-a nivelul ar fi 71 cm, sub prag.

9. Scriem $f (a) = 9 a + 26$ și punem condiția $f (a) = 98$ . Rezolvăm $9 a + 26 = 98$ , deci $9 a = 72$ și $a = 8$ . Verificare: $f (8) = 9 \cdot 8 + 26 = 98$ .

10. Punctul $A (a, 2 a)$ este pe grafic dacă $f (a) = 2 a$ . Obținem $11 a - 27 = 2 a$ , deci $9 a = 27$ și $a = 3$ . Verificare: $f (3) = 33 - 27 = 6 = 2 \cdot 3$ , deci $A (3, 6)$ este pe grafic.

11. $f (2) = 7 \cdot 2 - 25 = - 11$ și $g (3) = 31 - 9 \cdot 3 = 4$ . Atunci $f (2) + g (3) = - 11 + 4 = - 7$ . Verificare: grupând termenii, $7 \cdot 2 - 9 \cdot 3 + (- 25 + 31) = 14 - 27 + 6 = - 7$ .

12. Valorile $f (1) = - 12$ , $f (2) = - 7$ , ..., $f (10) = 33$ formează o progresie aritmetică cu rația 5, fiindcă $f (k + 1) - f (k) = 5$ . Suma celor 10 termeni este $\frac{10 \cdot ( - 12 + 33 )}{2} = 105$ . Verificare: adunarea separată, $5 (1 + 2 + \dots + 10) - 10 \cdot 17 = 5 \cdot 55 - 170 = 105$ .

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), funcția de gradul I se cere la Subiectul I, cerința 2: în probele oficiale 2013–2026 a apărut în 48 de probe. Se dă funcția prin formulă și se cere o valoare, un parametru sau un punct. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele ei:

Iunie 2024, Subiectul I, exercițiul 2: se dă o funcție de gradul I prin formulă și se cere numărul $a$ pentru care $f (a)$ are o valoare dată, deci pasul 4 din Metodă duce la o ecuație de gradul I în $a$ ; baremul probei dă 2 puncte pentru $f (a)$ scrisă cu formula funcției și 3 puncte pentru ecuația și soluția ei.
Modelul din 2023, Subiectul I, exercițiul 2: se dă o funcție de gradul I și se cere $a$ pentru care un punct cu abscisa $a$ și ordonata de trei ori mai mare aparține graficului, deci pasul 4 transformă apartenența punctului într-o ecuație în $a$ ; baremul probei dă 3 puncte pentru ecuația scrisă și 2 puncte pentru valoarea lui $a$ .
Iunie 2021, Subiectul I, exercițiul 2: se dau două funcții de gradul I și se cere să arăți că suma valorilor lor într-un același punct are o valoare dată, deci pasul 4 înseamnă calculul celor două valori; baremul probei dă 2 puncte pentru prima valoare și 3 puncte pentru a doua valoare și suma.
Modelul din 2014, Subiectul I, exercițiul 2: se dă o funcție de gradul I și se cere suma valorilor ei în primele zece numere naturale nenule, deci pasul 4 se combină cu suma unei progresii din lecția progresia aritmetică; baremul probei scrie suma ca $a (1 + 2 + \dots + 10) + 10 b$ pentru 2 puncte și dă rezultatul pentru 3 puncte.

Cerințele sunt scurte și au numere mici, așa că greutatea stă în felul de a scrie: formula, ecuația și răspunsul, fiecare pe rândul lui. Exercițiile 9–12 repetă aceste forme.

Greșeli care costă puncte

Împarți variația lui $x$ la variația lui $f (x)$ și răstorni panta → cum o prinzi: unitatea iese în km pe litru, nu în litri pe kilometru, iar la o funcție care scade panta trebuie să fie negativă.
Prelungești dreapta dincolo de domeniul practic și obții un volum mai mare decât rezervorul sau un nivel negativ → cum o prinzi: scrii intervalul în care are sens $x$ înainte de răspuns și compari soluția cu el.
La un punct de forma $A (a, 2 a)$ pui ordonata $a$ în loc de $2 a$ → cum o prinzi: înlocuiești valoarea găsită în formulă și verifici că punctul se află chiar pe grafic.
Amesteci unitățile când transformi litrii, mililitrii sau m³ → cum o prinzi: scrii unitatea lângă fiecare număr și vezi dacă un timp sau un volum iese negativ.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, funcția de gradul I face parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen o așază în clasa a IX-a). În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 48 de probe.

Întrebări frecvente

Cum aflu consumul la 100 km dacă am doar graficul, fără tabel?

Alegi două puncte clare, la intersecții de caroiaj, și faci raportul dintre scăderea nivelului și distanță. De pildă, între 56 km și 152 km nivelul scade de la 57 l la 45 l. Raportul dintre cele două diferențe dă un litru la 8 km. Împarți 100 la 8 și obții 12,5 l la 100 km. Alegi puncte departe unul de altul, ca să citești mai exact.

Câți kilometri mai poate merge mașina din momentul în care se aprinde lampa de rezervă?

Lampa se aprinde la 9 l, adică la 440 km. Până la rezervor gol mai sunt 512 − 440 = 72 km, adică 9 l înmulțiți cu 8 km pe litru. Lampa e totuși un avertisment: încărcătura, viteza și relieful schimbă consumul real.

Ce se schimbă dacă mașina pleacă cu rezervorul plin, de 70 l?

Panta rămâne $- \frac{1}{8}$ l/km, fiindcă mașina consumă la fel, dar ordonata la origine devine 70. Dreapta nouă e paralelă cu cea veche și stă cu 6 l mai sus: lampa se aprinde la $x = 488$ km, iar rezervorul se golește la 560 km. Cele două drepte nu se taie niciodată, fiindcă au aceeași pantă: la orice kilometraj, rezervorul plin are cu 6 l mai mult.

Ce înseamnă dacă un rând din fișa de parcurs nu se potrivește cu dreapta?

Calculezi valoarea dată de formulă și o compari cu cea înregistrată. La 104 km formula dă $64 - 13 = 51$ l, cât arată și tabelul. Dacă sonda ar fi arătat 54 l, raportul variațiilor s-ar fi schimbat. O asemenea abatere arată o alimentare pe drum, o eroare a sondei sau un consum diferit pe acea porțiune.

Ce cerințe din probele M_tehnologic pornesc de la funcția de gradul I?

Dintre cele 83 de probe oficiale 2013–2026, 48 au o cerință despre funcția de gradul I, de fiecare dată a doua cerință din Subiectul I. Se dă funcția prin formulă și se cere o valoare, un parametru, un punct de pe axe sau punctul comun a două grafice. Pașii 3 și 4 din metodă le rezolvă; la o sumă de valori folosești și progresia aritmetică.