Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2016 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2016 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$ și $b$, pentru care $\frac{10}{3+i}=a+ib$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-1$. Calculați ${\left(f(1)\right)}^{2016}+{\left(f(0)\right)}^{2016}$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $6^{x^2-3x+5}=216$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați în câte moduri poate fi aleasă o echipă formată din 5 elevi din totalul de 6 elevi pe care îi are la dispoziție un antrenor.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(5,0)$ și $B(2m+1,0)$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $C(10,0)$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ în care $AB=5$, $AC=12$ și $BC=13$. Calculați $\cos C$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Arătați că $(A-I_3)(A-I_3)(A-I_3)=O_3$, unde $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ și $O_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Rezolvați ecuația matriceală $AX=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$, unde $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy-x-y+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Calculați $0\ast 1\ast 2\ast 3$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$, știind că $a\ast a\ast 2016=2016$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+1}{x}$.

a) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{2017}{2016}\le f(x)\le 2$, pentru orice $x\in [1,2016]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+2$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^2\left(f(x)+3x^2-2\right)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-x^3+3x^2+x\right)e^{x}dx=2e-1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_{1-a}^{1+a}f(x)dx=0$, pentru orice număr real $a$.

Barem și răspunsuri

Cele 90 p ale cerințelor, împreună cu cele 10 p din oficiu, dau 100 p. Fiecare cerință 1–6 are 5 p, cu două rânduri în barem. Itemii 7–8 alcătuiesc Subiectul al II-lea, itemii 9–10 Subiectul al III-lea; un item de 15 p are trei subpuncte de câte 5 p, iar fiecare subpunct are două rânduri. Rândurile punctate sunt cele ale simulării din 2016; demonstrațiile, probele și explicațiile ne aparțin.

Exercițiul 1. (5 p) — împărțire de numere complexe.

Se amplifică fracția cu conjugatul numitorului, $3-i$, ca numitorul să devină real: $$\frac{10}{3+i}=\frac{10(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{10(3-i)}{9-i^2}=\frac{10(3-i)}{10}=3-i\text{(3 p)}.$$ Egalitatea a două numere complexe înseamnă coincidența părților reale și a celor imaginare. Din $3-i=a+ib$: $$\mathbf{a}=3,\mathbf{b}=-1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $(3-i)(3+i)=9-i^2=10$, deci $3-i$ este chiar câtul. Capcană: se uită că $i^2=-1$ și se ia $i^2=1$; numitorul ar fi $9-1=8$, iar rezultatul $\frac{5(3-i)}{4}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — puteri ale valorilor unei funcții.

Valorile sunt $f(1)=1-1=0$ și $f(0)=0-1=-1$ (2 p).

Un număr nenul ridicat la o putere pare dă o valoare pozitivă, iar $0$ la o putere pozitivă rămâne $0$: $${\left(f(1)\right)}^{2016}+{\left(f(0)\right)}^{2016}=0^{2016}+(-1{)}^{2016}=0+1=1\text{(3 p)}.$$

(Capcană: $(-1{)}^{2016}$ se ia $-1$; dar exponentul $2016$ este par, deci rezultatul este $+1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Numărul $216$ este $6^3$, deci ecuația este $6^{x^2-3x+5}=6^3$. Baza $6$ fiind mai mare ca $1$, exponenții coincid: $$x^2-3x+5=3⟺x^2-3x+2=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul al II-lea se scrie $(x-1)(x-2)=0$, deci $$\mathbf{x}\in \{1,2\}\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $x=1$, exponentul este $1-3+5=3$; pentru $x=2$, este $4-6+5=3$. Capcană: $216$ se scrie $6^2$; atunci ecuația ar deveni $x^2-3x+3=0$, cu $\Delta =9-12=-3<0$, fără soluții reale, deși $6^2=36$, nu $216$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinări.

Ordinea elevilor nu contează, deci numărul echipelor este un număr de combinări: $$C_6^5=\frac{6!}{5!(6-5)!}\text{(3 p)}.$$ Cum $6!=6\cdot 5!$, rezultă $\frac{6\cdot 5!}{5!\cdot 1}=6$ (2 p).

(Altă cale: a alege $5$ elevi înseamnă a lăsa pe dinafară unul singur, și sunt $6$ elevi de lăsat. Capcană: se ia în seamă ordinea, adică aranjamentele $A_6^5=\frac{6!}{1!}=720$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Abscisa mijlocului este media absciselor capetelor; punctul $C(10,0)$ fiind mijlocul lui $AB$, pentru abscise avem $$10=\frac{5+2m+1}{2}\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2m+6=20$, adică $2m=14$ și $\mathbf{m}=7$ (2 p).

(Probă: pentru $m=7$, $B(15,0)$, iar mijlocul lui $A(5,0)$ și $B(15,0)$ este $\left(\frac{5+15}{2},0\right)=(10,0)$. Capcană: se omite împărțirea la $2$ și suma absciselor se egalează direct cu $10$; atunci $m=2$, iar $B(5,0)$ ar coincide cu $A$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi cu laturile $5$, $12$, $13$.

Se verifică reciproca teoremei lui Pitagora: $A{B}^2+A{C}^2=25+144=169=B{C}^2$. Latura cea mai lungă, $BC$, este opusă unghiului drept, deci triunghiul este dreptunghic în $A$ (2 p).

Cosinusul unghiului $C$ este cateta alăturată împărțită la ipotenuză: $$\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $\sin C=\frac{5}{13}$, iar ${\left(\frac{12}{13}\right)}^2+{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=\frac{144+25}{169}=1$. Capcană: se ia cateta opusă la numărător, $\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}$, adică sinusul lui $C$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $3\times 3$.

a) (5 p) Prin regula lui Sarrus, determinantul are șase produse de câte trei elemente: $$\det A=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 3\cdot 0+4\cdot 0\cdot 0-4\cdot 1\cdot 0-1\cdot 3\cdot 0-2\cdot 0\cdot 1=1+0+0-0-0-0\text{(3 p)}.$$ $$\det A=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: matricea este triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonală, $1\cdot 1\cdot 1$. Capcană: în loc de produsul diagonalei, se adună elementele ei, $1+1+1=3$.)

b) (5 p) Se scade matricea unitate: $$A-I_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 4\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Pătratul, rând peste coloană: $$(A-I_3{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),(A-I_3{)}^3=(A-I_3{)}^2\cdot (A-I_3)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=O_3\text{(3 p)}.$$

(Probă: singurul element nenul al pătratului, $6$, se află în colțul din dreapta sus, iar în produsul cu $A-I_3$ el se înmulțește cu elemente din ultimul rând, care sunt toate $0$. Capcană: pătratul se face pe poziții, $\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 16\\ 0& 0& 9\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, ceea ce nu este $(A-I_3{)}^2$.)

c) (5 p) Înmulțirea $AX$ dă un sistem triunghiular: $$\{\begin{array}{l}x+2y+4z=0\\ y+3z=1\\ z=2\end{array}\text{(2 p)}.$$ Se rezolvă de jos în sus: $z=2$, apoi $y=1-3\cdot 2=-5$, apoi $x=-2y-4z=10-8=2$: $$\mathbf{x}=2,\mathbf{y}=-5,\mathbf{z}=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: $2+2\cdot (-5)+4\cdot 2=0$, $-5+3\cdot 2=1$ și $z=2$. Capcană: în a doua ecuație se adună $3\cdot 2$ în loc să se scadă, $y=1+3\cdot 2=7$; atunci $y+3z=7+6=13\ne 1$, deci a doua ecuație nu e verificată.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă.

a) (5 p) Constanta $2$ se scrie $1+1$: $$x\ast y=xy-x-y+1+1\text{(2 p)}.$$ Se grupează: $x(y-1)-(y-1)+1$, deci $$x\ast y=(x-1)(y-1)+1\text{(3 p)}.$$

(Probă prin dezvoltare: $(x-1)(y-1)+1=xy-x-y+1+1$. Capcană: factorii se scriu cu plus, $x+1$ și $y+1$; dezvoltat, produsul lor are termenii $+x$ și $+y$, nu $-x$ și $-y$.)

b) (5 p) Se calculează întâi $0\ast 1=(0-1)(1-1)+1=1$, iar legea fiind asociativă, expresia se poate scrie $$0\ast 1\ast 2\ast 3=1\ast 2\ast 3=1\ast (2\ast 3)\text{(3 p)}.$$ Cum $2\ast 3=(2-1)(3-1)+1=3$, rămâne $1\ast 3=(1-1)(3-1)+1=1$ (2 p).

(Observație: $1\ast y=(1-1)(y-1)+1=1$ pentru orice $y$, deci rezultatul este $1$ oricum. Capcană: $0\ast 1$ se ia produsul obișnuit $0\cdot 1=0$, nu valoarea legii.)

c) (5 p) Din forma de la a), $a\ast a=(a-1{)}^2+1$, iar apoi $$a\ast a\ast 2016=(a\ast a)\ast 2016=((a\ast a)-1)(2016-1)+1=2015(a-1{)}^2+1\text{(2 p)}.$$ Ecuația $2015(a-1{)}^2+1=2016$ înseamnă $(a-1{)}^2=1$, deci $a-1=1$ sau $a-1=-1$: $$\mathbf{a}\in \{0,2\}\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $a=0$, $(0-1{)}^2=1$, iar pentru $a=2$, $(2-1{)}^2=1$. Capcană: din $(a-1{)}^2=1$ se reține numai $a=2$, dar și $a-1=-1$ convine, adică $a=0$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, margini.

a) (5 p) Limita este definiția derivatei în punctul $2$: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)\text{(2 p)}.$$ Se scrie $f(x)=1+\frac{1}{x}$, deci $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$ și $$f^{\prime }(2)=-\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: raportul se simplifică prin $x-2$ și devine $-\frac{1}{2x}$, cu limita $-\frac{1}{4}$. Capcană: derivata raportului se ia raportul derivatelor, $\frac{1}{1}=1$.)

b) (5 p) Pentru $x=1$: $f(1)=\frac{1+1}{1}=2$ și $f^{\prime }(1)=-\frac{1}{1^2}=-1$ (2 p).

Ecuația tangentei este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-2=-(x-1)$: $$\mathbf{y}=-\mathbf{x}+3\text{(3 p)}.$$

(Probă: dreapta trece prin $(1,2)$, fiindcă $-1+3=2$. Capcană: panta se ia $+1$, cu semnul derivatei pierdut; dreapta $y=x+1$ ar urca, dar $f$ scade.)

c) (5 p) Pentru $x>0$, $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,+\infty )$ (2 p).

Pe $[1,2016]$ valorile sunt cuprinse între cea din capătul drept și cea din capătul stâng: $$f(2016)=\frac{2017}{2016}\le f(x)\le f(1)=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: $\frac{2017}{2016}=1+\frac{1}{2016}$ este puțin peste $1$, iar $2>1$. Capcană: se extinde intervalul până la $0$, adică $f(0)$, dar $0$ nu aparține domeniului $(0,+\infty )$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Termenii $-3x^2$ și $+3x^2$ se reduc, la fel $+2$ și $-2$: $f(x)+3x^2-2=x^3$. Atunci $${\int }_0^2{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{16}{4}-0=4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: ca primitivă a lui $x^3$ se scrie $3x^2$, dar $3x^2$ este derivata lui $x^3$; valoarea ar ieși $12$.)

b) (5 p) Din $f(x)-x^3+3x^2+x=x+2$ rezultă integrala ${\int }_0^1(x+2)e^{x}dx$ (2 p).

Prin părți, cu $u=x+2$ și $v^{\prime }=e^x$, o primitivă este $(x+2)e^x-e^x=(x+1)e^x$: $${\int }_0^1(x+2)e^{x}dx=(x+1)e^x{|}_0^1=2e-1\text{(3 p)}.$$

(Probă: derivata lui $(x+1)e^x$ este $e^x$ plus $(x+1)e^x$, adică tocmai integrandul. Capcană: se ia drept primitivă chiar integrandul; dar derivata lui $(x+2)e^x$ are încă un termen, $e^x$, în plus.)

c) (5 p) O primitivă a lui $f$ este $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x$, iar integrala devine $${\int }_{1-a}^{1+a}f(x)dx=F(1+a)-F(1-a)\text{(2 p)}.$$ Se calculează diferențele, cu $(1+a{)}^4-(1-a{)}^4=8a+8a^3$ și $(1+a{)}^3-(1-a{)}^3=6a+2a^3$: $$F(1+a)-F(1-a)=2a+2a^3-6a-2a^3+4a=0\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $f(x)=(x-1{)}^3-3(x-1)$, adică o funcție impară în $u=x-1$, iar intervalul $[1-a,1+a]$ corespunde lui $u\in [-a,a]$. Capcană: primitiva lui $2$ se scrie $2$, nu $2x$; atunci termenul $4a$ nu ar mai apărea și rezultatul ar fi $-4a$.)

Pentru părinți și profesori

Despre document. Pagina reunește lucrarea de simulare la matematică tehnologic (M_tehnologic, „M3" în limbajul școlilor) din 2016, destinată clasei a XII-a. Foaia nu poartă numărul unei variante: sub titlul probei apar cuvintele „Clasa a XII-a" și „Simulare", iar subsolul spune „Simulare pentru clasa a XII-a". Ca emitenți figurează Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice și Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile sunt cele din PDF, fără nicio modificare, iar tot ce este rezolvare, probă sau ghidaj aparține paginii noastre; baremul oficial a decis doar cum cad punctele pe rânduri. Subiectul se întinde pe două pagini PDF.

Cum e construită foaia. Primul subiect reunește șase exerciții scurte. Al doilea și al treilea au câte două probleme cu subpunctele a), b), c), iar fiecare subpunct valorează 5 puncte. La total se adaugă 10 puncte din oficiu, iar durata de lucru este de trei ore.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Numerele complexe sub formă algebrică, cu operațiile lor, sunt materie de clasa a X-a la examen. Programa școlară nouă pentru clasele IX–X nu are nicio unitate despre ele (formularea „număr complex" lipsește din text); le tratează, pentru candidații din 2027–2029, „Supliment Bac M3 2027–2029: numere complexe".
• Nota 2. Egalarea exponenților este, la examen, o metodă de clasa a X-a. Programa școlară nouă trimite rezolvarea ecuațiilor la grafice sau la instrumente digitale, de aceea metoda stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Combinările fac parte din metodele de numărare din clasa a X-a, atât după programa de examen, cât și după cea școlară nouă; nu e nevoie de supliment.
• Nota 4. Programa de examen nu numește mijlocul unui segment: lista ei de conținuturi din clasa a X-a vorbește despre coordonatele punctelor și despre distanța dintre ele, iar exercițiul 5 cere totuși mijlocul. Programa școlară nouă are coordonatele mijlocului în clasa a IX-a.
• Nota 5. Rezolvarea triunghiului dreptunghic este în clasa a IX-a la examen, iar în programa școlară nouă în clasa a X-a. Pagina urmează programa de examen.

Ce iese din comun în simulare:

• la exercițiul 1, produsul dintre numitor și conjugatul lui este un număr real, ceea ce permite împărțirea;
• la exercițiul 2, valorile funcției sunt $0$ și $-1$, iar puterea $2016$ se află imediat;
• la exercițiul 3 ecuația de gradul al II-lea din exponent are două soluții reale;
• la exercițiul 6 nu e dat niciun unghi, dar laturile cer verificarea unei relații pitagorice;
• matricea de la 7 este triunghiulară, iar $A-I_3$ are puterea a treia nulă;
• legea de la 8 e anunțată asociativă în enunț, deci patru termeni se pot grupa oricum;
• la 9 apare o funcție rațională definită doar pe $(0,+\infty )$, așa că $x=0$ nu se poate folosi nici la margini;
• la 10.c) graficul lui $f$ este simetric față de punctul $(1,0)$, de aceea integrala pe un interval centrat în $1$ este nulă.

Plan de lucru:

• Cronometru. Dacă lași 42 de minute recitirii, îți rămân 138 de minute pentru cele 90 de puncte, adică $\frac{138}{90}\approx 1,5$ minute pentru un punct.
• Rânduri de punctaj. Fiecare cerință din Subiectul I și fiecare subpunct din celelalte două subiecte are două rânduri în barem.
• Ce spune baremul oficial. Se recunoaște orice rezolvare corectă, chiar dacă e diferită de cea scrisă în document. Nu se folosesc fracțiuni de punct, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele indicate. Nota este totalul împărțit la zece.
• Revizuire. La fiecare subpunct cu punctaj incomplet, scrie piesa lipsă: formula, calculul sau justificarea.

Un exemplu de notare. Un candidat cu 55 de puncte la cerințe are 65 de puncte în total și nota $6,5$; unul cu 82 de puncte la cerințe are 92 în total și nota $9,2$.

Formule folosite, pe subiecte:

• Subiectul I. $\frac{p}{q+ri}=\frac{p(q-ri)}{q^2+r^2}$, deoarece $i^2=-1$; $a^u=a^v⟺u=v$ pentru $a>0$, $a\ne 1$; $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; mijlocul segmentului cu capetele de abscise $x_1$ și $x_2$ are abscisa $\frac{x_1+x_2}{2}$; reciproca teoremei lui Pitagora; în triunghiul dreptunghic, cosinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză.
• Subiectul al II-lea. determinantul de ordin $3$ cu regula lui Sarrus; produsul a două matrice se face rând peste coloană; un sistem liniar triunghiular se rezolvă de jos în sus; legea asociativă permite gruparea termenilor.
• Subiectul al III-lea. în punctul $x_0$, derivata este valoarea spre care tinde câtul dintre diferența valorilor lui $f$ și diferența argumentelor; tangenta în punctul de abscisă $x_0$ are ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $f^{\prime }<0$ pe un interval înseamnă $f$ descrescătoare pe el; $\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$.

Despre litere. În simulare, $f$ numește trei funcții: $f(x)=x^2-1$ la exercițiul 2, $f(x)=\frac{x+1}{x}$ la exercițiul 9 și $f(x)=x^3-3x^2+2$ la exercițiul 10. Litera $i$ e unitatea imaginară la exercițiul 1, iar $I_3$ e matricea unitate de la 7. Literele $A$, $B$, $C$ sunt puncte la exercițiul 5 (cu $C$ mijlocul lui $AB$) și vârfuri de triunghi la exercițiul 6, iar $A$ este și matricea de la 7. Litera $a$ apare de trei ori: partea reală căutată la exercițiul 1, necunoscuta de la 8.c) și parametrul din capetele integralei de la 10.c). Simbolul $\ast$ de la 8 notează legea de compoziție, nu o înmulțire. Notația „Itemul n" din secțiunile care urmează vine din barem; la clasă se spune „exercițiul n".