Șiruri: formulă și recurență, liceu tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Un magazioner trebuie să știe din timp în ce zi stocul de ambalaje coboară sub rezervă, ca livrarea să sosească înainte. Jurnalul arată doar zilele trecute; planul de consum, scris ca șir, arată și zilele care urmează. Aici, ca elev de tehnologic în clasa a IX-a, citești un șir din tabel, din formulă sau din recurență. Programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) conține descrierea unui șir la clasa a IX-a.

Situația de pornire

O fabrică de conserve din Buzău pregătește campania de toamnă pentru murături și gogonele. Pe măsură ce sosesc legumele, linia de umplere merge tot mai tare. Magazionerul ține evidența borcanelor goale din depozitul de ambalaje și notează în jurnal, la sfârșitul fiecărei zile, câte au rămas. Planul de campanie spune că linia consumă 3 674 de borcane în prima zi, iar în fiecare zi următoare cu 218 mai multe decât în ziua dinainte. La deschiderea campaniei depozitul are 38 215 borcane. Magazionerul vrea ca stocul să nu coboare sub 12 000 de borcane, rezerva pentru mai mult de două zile de lucru, până sosește o livrare nouă de la sticlărie. Jurnalul are deocamdată doar primele trei zile:

Ziua	Consum planificat (buc. borcane)	Stoc la sfârșitul zilei (buc. borcane)
1	3 674	34 541
2	3 892	30 649
3	4 110	26 539

Șeful de producție vrea să știe de pe acum cât va consuma linia în ziua a 12-a, ca să comande ambalaje pentru finalul campaniei, și când trebuie să fie gata livrarea.

Întrebare: cât consumă linia în ziua a 12-a și care este prima zi la sfârșitul căreia stocul coboară sub 12 000 de borcane?

De la situație la model

Jurnalul magazionerului se traduce rând cu rând:

În situație	În matematică
ziua $n$ a campaniei	rangul $n$ , adică locul în șir
borcanele consumate în ziua $n$	termenul $c_{n}$ al șirului $(c_{n})_{n \geq 1}$
stocul din depozit la sfârșitul zilei $n$	termenul $S_{n}$ al șirului $(S_{n})_{n \geq 0}$
stocul de la deschiderea campaniei, 38 215	termenul de pornire $S_{0}$ , de rang 0
„stocul de azi este stocul de ieri minus consumul de azi”	relația de recurență $S_{n} = S_{n - 1} - c_{n}$
„3 674 în prima zi și 218 în plus în fiecare zi”	$c_{1} = 3674$ și $c_{n + 1} = c_{n} + 218$ , adică $c_{n} = 3456 + 218 n$

Un șir este o listă de numere așezate pe locuri numerotate. Numărul locului este rangul, iar numărul de pe locul $n$ este termenul $a_{n}$ . Rangul poate porni de la 0 când primul termen este o stare de dinainte de prima zi, cum e stocul $S_{0}$ . Un șir se descrie în trei feluri.

Tabelul (sau enumerarea) pune termenii unul lângă altul, ca jurnalul magazionerului. Formula termenului general dă termenul din rangul lui, $a_{n} = f (n)$ , ca la $c_{n} = 3456 + 218 n$ : pui $n = 12$ și obții direct $c_{12}$ . Relația de recurență spune cum se obține un termen din cei dinaintea lui și cere termeni de pornire, ca la $S_{n} = S_{n - 1} - c_{n}$ cu $S_{0} = 38215$ .

Ce arată un tabel și ce nu arată?

Tabelul spune numai ce conține. Consumurile 3 674, 3 892 și 4 110 cresc cu 218 de la o zi la alta, dar tabelul nu garantează că ziua a patra aduce 4 328: asta o garantează planul de campanie, adică regula. Un șir poate avea regulă și tabel, regulă fără tabel (nu l-ai calculat încă) sau tabel fără regulă de calcul, cum e lista secțiunilor standard de cablu din Exemplul 3.

Când folosești formula și când recurența?

Între ziua 1 și ziua $n$ sunt $n - 1$ pași de câte 218, deci $c_{n} = 3674 + 218 (n - 1)$ , adică $3456 + 218 n$ . Cu formula afli consumul din ziua 12 dintr-un singur calcul, fără zilele 4–11. Stocul se potrivește altfel: depinde de stocul din ziua dinainte, iar recurența merge pas cu pas. Șirul consumurilor le are pe amândouă; cea mai scurtă este $c_{n + 1} = c_{n} + 218$ , ca la progresia aritmetică. Stocul nu e progresie, fiindcă diferențele dintre termenii lui, adică consumurile cu semn schimbat, nu sunt egale. Dacă fiecare termen s-ar obține prin înmulțire cu același număr, ai avea progresia geometrică.

De câți termeni de pornire are nevoie o recurență?

De atâția câți termeni anteriori folosește regula. Regula $S_{n} = S_{n - 1} - c_{n}$ folosește un singur termen dinainte, deci îți ajunge $S_{0}$ . O prognoză făcută ca media ultimelor două luni folosește doi termeni dinainte și cere doi termeni de pornire. Fără termeni de pornire, regula nu determină șirul: din $S_{n} = S_{n - 1} - c_{n}$ nu afli nimic până nu spui de unde pleci.

Metoda pas cu pas

Spune ce ai de aflat. Pentru un termen de rang mare te ajută formula, ca la consumul din ziua 12. Pentru o listă de termeni până la un prag te ajută recurența, ca la stocul zilnic. Dacă ai doar un tabel, poți afla numai termenii care sunt în el.
Scrie regula în forma potrivită. Dacă termenul depinde numai de rang, scrie formula $a_{n} = f (n)$ . Dacă depinde de termenii dinainte, scrie recurența, numără termenii pe care îi folosește și notează tot atâția termeni de pornire, cu rangul lor: stocul pornește de la rangul 0, consumul de la rangul 1.
Calculează. Cu formula, înlocuiești rangul și faci operațiile. Cu recurența, mergi un pas pe rând și treci fiecare termen într-un tabel, fiindcă o greșeală se duce în toți termenii următori. Oprește-te la rangul sau la pragul cerut și notează rangul, nu numai valoarea.
Verifică pe alt drum. Calculează același termen cu a doua descriere, dacă o ai, sau adună pașii dintre doi termeni. Controlează că rangul e număr natural și că valoarea are sens în meserie: un stoc nu e negativ, iar borcanele se numără întregi.

Fișa de buzunar

$a_{n} = f (n)$

$a_{n} = g (a_{n - 1}), a_{0} dat$

Descriere	Ce scrii în caiet	În lecție	Cum o verifici
tabel	rangul și termenul, rând cu rând	jurnalul magazionerului	citești rangul înaintea valorii
formulă	$a_{n} = f (n)$ și primul rang	$c_{n} = 3456 + 218 n$ , de la $n = 1$	primul rang dă primul termen din jurnal
recurență cu un termen de pornire	regula și $a_{0}$	$S_{n} = S_{n - 1} - c_{n}$ , cu $S_{0}$	un termen calculat și pe alt drum
recurență cu doi termeni de pornire	regula, $a_{1}$ și $a_{2}$	media ultimelor două luni	ultimii trei termeni puși în regulă

Se aplică numai pe ranguri naturale, iar recurența doar împreună cu termenii ei de pornire: regula cere atâția termeni de pornire câți termeni dinainte folosește. Verificare rapidă: un termen calculat cu două descrieri ale aceluiași șir trebuie să iasă la fel.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Borcanele de la linia de conserve

Domeniu: alimentar.

Enunț. Reia fabrica din situația de pornire: consumul din prima zi este 3 674 de borcane, crește cu 218 pe zi, stocul de la deschidere este 38 215, iar pragul este 12 000. a) Cât consumă linia în ziua a 12-a? b) Completează stocul zi cu zi și află prima zi la sfârșitul căreia el coboară sub prag.

Rezolvare. a) Formula $c_{n} = 3456 + 218 n$ dă $c_{12} = 3456 + 218 \cdot 12 = 3456 + 2616 = 6072$ borcane. b) Din recurența $S_{n} = S_{n - 1} - c_{n}$ continui tabelul, cu $c_{4} = 4328$ , $c_{5} = 4546$ , $c_{6} = 4764$ și $c_{7} = 4982$ : $S_{4} = 26539 - 4328 = 22211$ ; $S_{5} = 22211 - 4546 = 17665$ ; $S_{6} = 17665 - 4764 = 12901$ ; $S_{7} = 12901 - 4982 = 7919$ . La sfârșitul zilei a 6-a stocul, 12 901, este încă peste prag; la sfârșitul zilei a 7-a, 7 919, este sub prag. Deci ziua căutată este a 7-a, iar livrarea trebuie să sosească în depozit până atunci.

Capcană. Cine ia consumul constant, 3 674 de borcane pe zi, obține după 7 zile $38215 - 7 \cdot 3674 = 12497$ , încă peste prag, și crede că stocul coboară sub 12 000 abia în ziua a 8-a. Livrarea ar fi cerută cu o zi prea târziu, fiindcă în realitate consumul crește.

Verificare. Consumurile primelor 7 zile formează o progresie aritmetică, iar suma lor este $\frac{7 ( 3674 + 4982 )}{2} = 30296$ , după formula sumei din lecția despre progresii. Rezultă $38215 - 30296 = 7919$ , exact stocul din tabel.

Exemplul 2 — Prognoza lunară la un service auto

Domeniu: auto.

Enunț. Un service auto a primit 372 de autoturisme în ianuarie și 436 în februarie. Pentru lunile următoare, șeful de service planifică locurile de lucru după regula „media ultimelor două luni”. a) Scrie regula ca recurență și spune câți termeni de pornire are. b) Calculează prognoza pentru martie–iulie. c) Câte autoturisme planifici pentru septembrie?

Rezolvare. a) Notez cu $a_{n}$ numărul din luna $n$ , cu ianuarie ca luna 1. Regula este $a_{n + 2} = \frac{a _{n} + a _{n + 1}}{2}$ și folosește doi termeni dinainte, deci are doi termeni de pornire: $a_{1} = 372$ și $a_{2} = 436$ . b) $a_{3} = 404$ , $a_{4} = \frac{436 + 404}{2} = 420$ , $a_{5} = \frac{404 + 420}{2} = 412$ , $a_{6} = \frac{420 + 412}{2} = 416$ și $a_{7} = \frac{412 + 416}{2} = 414$ . c) Continui: $a_{8} = 415$ și $a_{9} = \frac{414 + 415}{2} = 414, 5$ . Autoturismele se numără întregi, iar un loc de lucru nu se împarte, deci planifici 415, nu 414.

Capcană. Cine face de fiecare dată media lunilor ianuarie și februarie obține 404 pentru toate lunile următoare, deci 404 și pentru aprilie, în loc de 420: cu 16 autoturisme prea puțin. Fereastra „ultimele două luni” se mută odată cu luna.

Verificare. Pe alt drum, urmărești diferențele dintre termenii vecini: $64$ ; $- 32$ ; $16$ ; $- 8$ ; $4$ ; $- 2$ ; $1$ ; $- 0, 5$ . Fiecare este jumătate din precedenta, cu semn schimbat, deci fiecare termen nou stă între cei doi dinaintea lui, iar $a_{9} = 415 - 0, 5 = 414, 5$ .

Exemplul 3 — Secțiunea cablului pentru o plită

Domeniu: electric.

Enunț. Un electrician alege cablul de cupru pentru o plită electrică profesională de 5,6 kW, la 230 V, monofazat. Secțiunile standard sunt, în mm²: 1,5; 2,5; 4; 6; 10; 16; 25; 35; 50. Fișa de catalog, dată ca exemplu, trece în aceeași ordine curentul maxim admis, în A: 17,5; 24; 32; 41; 57; 76; 101; 125; 151. a) Află curentul absorbit de plită. b) Care este cea mai mică secțiune care poate fi folosită? c) Poți calcula secțiunea care urmează după 50 mm²?

Rezolvare. a) Puterea este $5, 6 \cdot 1000 = 5600$ W, deci curentul este $I = \frac{5600}{230} \approx 24, 35$ A. b) Cauți primul termen al șirului curenților care este cel puțin 24,35: 17,5 și 24 sunt mai mici, iar 32 este bun, pe rangul 3. Deci secțiunea este 4 mm². c) Diferențele dintre secțiunile vecine sunt $1$ ; $1, 5$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ; $9$ ; $10$ ; $15$ , iar rapoartele sunt $\approx 1, 67$ ; $1, 6$ ; $1, 5$ ; $1, 67$ ; $1, 6$ ; $1, 56$ ; $1, 4$ ; $1, 43$ . Nu sunt egale, deci șirul nu e nici progresie aritmetică, nici geometrică. Secțiunile sunt alese prin standard, nu după o regulă de calcul, așa că lista rămâne un tabel: secțiunea următoare, de 70 mm², o citești din catalog.

Capcană. Cine alege secțiunea cea mai apropiată de curent ia 2,5 mm², fiindcă 24,35 A este mai aproape de 24 A decât de 32 A. Un cablu de 2,5 mm² admite însă numai 24 A, deci s-ar încălzi peste limită. În tabel cauți primul termen care îndeplinește condiția „cel puțin”, nu termenul cel mai apropiat.

Verificare. Secțiunea de 4 mm² admite 32 A, care este mai mult decât 24,35 A, iar secțiunea imediat mai mică admite 24 A, care este mai puțin. Deci 4 mm² este minimul.

Exemplul 4 — Problema inversă: câți etrieri comanzi

Domeniu: constructii.

Enunț. Aici pleci de la rezultatul final: din lungimea grinzii afli numărul de etrieri pe care îl comanzi. O grindă de beton armat are 4,10 m. Etrierii sunt așezați simetric față de mijlocul grinzii, iar în mijloc se află unul. Primul etrier este la 5 cm de capăt, primii nouă sunt la 10 cm unul de altul, iar de la al nouălea încolo sunt la 20 cm unul de altul. a) Scrie poziția etrierilor ca recurență, în centimetri de la capătul stâng. b) Unde este al 12-lea etrier? c) Câți etrieri are grinda?

Rezolvare. a) Cu $x_{n}$ poziția etrierului de rang $n$ : $x_{1} = 5$ , $x_{n + 1} = x_{n} + 10$ pentru $n \leq 8$ și $x_{n + 1} = x_{n} + 20$ pentru $n \geq 9$ . b) Primii nouă etrieri stau la $5, 15, \dots, 85$ , deci $x_{n} = 10 n - 5$ pentru $n \leq 9$ . Mai departe $x_{n} = 85 + 20 (n - 9) = 20 n - 95$ , deci $x_{12} = 240 - 95 = 145$ cm. c) Mijlocul grinzii este la 205 cm. Din $20 n - 95 = 205$ rezultă $n = 15$ : până la mijloc, inclusiv, sunt 15 etrieri. Pe jumătatea cealaltă sunt încă 14, simetrici, fără cel din mijloc. În total, $15 + 14 = 29$ de etrieri.

Capcană. Cine dublează cei 15 obține 30 de etrieri. Etrierul din mijloc ar fi numărat de două ori, o dată din fiecare parte, și s-ar comanda unul în plus.

Verificare. Numeri altfel, pe jumătatea stângă: în zona cu pasul de 10 cm sunt $\frac{85 - 5}{10} + 1 = 9$ etrieri, iar în zona cu pasul de 20 cm, de la 105 la 205 cm, sunt $\frac{205 - 105}{20} + 1 = 6$ etrieri. Jumătatea are $9 + 6 = 15$ , ca mai sus.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. a) Pentru $a_{n} = 9 n - 14$ , calculează $a_{1}$ , $a_{6}$ și $a_{30}$ . b) Pentru $b_{n} = n^{2} + 6 n$ , calculează $b_{1}$ , $b_{5}$ și $b_{11}$ .

2. Șirul $(c_{n})_{n \geq 1}$ are $c_{1} = 4$ și $c_{n + 1} = 3 c_{n} - 7$ . Calculează $c_{2}$ , $c_{3}$ , $c_{4}$ și $c_{5}$ și spune dacă șirul este progresie aritmetică.

3. Câți termeni de pornire cere fiecare regulă: a) $u_{n + 1} = u_{n} + 7$ ; b) $v_{n + 2} = v_{n + 1} + 2 v_{n}$ ; c) $w_{n + 3} = w_{n + 2} - w_{n}$ ? La b), cu $v_{1} = 3$ și $v_{2} = 5$ , calculează $v_{3}$ , $v_{4}$ și $v_{5}$ .

4. Trei fișe de producție dau șirurile A: 14; 27; 40; 53; B: 16; 24; 36; 54; C: 22; 29; 35; 42. Care este progresie aritmetică, care este geometrică și care nu este niciuna? Pentru progresii, scrie rația.

Nivelul 2 — situații

5. Un laborator are 4 870 ml de soluție etalon în dimineața zilei 1. În fiecare zi se folosesc 395 ml, iar la sfârșitul zilelor 4, 8 și 12 sosește câte o livrare de 1 240 ml. Scrie recurența stocului $S_{n}$ de la sfârșitul zilei, calculează $S_{12}$ și află prima zi la sfârșitul căreia, după livrare, stocul este sub 3 100 ml.

6. Un restaurant prognozează mesele de la prânz ca media ultimelor trei zile. Marți, miercuri și joi s-au servit 58, 64 și 70 de mese. Scrie regula ca recurență, spune câți termeni de pornire are și calculează prognoza pentru vineri, sâmbătă și duminică, rotunjită la mese întregi.

7. O școală a strâns hârtie pentru reciclare în primele cinci luni: 312, 338, 364, 390 și 416 kg. Găsește formula, apoi compară-o cu luna a 6-a, în care s-au colectat 439 kg. Se potrivește regula? Ce arată diferența?

8. Pe o parcelă în formă de trapez, rândurile de roșii sunt numerotate de la 0, rândul de lângă drum, la 25, iar rândul $n$ are $v_{n} = 44 + 3 n$ răsaduri, fiindcă parcela se lărgește spre capăt. Scrie recurența și află câte rânduri au cel puțin 100 de răsaduri.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Un șir are $x_{1} = 17$ și $x_{n + 1} = x_{n} + 9$ . Care dintre formulele $x_{n} = 9 n + 8$ , $x_{n} = 9 n + 17$ și $x_{n} = 17 n$ îl descrie? Arătați că una verifică termenul de pornire și recurența, iar pentru celelalte două determinați un termen care nu se potrivește.

10. (Sinteză.) Figura arată comenzile primite într-o săptămână, de luni ( $n = 1$ ) până duminică ( $n = 7$ ), iar tiparul se repetă săptămânal. a) Citiți cei șapte termeni. b) Determinați câte comenzi prognozați pentru ziua a 100-a. c) Câți termeni de pornire are recurența $a_{n + 7} = a_{n}$ ?

11. (Sinteză.) Un dozator umple pungi de făină de 1 000 g, iar greutatea pungii cu numărul $n$ este $w_{n} = 1009, 4 - 0, 6 n$ grame, fiindcă dozatorul se dereglează pe măsură ce se golește buncărul. O pungă este bună dacă $∣ w_{n} - 1000 ∣ \leq 5$ . Determinați rangurile pungilor bune și câte sunt.

12. (Sinteză.) Lățimile celor 10 distanțiere dintr-un set sunt date de $u_{1} = 14$ mm, $u_{2} = 21$ mm și $u_{n + 2} = 2 u_{n + 1} - u_{n}$ . a) Calculați $u_{3}$ , $u_{4}$ , $u_{5}$ și diferențele dintre termenii vecini. b) Scrieți formula lui $u_{n}$ și determinați $u_{10}$ . c) Câte distanțiere au lățimea între 38 mm și 60 mm?

Răspunsuri și verificări

1. a) $a_{1} = - 5$ , $a_{6} = 40$ , $a_{30} = 256$ ; b) $b_{1} = 7$ , $b_{5} = 55$ , $b_{11} = 187$ . Verificare: $a_{6} - a_{1} = 45 = 5 \cdot 9$ , cinci pași de câte 9.

2. $c_{2} = 5$ , $c_{3} = 8$ , $c_{4} = 17$ , $c_{5} = 44$ . Nu e progresie aritmetică: diferențele sunt $1$ , $3$ , $9$ , $27$ . Verificare: $3 \cdot 17 - 7 = 44$ .

3. a) 1; b) 2; c) 3. La b): $v_{3} = 5 + 2 \cdot 3 = 11$ , $v_{4} = 11 + 2 \cdot 5 = 21$ , $v_{5} = 21 + 2 \cdot 11 = 43$ . Verificare: regula b) folosește doi termeni, $v_{n + 1}$ și $v_{n}$ .

4. A este progresie aritmetică, cu rația 13. B este progresie geometrică, cu rația 1,5. C nu este niciuna: diferențele sunt $7$ ; $6$ ; $7$ , iar rapoartele $\approx 1, 32$ ; $1, 21$ ; $1, 2$ . Verificare: $36 \cdot 1, 5 = 54$ .

5. $S_{0} = 4870$ și $S_{n} = S_{n - 1} - 395$ , plus 1 240 la zilele 4, 8 și 12. Stocul este 4 475; 4 080; 3 685 în zilele 1–3, apoi 4 530 în ziua 4, 4 190 în ziua 8 și 3 005 în ziua 11. Deci $S_{12} = 3005 - 395 + 1240 = 3850$ ml, iar prima zi încheiată sub 3 100 ml este ziua 11. Verificare: în 12 zile se consumă $12 \cdot 395 = 4740$ ml și se adaugă $3 \cdot 1240 = 3720$ ml, iar $4870 - 4740 + 3720 = 3850$ .

6. Regula este $m_{n + 3} = \frac{m _{n} + m _{n + 1} + m _{n + 2}}{3}$ , cu trei termeni de pornire. $m_{4} = 64$ , $m_{5} = 66$ , iar $m_{6} = \frac{200}{3} \approx 66, 7$ , deci 67 de mese duminică. Verificare: $64 \cdot 3 = 58 + 64 + 70$ .

7. Diferențele sunt toate 26, deci $a_{n} = 286 + 26 n$ kg. Pentru luna a 6-a formula dă 442 kg, nu 439 kg: nu se potrivește exact. Formula modelează primele cinci luni, iar măsurătoarea spune adevărul. Verificare: $a_{1} = 312$ și $a_{5} = 416$ .

8. $v_{0} = 44$ și $v_{n + 1} = v_{n} + 3$ . Din $44 + 3 n \geq 100$ rezultă $n \geq 18, 67$ , deci $n$ de la 19 la 25, adică 7 rânduri. Verificare: $v_{19} = 101$ , iar $v_{18} = 98$ .

9. Formula $x_{n} = 9 n + 8$ dă $x_{1} = 17$ , iar $x_{n + 1} - x_{n} = 9 (n + 1) + 8 - (9 n + 8) = 9$ pentru orice $n$ . Formula $9 n + 17$ dă $x_{1} = 26 \neq = 17$ . Formula $17 n$ dă $x_{1} = 17$ , dar $x_{2} = 34 \neq = 17 + 9 = 26$ . Verificare: $x_{2} = 9 \cdot 2 + 8 = 26$ .

10. a) $34; 39; 43; 41; 52; 61; 27$ . b) $100 = 14 \cdot 7 + 2$ , deci ziua a 100-a cade ca ziua a 2-a (marți) și se prognozează 39 de comenzi. c) Șapte termeni de pornire, câte unul pe zi a săptămânii. Verificare: $14 \cdot 7 = 98$ , iar ziua 98 este duminică.

11. Condiția $∣ w_{n} - 1000 ∣ \leq 5$ înseamnă $- 5 \leq 9, 4 - 0, 6 n \leq 5$ . Scazi 9,4 și împarți: $4, 4 \leq 0, 6 n \leq 14, 4$ , deci $7, 33 \leq n \leq 24$ . Rangul fiind natural, sunt bune pungile 8, 9, ..., 24, adică 17 pungi. Verificare: $w_{7} = 1005, 2$ g e prea mare, $w_{24} = 995$ g e chiar pe limită, $w_{25} = 994, 4$ g e prea mic.

12. a) $u_{3} = 2 \cdot 21 - 14 = 28$ , $u_{4} = 35$ , $u_{5} = 42$ ; diferențele sunt toate 7. b) $u_{n} = 14 + 7 (n - 1) = 7 n + 7$ , deci $u_{10} = 77$ mm. c) Din $38 \leq 7 n + 7 \leq 60$ rezultă $31 \leq 7 n \leq 53$ , deci $n = 5, 6, 7$ : trei distanțiere, de 42, 49 și 56 mm. Verificare: $u_{4} = 35 < 38$ și $u_{8} = 63 > 60$ .

Așa vine la Bac M3

Programa de examen M_tehnologic deschide blocul „Șiruri” al clasei a IX-a cu modalitățile de a descrie un șir, urmate în același punct de progresiile aritmetice și geometrice. Descrierea unui șir prin formulă, prin recurență sau prin tabel este deci prevăzută de programa de examen, deși nu a apărut în probele 2013–2026. Indexul are 1 494 de cerințe, repartizate pe cele 83 de probe oficiale; niciuna nu are în index această lecție ca temă, principală sau secundară, iar cuvântul „recurență” nu apare în niciun enunț. Șirurile apar în probe numai ca progresii. Aici nu apare deci nicio cerință, nici reală, nici model.

Ultimele patru exerciții, marcate (Sinteză.), pun descrierea unui șir lângă vecinii ei din programă: verifici o formulă pe recurența dată, citești un tipar de pe un grafic, combini șirul cu modulul unui număr real și numeri termenii dintr-un interval, ca la ordonarea și intervalele. Restul clasei, tema cu tema, îl găsești în hubul de matematică tehnologică, clasa a IX-a.

Greșeli care costă puncte

Iei consumul din prima zi drept constant → stocul de borcane pare suficient încă o zi, deși în ziua a 7-a el scade sub prag; cum o prinzi: calculezi consumul cu formula $c_{n} = 3456 + 218 n$ și îl compari cu cel din tabel pe zilele 1–3.
Nu muți fereastra „media ultimelor două luni” și folosești mereu primii doi termeni → obții 404 și pentru aprilie, în loc de 420; cum o prinzi: pentru fiecare termen nou scrii ce doi termeni ai folosit, iar ei trebuie să fie cei imediat dinainte.
Alegi din tabelul de cabluri termenul cel mai apropiat, nu primul care admite curentul → 2,5 mm² la 24,35 A; cum o prinzi: compari curentul cu valoarea de catalog și te asiguri că valoarea aleasă este cel puțin cât curentul.
Numeri de două ori termenul din mijloc la o așezare simetrică → 30 de etrieri în loc de 29; cum o prinzi: numeri separat un singur capăt, adaugi apoi cealaltă jumătate fără termenul comun și verifici suma.
Scazi capetele fără să adaugi 1, $25 - 19 = 6$ , la rândurile numerotate de la 0 → pierzi un rând dintre cele cu cel puțin 100 de răsaduri; cum o prinzi: scrii rangurile unul câte unul, 19, 20, ..., 25, sau numeri cu $25 - 19 + 1 = 7$ .

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: descrierea unui șir prin formulă, prin recurență și prin tabel face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce se schimbă la fabrica de conserve dacă în ziua a 4-a sosește o livrare de 6 000 de borcane? Recurența primește un termen în plus în ziua 4: stocul din ziua 4 este stocul din ziua 3, minus consumul, plus livrarea, adică $26539 - 4328 + 6000 = 28211$ . Zilele următoare pleacă de la acest număr, deci pragul de 12 000 se atinge abia în ziua a 8-a. Formula consumului rămâne aceeași, pentru că planul de campanie nu s-a schimbat.

Pot afla stocul din ziua a 7-a fără să calculez zilele 1–6 una câte una? Da, dacă aduni consumurile. Ele formează o progresie aritmetică, deci suma primelor șapte este $\frac{7 ( 3674 + 4982 )}{2} = 30296$ , iar $38215 - 30296 = 7919$ . Formula sumei vine din lecția despre progresii. Când consumurile nu urmează nicio regulă, rămâne recurența, pas cu pas.

De ce stocul din jurnal are rangul 0, iar consumul începe de la ziua 1? Stocul de la deschiderea campaniei există înainte de prima zi de lucru, deci este termenul de pornire $S_{0}$ . Primul consum, $c_{1}$ , și primul stoc calculat, $S_{1}$ , apar abia după ce trece o zi. Rangul arată câte zile au trecut de la deschidere, nu al câtelea număr a fost scris în jurnal.

Ce zi iese pentru prag dacă linia crește consumul cu 250 de borcane pe zi, nu cu 218? Tot ziua a 7-a. Stocul de la sfârșitul zilei a 6-a este 12 421, încă peste prag, iar cel de la sfârșitul zilei a 7-a este 7 247. Se schimbă numai cât de jos coboară stocul în ziua a 7-a, nu ziua în care trece pragul. Vezi calculul cu formula sumei din lecția despre progresii.

Au cerut probele de Bacalaureat M3 un șir dat prin formulă sau prin recurență? Nu. În cele 83 de probe 2013–2026 șirurile apar numai ca progresii, iar indexul cerințelor nu are nicio cerință pe descrierea unui șir. Programa M_tehnologic o pune totuși la începutul blocului „Șiruri” al clasei a IX-a, deci poate fi cerută; ultimele exerciții o lucrează în trei forme.