Test tehnologic: metode de numărare

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Metode de numărare

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

O cantină școlară pregătește un meniu din trei feluri: supă, la alegere între 2 feluri; fel principal, la alegere între pește, pui și legume; desert, la alegere între înghețată și fructe. Peștele nu se servește niciodată cu înghețată. Câte meniuri complete se pot alcătui?

Exercițiul 2 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Determinați câte numere naturale de patru cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii $\{1,2,3,5,7,8\}$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Un maistru alege 3 elevi dintre cei 9 ai unei grupe pentru un schimb de practică, la același utilaj. Ordinea în care sunt aleși nu contează. În câte moduri poate face alegerea?

Variantele: a) „504”; b) „84”; c) „729”; d) „168”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculează coeficientul lui $x^3$ din dezvoltarea binomului $(x+4{)}^5$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Calculați $C_{10}^2-2A_5^2$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Câte numere naturale de trei cifre distincte, scrise cu cifrele 1, 3, 4, 6, 7 și 9, sunt mai mari decât 700?

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un magazin vinde biciclete electrice. Modelul City se face în 3 culori și cu bateria de 400 Wh sau de 600 Wh. Modelul Trek se face în 2 culori și numai cu bateria de 600 Wh. La orice bicicletă, clientul poate adăuga sau nu un portbagaj. City cu bateria de 400 Wh costă 6 200 de lei, City cu bateria de 600 Wh costă 6 900 de lei, Trek costă 7 400 de lei, iar portbagajul adaugă 180 de lei.

a) (5 puncte) Câte configurații (model, culoare, baterie, portbagaj) poate vinde magazinul?

b) (5 puncte) Câte dintre aceste configurații costă cel mult 7 000 de lei?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un laborator de chimie are 8 reactivi diferiți. Pentru un experiment se aleg 3 dintre ei.

a) (5 puncte) În câte moduri se pot alege cei 3 reactivi, dacă ordinea nu contează?

b) (5 puncte) Cei 3 reactivi se toarnă pe rând într-o eprubetă, iar ordinea contează. Unul dintre cei 3 reactivi aleși este obligatoriu un acid, iar acidul nu are voie să fie turnat primul. Câte proceduri diferite de turnare există?

Exercițiul 9 (10 puncte)

a) (5 puncte) Dezvoltă $(4x-1{)}^5$ cu ajutorul liniei a cincea din triunghiul lui Pascal și află coeficienții lui $x^4$ și $x^3$.

b) (5 puncte) Un electrician verifică una după alta 5 siguranțe fuzibile. Rezultatul verificării fiecărei siguranțe este «bună» sau «defectă». Câte șiruri de rezultate au exact două siguranțe defecte și câte au cel puțin trei siguranțe bune?

Partea a III-a – Numărare pe model de examen și sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Cele trei cerințe se rezolvă separat, fără legătură între ele.

a) (5 puncte) Determinați toate numerele naturale cu trei cifre pentru care produsul cifrelor este egal cu 30.

b) (5 puncte) Arătați că submulțimile cu 2 elemente ale mulțimii $A=\{6,11,17,24,30,38,43\}$ sunt tot atâtea cât cele cu 5 elemente.

c) (5 puncte) Calculați în câte moduri poate fi formată o comisie de 4 profesori din cei 11 profesori ai unui liceu.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) O stație de monitorizare a aerului are 6 senzori diferiți, $S_1,S_2,\dots ,S_6$. În fiecare zi, un tehnician pornește o parte dintre ei: oricâți, de la niciunul până la toți șase.

a) (5 puncte) Câte configurații zilnice, adică mulțimi de senzori porniți, există?

b) (5 puncte) Câte configurații au exact 4 senzori porniți? Câte configurații au cel puțin 4 senzori porniți?

c) (5 puncte) Senzorii $S_5$ și $S_6$ măsoară pulberile fine și se pornesc mereu împreună sau deloc. Câte configurații zilnice rămân?

Barem și răspunsuri

Rezolvările din barem sunt desfăcute pe pași, iar fiecare pas are punctele lui între paranteze; o soluție corectă diferită se notează la fel. La Partea a III-a nu primește tot subpunctul un rezultat scris fără calcule și fără justificare. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1.

Arborele are trei niveluri: supa (2 ramuri), felul principal (3 ramuri din fiecare supă) și desertul; numerele de ramuri ale desertului diferă, deci numeri pe supe (1 p). Sub o supă, peștele are un singur desert, fructele, iar puiul și legumele au câte două: $1+2+2=5$ meniuri (2 p). Cum sunt 2 supe, meniurile sunt $2\cdot 5=10$ (2 p). Verificare: cu desertul pus primul, înghețata merge cu pui și legume, deci $2\cdot 2=4$ meniuri, iar fructele merg cu toate trei felurile principale, deci $2\cdot 3=6$ meniuri; $4+6=10$. Cine înmulțește $2\cdot 3\cdot 2=12$ numără și cele 2 meniuri imposibile, câte unul pentru fiecare supă, cu pește și înghețată.

Exercițiul 2.

Cele patru cifre se aleg din 6 elemente, fără repetare (1 p), iar ordinea cifrelor contează, deci sunt aranjamente de 6 luate câte 4 (1 p). $A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$ (3 p). Verificare: mulțimea nu conține cifra 0, deci prima cifră poate fi oricare dintre cele 6 și nu se scade nimic; în plus, $360=\frac{6!}{2!}=\frac{720}{2}$. Cine uită că cifrele sunt distincte și înmulțește $6^4$ obține 1296.

Exercițiul 3.

Ordinea alegerii nu contează, deci cei 3 elevi formează o submulțime, iar numărul alegerilor este o combinare (2 p): $C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84$ (2 p). Răspunsul este $\mathbf{b})$ (1 p). Verificare: $A_9^3=9\cdot 8\cdot 7=504$ numără fiecare grup de $3!=6$ ori, câte o dată pentru fiecare ordine, iar $504:6=84$; $729=9^3$ ar permite același elev de mai multe ori, iar $168=504:3$ vine din împărțirea la 3 în loc de $3!=6$.

Exercițiul 4.

Termenul general al lui $(x+4{)}^5$ este $C_5^k{x}^{5-k}{4}^k$ (1 p). Exponentul lui $x$ este 3 pentru $5-k=3$, adică pentru $k=2$ (2 p). Coeficientul este $C_5^2\cdot 4^2=10\cdot 16=160$ (2 p). Verificare: dezvoltarea completă este $x^5+20x^4+160x^3+640x^2+1280x+1024$, cu suma coeficienților $3125=5^5$. Cine ia $k=3$ obține $C_5^3\cdot 4^3=640$, coeficientul lui $x^2$.

Exercițiul 5.

$C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2\cdot 1}=45$ (2 p). $A_5^2=5\cdot 4=20$ (2 p). Rezultă $45-2\cdot 20=5$ (1 p). Verificare: $C_{10}^2=C_{10}^8=45$. Cine ia $A_{10}^2=90$ în loc de $C_{10}^2$ obține $90-40=50$.

Exercițiul 6.

Un număr de trei cifre scris cu aceste cifre este mai mare decât 700 numai dacă prima lui cifră este 7 sau 9, deci prima cifră se alege în 2 moduri (2 p). Ultimele două cifre se aleg, în ordine, dintre celelalte 5 cifre: $A_5^2=5\cdot 4=20$ (2 p). Rezultă $2\cdot 20=40$ de numere (1 p). Verificare: numerele de trei cifre distincte sunt $A_6^3=120$, iar cele care încep cu 1, 3, 4 sau 6 sunt sub 700 și sunt $4\cdot 20=80$; $40+80=120$. Cine uită că cifrele sunt distincte numără $2\cdot 6\cdot 6=72$ de numere.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Din fiecare model pleacă un număr diferit de ramuri la nivelurile culorii și bateriei, deci numeri pe modele (1 p). City dă $3\cdot 2\cdot 2=12$ configurații, iar Trek $2\cdot 1\cdot 2=4$ (2 p). În total $12+4=16$ configurații (2 p).

b) (5 p) Prețul unei configurații este prețul bicicletei, plus 180 de lei dacă are portbagaj (1 p). City cu bateria de 400 Wh costă 6 200 sau 6 380 de lei, deci toate cele $3\cdot 2=6$ configurații ale ei sunt sub 7 000 de lei (2 p). City cu bateria de 600 Wh costă 6 900 de lei fără portbagaj și 7 080 cu portbagaj, deci rămân 3 configurații, iar Trek costă cel puțin 7 400 de lei, deci niciuna (1 p). Rezultă $6+3=9$ configurații (1 p). Verificare: din cele 16 configurații, $16-9=7$ depășesc 7 000 de lei, adică 3 City cu bateria de 600 Wh și portbagaj, plus cele 4 Trek. Cine uită portbagajul numără toate cele 6 configurații City cu bateria de 600 Wh și obține 12.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Ordinea nu contează, deci se aleg submulțimi, iar numărul lor este o combinare (1 p). $C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}$ (2 p), adică $56$ de moduri (2 p).

b) (5 p) Acidul este turnat al doilea sau al treilea, deci locul lui se alege în 2 moduri (2 p). Celelalte două locuri se completează, în ordine, din cei 7 reactivi rămași: $A_7^2=7\cdot 6=42$ (2 p). Rezultă $2\cdot 42=84$ de proceduri (1 p). Verificare: procedurile care conțin acidul, pe oricare dintre cele 3 locuri, sunt $3\cdot 42=126$, iar cele cu acidul primul sunt 42; $126-42=84$. Cine uită că acidul trebuie să fie printre cei 3 numără și cele $A_7^3=210$ proceduri fără acid și obține 294.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Linia a cincea are coeficienții 1, 5, 10, 10, 5, 1, iar $(4x-1{)}^5=(4x{)}^5-5(4x{)}^4+10(4x{)}^3-10(4x{)}^2+5(4x)-1$ (1 p). Termenul în $x^4$ este $-5\cdot 256x^4$, deci coeficientul lui $x^4$ este $-5\cdot 256=-1280$ (2 p). Termenul în $x^3$ este $10\cdot 64x^3$, deci coeficientul lui $x^3$ este $10\cdot 64=640$ (2 p). Verificare: dezvoltarea completă este $1024x^5-1280x^4+640x^3-160x^2+20x-1$, iar pentru $x=1$ suma ei este $1024-1280+640-160+20-1=243=3^5$.

b) (5 p) Fiecare siguranță are două rezultate, iar șirurile cu $k$ siguranțe defecte sunt date de linia a cincea: 1, 5, 10, 10, 5, 1 (1 p). Cu exact două defecte, $C_5^2=10$ șiruri (2 p). Cel puțin trei bune înseamnă cel mult două defecte: $1+5+10=16$ șiruri (2 p). Verificare: din cele $2^5=32$ de șiruri, jumătate au cel puțin trei siguranțe bune. Cine numără numai șirurile cu exact trei siguranțe bune obține 10.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Cifrele sunt de la 0 la 9, iar produsul 30 se obține cu trei cifre în două moduri: $1\cdot 5\cdot 6$ și $2\cdot 3\cdot 5$ (3 p). Cu fiecare triplu de cifre distincte se formează $3!=6$ numere, deci cele 12 numere sunt 156, 165, 516, 561, 615, 651, 235, 253, 325, 352, 523 și 532 (2 p).

b) (5 p) Mulțimea $A$ are 7 elemente, iar numărul submulțimilor ei cu 2 elemente este $C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2!}=21$ (2 p). Numărul celor cu 5 elemente este $C_7^5=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{5!}=\frac{2520}{120}=21$ (3 p). Cele două numere sunt egale, ceea ce era de arătat.

c) (5 p) Alegerea nu ține seama de ordine, deci comisiile se numără cu $C_{11}^4=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{4!}$ (3 p), adică $\frac{7920}{24}=330$ de moduri (2 p). Verificare: a alege cei 4 membri ai comisiei înseamnă a alege cei 7 profesori rămași în afara ei, iar $C_{11}^7=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{7!}=\frac{1663200}{5040}=330$.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Fiecare senzor este pornit sau oprit, independent de ceilalți (2 p). Arborele are 6 niveluri cu câte 2 ramuri din fiecare nod, deci $2^6=64$ de configurații (3 p).

b) (5 p) Linia a șasea a triunghiului lui Pascal este 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1: al $k+1$-lea număr numără configurațiile cu $k$ senzori porniți (2 p). Cu exact 4 senzori porniți sunt $C_6^4=15$ configurații (1 p). „Cel puțin 4” înseamnă 4, 5 sau 6 senzori porniți: $C_6^4+C_6^5+C_6^6=15+6+1=22$ de configurații (2 p). Verificare: complementul, cel mult 3 senzori porniți, are $1+6+15+20=42$ de configurații, iar $22+42=64=2^6$.

c) (5 p) Senzorii $S_5$ și $S_6$ sunt ori amândoi porniți, ori amândoi opriți, deci se comportă ca un singur senzor (3 p). Rămân 5 «senzori» cu câte două stări: $2^5=32$ de configurații (2 p). Verificare: cu ambii porniți sunt $2^4=16$ configurații, cu ambii opriți tot 16, iar $16+16=32$.

Pentru părinți și profesori

Testul se sprijină pe cele patru lecții de numărare din clasa a X-a de la filiera tehnologică: „Arbore de variante: configurații la tehnologic”, „Permutări și aranjamente la tehnologic”, „Combinări la tehnologic: alegeri dintr-o listă” și „Binomul până la puterea 5: liceu tehnologic”. Probabilitățile rămân în sarcina testului de probabilități, iar tabelele, diagramele și abaterea standard, în sarcina testului de statistică.

• Punctaj: în cele unsprezece exerciții se pot obține 90 de puncte; cu cele 10 puncte din oficiu, lucrarea are 100 de puncte.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: rezolvi singur, pe foaie, fără calculator; toate numerele ies exact. Un factorial mare nu se calculează întreg: scrii produsul cu atâția factori câți are $A_n^k$. La Partea a III-a contează și justificarea: un rezultat corect, scris fără pași, nu primește punctele subpunctului. Pentru fiecare exercițiu, ghidajul dă pași mici, o întrebare cu variante și apoi un număr de calculat, iar fiecare variantă greșită arată unde s-a greșit. Îl pornești numai când rămâi blocat.
• Între 90 și 100 de puncte: unitatea e stăpânită, urmează testul următor.
• Între 75 și 89 de puncte: reiei, cu ghidajul, exercițiile pierdute.
• Între 60 și 74 de puncte: alegi lecțiile exercițiilor luate sub jumătate din puncte, le recitești și repeți testul peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: reiei toate cele patru lecții, în ordinea lor, și rezolvi testul cu ghidajul pornit de la primul exercițiu.
• Formule de reținut: $P_n=n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$; $A_n^k=n(n-1)\dots (n-k+1)$, un produs cu exact $k$ factori; $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$ și $C_n^k=C_n^{n-k}$; o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi; într-un arbore, $N=n_1\cdot n_2\cdot \dots \cdot n_k$ numai dacă din toate nodurile unui nivel pleacă același număr de ramuri, altfel numeri frunzele de sub fiecare ramură a primului nivel și le aduni; linia $n$ a triunghiului lui Pascal dă coeficienții lui $(a+b{)}^n$ și are suma $2^n$; termenul de rang $k+1$ al lui $(a+b{)}^n$ este $C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$.

Exercițiile 2, 5 și 10 sunt marcate „tip Bacalaureat M3”; formatul lor vine din cerințele 4 din Subiectul I al probelor oficiale 2013–2026 (numere cu cifre distincte sau cu produsul cifrelor dat, o expresie cu $C_n^k$ și $A_n^k$, alegerea unei echipe, numărul submulțimilor), dar mulțimile, numerele și rezultatele sunt altele.

Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026); pentru ei, tema testului corespunde unității «X.2. Metode de numărare». Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, numărarea permutărilor, a aranjamentelor și a combinărilor face parte din programa de examen (Subiectul I), pe când diagramele arborescente și dezvoltarea binomului lui Newton, cu triunghiul lui Pascal, lipsesc din programa de examen din 2014, deci nu se cer la acel examen. În cele 83 de probe oficiale 2013–2026, permutările și aranjamentele au apărut în 4 probe, iar combinările în 3 probe; diagramele arborescente și binomul nu au apărut în nicio probă, iar tema poate fi cerută din 2030.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.