Tabele de frecvențe la tehnologic: un lot

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

La o fermă de vaci de lapte, registrul de reproducție are zeci de rânduri, iar zootehnistul vrea un răspuns scurt: câte vaci rămân gestante după primele însămânțări? Cum îl alcătuiești, îl verifici și îl citești înveți aici, în clasa a X-a, la liceul tehnologic. Tema face parte doar în parte din programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

O fermă familială are 24 de vaci de lapte și le însămânțează artificial, cu doze de material seminal. Pentru fiecare vacă, zootehnistul a trecut în registru câte doze au fost folosite până la ultima gestație confirmată de medicul veterinar. Ferma are un obiectiv: cel puțin 70% dintre vaci să rămână gestante după cel mult două însămânțări. Dacă obiectivul nu e atins, zootehnistul revizuiește rația de furaj și felul în care urmărește căldurile vacilor (valori din exemplu).

Vaca	Doze folosite (buc.)	Vaca	Doze folosite (buc.)	Vaca	Doze folosite (buc.)
A	1	I	1	Q	3
B	2	J	2	R	1
C	1	K	3	S	2
D	3	L	1	T	1
E	2	M	2	U	4
F	1	N	5	V	2
G	4	O	1	W	3
H	2	P	2	X	1

Întrebare: atinge ferma obiectivul de 70% și câte dintre vaci au avut nevoie de cel puțin trei însămânțări?

De la situație la model

Zootehnistul nu poate ține minte 24 de numere, dar le poate număra pe valori. Tabelul de frecvențe face tocmai asta și, pe lângă numărătoare, îți dă proporții: cât din registru înseamnă fiecare valoare, ca la probabilitatea clasică, unde cazurile favorabile se împart la cele posibile.

În situație	În matematică
cele 24 de vaci din registru	cele $N = 24$ de date ale setului
numărul de doze folosite până la gestație	caracteristica $X$ , cu valorile $x_{i} = 1, 2, \dots, 5$
câte vaci au avut nevoie de exact 2 doze	frecvența absolută $f_{i}$ a valorii $x_{i}$
ce parte din registru sunt ele	frecvența relativă $\frac{f _{i}}{N}$
câte vaci au rămas gestante după cel mult 2 doze	frecvența cumulată a valorii 2

Frecvența absolută a unei valori este numărul datelor egale cu ea. Frecvența relativă este raportul dintre frecvența absolută și numărul total de date, $N$ ; o scrii ca fracție ireductibilă sau ca procent. Frecvența cumulată a unei valori este numărul datelor mai mici sau egale cu ea, adică frecvențele absolute adunate de la prima valoare până la ea.

Ce sume arată că tabelul e bun?

Sunt trei: frecvențele absolute dau împreună $N$ , frecvențele relative dau 1 (sau 100%), iar ultima frecvență cumulată este tot $N$ . Dacă una nu iese, ai omis sau ai numărat de două ori o dată: cauți greșeala în registru înainte de orice procent, fiindcă pe un total greșit toate procentele ies greșite.

Cum citești „cel mult” și „cel puțin”?

„Cel mult 2” înseamnă datele de până la 2 inclusiv, deci chiar frecvența cumulată a lui 2. „Cel puțin 3” înseamnă toate datele de la 3 în sus; le obții scăzând din $N$ cumulata valorii de dinainte, adică a lui 2. „Între 2 și 4, inclusiv” se obține scăzând cumulata lui 1 din cumulata lui 4. La numere întregi, cum sunt dozele, „mai mult de 2” înseamnă tot „cel puțin 3”.

Când tabelul pe valori nu mai merge?

Când fiecare dată apare o singură dată, rândurile n-ar mai aduna nimic. Atunci valorile se grupează pe intervale, iar tabelul se desenează ca histogramă pe intervale.

Metoda pas cu pas

Hotărăște ce numeri: aici o dată este o vacă, iar caracteristica este numărul de doze folosite până la gestație. Scrie în ordine crescătoare valorile care apar în registru; o valoare care nu apare nu primește rând.
Numără aparițiile fiecărei valori, bifând fiecare rând din registru, ca să nu sari niciunul și să nu-l numeri de două ori. Scrie frecvențele absolute în tabel; suma lor trebuie să fie $N$ .
Împarte fiecare frecvență la $N$ și scrie rezultatul ca fracție ireductibilă și ca procent, rotunjit la numărul de zecimale cerut, nu tăiat. Un procent fără fracția exactă lângă el nu se mai poate verifica.
Adună frecvențele de sus în jos: fiecare rând primește suma rândurilor de până la el, inclusiv a lui. Pentru „cel puțin”, scazi din $N$ cumulata valorii de dinainte, iar pentru „între $a$ și $b$ , inclusiv”, scazi cumulata valorii de dinaintea lui $a$ din cumulata lui $b$ .
Verifică: ultima cumulată este $N$ , fracțiile dau 1, iar un răspuns îl numeri încă o dată direct în registru. Procentele rotunjite pot da puțin sub 100% sau puțin peste (exercițiile 2 și 7); diferența vine din rotunjire, nu din numărătoare. Dacă o sumă nu iese, nu potrivești un număr ca să iasă: reiei numărătoarea din registru.

Pe categorii pașii sunt aceiași: la o întrebare ca „ce tipuri elimin” (Exemplul 2) rândurile se ordonează descrescător după frecvență, iar categoriile cu ordine firească (Exemplul 3) își păstrează ordinea. Valoarea cea mai frecventă se numește mod; despre ea afli în lecția Medie, mediană, mod pentru tehnologic. Pentru restul statisticii, vezi lecțiile de clasa a X-a de la tehnologic.

Fișa de buzunar

$f_{r} = \frac{f}{N}$

$N (\leq x) = f_{1} + f_{2} + \dots + f_{k}$

$cel pu ț in x : N - N (< x)$

Condiții: fiecare dată se numără o singură dată, iar valorile se scriu în ordine crescătoare, fiindcă cumulatele adună de sus în jos; $N (< x)$ este cumulata valorii de dinaintea lui $x$ . Verificare rapidă: frecvențele absolute dau $N$ , fracțiile dau 1, iar ultima cumulată este $N$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Registrul de reproducție

Domeniu: zootehnie.

Enunț. Reluăm registrul celor 24 de vaci. a) Alcătuiți tabelul de frecvențe: absolute, relative (fracție ireductibilă și procent cu o zecimală) și cumulate. b) Câte vaci au avut nevoie de cel puțin trei însămânțări? c) Atinge ferma obiectivul de 70%?

Rezolvare. Bifând fiecare rând, găsim:

Doze folosite $x_{i}$	$f_{i}$	$\frac{f _{i}}{N}$	%	cumulată
1	9	$\frac{3}{8}$	37,5	9
2	8	$\frac{1}{3}$	33,3	17
3	4	$\frac{1}{6}$	16,7	21
4	2	$\frac{1}{12}$	8,3	23
5	1	$\frac{1}{24}$	4,2	24

b) Cel puțin trei însămânțări au avut $24 - 17 = 7$ vaci. c) Cel mult două însămânțări au avut 17 vaci, exact cumulata lui 2. Obiectivul cere $0, 7 \cdot 24 = 16, 8$ vaci, deci cel puțin 17, iar $\frac{17}{24} \approx 70, 8%$ : ferma îl atinge, la limită.

Capcană. Cine citește „cel puțin 3” din rândul cumulat al lui 3 ia 21 de vaci și obține $\frac{21}{24} = 87, 5%$ : ar crede că aproape tot lotul are probleme de reproducție și ar trata toate vacile fără motiv. Cumulata lui 3 numără și vacile gestante după una sau două doze.

Verificare. Frecvențele dau $9 + 8 + 4 + 2 + 1 = 24$ , iar ultima cumulată este tot 24. Fracțiile se adună la 1, iar procentele rotunjite dau 100,0%. În registru, vacile cu cel puțin trei doze sunt D, G, K, N, Q, U și W: tot șapte.

Exemplul 2 — Defectele plăcilor de PAL

Domeniu: lemn.

Enunț. La recepția plăcilor de PAL melaminat, controlorul unei fabrici de mobilă a respins 31 de plăci și a notat motivul fiecăreia: Z zgârietură, C colț ciobit, P pată de adeziv, G grosime în afara toleranței. Șirul notat este: G Z C G G Z Z P Z C Z C P P P C P G Z C P C Z Z C Z Z C C Z Z. Alcătuiți tabelul de frecvențe. Care sunt cele mai puține tipuri de defect pe care furnizorul trebuie să le elimine ca să dispară cel puțin două treimi dintre respingeri?

Rezolvare. Numărând, obținem Z de 12 ori, C de 9 ori, P de 6 ori și G de 4 ori. Ordonăm tipurile descrescător după frecvență și cumulăm:

Defect	$f$	%	cumulată	% cumulat
Z	12	38,7	12	38,7
C	9	29,0	21	67,7
P	6	19,4	27	87,1
G	4	12,9	31	100,0

Două treimi din 31 sunt $\frac{2}{3} \cdot 31 \approx 20, 7$ plăci, deci cel puțin 21. Z singur acoperă 12, prea puțin; Z și C acoperă 21. Furnizorul elimină zgârieturile și colțurile ciobite.

Verificare. Frecvențele dau $12 + 9 + 6 + 4 = 31$ , iar procentele rotunjite dau 100,0%. Numărând încă o dată literele Z din șir, găsești tot 12.

Exemplul 3 — Ouă pe categorii de greutate

Domeniu: alimentar.

Enunț. Un centru de sortare împarte ouăle pe categorii de greutate: S sub 53 g, M de la 53 g la mai puțin de 63 g, L de la 63 g la mai puțin de 73 g, XL de la 73 g în sus (praguri din regulamentul european de comercializare, date aici ca exemplu). Un eșantion de 22 de ouă a cântărit, în grame: 62,9; 51,6; 73,0; 56,4; 63,0; 49,8; 59,3; 66,1; 53,0; 74,6; 47,3; 69,5; 52,7; 64,8; 48,9; 58,2; 77,2; 61,7; 50,4; 67,7; 72,9; 55,9. Alcătuiți tabelul de frecvențe pe categorii și spuneți câte ouă sunt XL și ce parte din eșantion reprezintă, ca procent cu o zecimală.

Rezolvare. Categoriile se citesc cu limita de jos inclusă. Un ou de exact 53,0 g este M, unul de 63,0 g este L, iar unul de 73,0 g este XL.

Categorie	$f$	%	cumulată
S	6	27,3	6
M	7	31,8	13
L	6	27,3	19
XL	3	13,6	22

Ouă XL sunt cele de 73,0; 74,6 și 77,2 g, deci 3, iar $\frac{3}{22} \approx 13, 6%$ .

Capcană. Cine include limita de sus în categoria de jos pune 53,0 g la S, 63,0 g la M și 73,0 g la L. Tabelul iese S 7, M 7, L 6 și XL 2, adică $\frac{2}{22} \approx 9, 1%$ ouă XL, cele mai scumpe: lotul ar părea mai ieftin decât este.

Verificare. $6 + 7 + 6 + 3 = 22$ , ultima cumulată este 22, iar procentele rotunjite dau 100,0%. Numărate direct în listă, ouăle de cel puțin 63,0 g sunt 9, cât dau L și XL împreună.

Exemplul 4 — problema inversă: ce prag poți promite

Domeniu: electric.

Enunț. O firmă autorizată de întreținere a instalațiilor electrice vrea să treacă în contracte (date din exemplu) un termen de remediere a defectelor la tablourile electrice: în cel puțin 80% dintre cazuri, defectul se remediază în cel mult $t$ ore. Din luna trecută are 44 de intervenții, cu durata rotunjită în sus la ora începută: 1 oră — 9 intervenții, 2 ore — 13, 3 ore — 8, 4 ore — 5, 5 ore — 4, 6 ore — 3, 8 ore — 1, 9 ore — 1. Care este cel mai mic $t$ pe care îl poate scrie în contract?

Rezolvare. Pornim de la procentul cerut și citim tabelul invers. Cumulatele sunt 9, 22, 30, 35, 39, 42, 43, 44, pentru duratele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 ore. Pentru 80% trebuie cel puțin $0, 8 \cdot 44 = 35, 2$ intervenții, deci cel puțin 36. La 4 ore cumulata este 35, prea puțin; la 5 ore este 39. Cel mai mic $t$ este 5 ore.

Verificare. La 4 ore, $\frac{35}{44} \approx 79, 5%$ , sub 80%; la 5 ore, $\frac{39}{44} \approx 88, 6%$ . Frecvențele dau $9 + 13 + 8 + 5 + 4 + 3 + 1 + 1 = 44$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Un pomicultor a numărat fructele de pe 16 ramuri: 3, 4, 2, 5, 3, 3, 4, 2, 6, 3, 4, 3, 5, 2, 4, 3. Alcătuiește tabelul cu frecvențele absolute și relative (fracții ireductibile).

2. Un șantier a avut, pe 26 de zile, 5 muncitori prezenți în 3 zile, 6 în 5, 7 în 9, 8 în 6 și 9 în 3. Calculează frecvențele relative ca procente cu o zecimală.

3. Un atelier a avut rebuturi pe 38 de schimburi: 0 rebuturi în 10 schimburi, 1 în 12, 2 în 8, 3 în 5, 4 în 2, 5 într-unul. Câte schimburi au avut: a) cel mult 1 rebut; b) cel puțin 3; c) între 1 și 3, inclusiv?

4. Tabelul unui magazin spune că 42 de clienți au cumpărat 1 produs (11 clienți), 2 produse (14), 3 (9), 4 (5), 5 (2). Ce nu e în regulă?

Nivelul 2 — situații

5. O brutărie a notat, pe 28 de zile, șarjele arse: niciuna în 9 zile, una în 11, două în 5, trei în 2, patru într-una. Regula cere cel mult o șarjă arsă în cel puțin 70% dintre zile. Se respectă?

6. La un service de anvelope s-au schimbat 6 seturi pe zi în 3 zile, 7 în 5, 8 în 9, 9 în 7, 10 în 3. În ce procent din zile, cu o zecimală, au fost cel puțin 9 seturi?

7. O stație de epurare a numărat, pe 30 de zile, pompele pornite la ora de vârf: 1 pompă în 4 zile, 2 pompe în 8, 3 în 11, 4 în 5, 5 în 2. Calculează frecvențele relative (procente) și cumulate.

8. Un birou de contabilitate a primit 36 de facturi: 15 fără erori, 12 cu o eroare, 6 cu două, 3 cu trei. Calculează frecvențele relative și spune ce parte din facturi au avut cel mult o eroare.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Un atelier de croitorie dă un bonus de 18 lei pe fiecare comandă predată în cel mult 3 zile. Luna trecută a predat 48 de comenzi: în 1 zi (5 comenzi), 2 zile (11), 3 zile (14), 4 zile (10), 5 zile (6), 6 zile (2). Ce procent din comenzi au adus bonus și cât a plătit atelierul? Cât ar fi plătit pentru „sub 3 zile”?

10. (Sinteză.) Un atelier compară două loturi: A are 54 de piese, 17 cu bavuri; B are 38 de piese, 14 cu bavuri. Care lot are mai multe piese cu bavuri și care are ponderea mai mare, ca procent cu o zecimală?

11. (Sinteză.) O cantină a cronometrat 36 de clienți: serviți în 4 minute (3 clienți), 5 (6), 6 (8), 7 (7), 8 (6), 9 (4), 10 (2). Raportul lunar spune că 90% dintre clienți sunt serviți în cel mult 8 minute. E adevărat? Care e cel mai mic prag, în minute, pentru care ar fi adevărat?

12. (Sinteză.) Un service a măsurat grosimea plăcuțelor de frână, în milimetri întregi, la 50 de mașini: 2 mm la 3 mașini, 3 mm la 6, 4 mm la 9, 5 mm la 12, 6 mm la 10, 7 mm la 7, 8 mm la 3. Sub 4 mm le schimbă pe loc, la 4 sau 5 mm la revizia următoare, iar de la 6 mm nu face nimic (valori din exemplu). Ce procent din mașini intră în fiecare grupă?

Răspunsuri și verificări

1. Valorile 2, 3, 4, 5, 6 au frecvențele 3, 6, 4, 2, 1, adică $\frac{3}{16}$ , $\frac{3}{8}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{16}$ din cele 16 ramuri. Verificare: $3 + 6 + 4 + 2 + 1 = 16$ .

2. Procentele sunt 11,5; 19,2; 34,6; 23,1; 11,5. Verificare: frecvențele dau 26; procentele rotunjite, 99,9%.

3. Cumulatele sunt 10, 22, 30, 35, 37, 38. a) Cel mult 1 rebut: 22 de schimburi. b) Cel puțin 3: $38 - 30 = 8$ schimburi. c) Între 1 și 3: $35 - 10 = 25$ de schimburi. Verificare: direct din enunț, $5 + 2 + 1 = 8$ și $12 + 8 + 5 = 25$ .

4. Frecvențele dau $11 + 14 + 9 + 5 + 2 = 41$ , nu 42: lipsește un client sau totalul e greșit, deci reiei registrul. Verificare: ultima cumulată ar fi 41.

5. Cel mult o șarjă arsă a fost în $9 + 11 = 20$ de zile, adică $\frac{20}{28} \approx 71, 4%$ ; pragul de 70% cere $0, 7 \cdot 28 = 19, 6$ , deci 20 de zile: regula se respectă. Verificare: $9 + 11 + 5 + 2 + 1 = 28$ .

6. Cel puțin 9 seturi au fost în $7 + 3 = 10$ zile: $\frac{10}{27} \approx 37, 0%$ . Verificare: $3 + 5 + 9 + 7 + 3 = 27$ .

7. Procentele sunt 13,3; 26,7; 36,7; 16,7; 6,7, iar cumulatele 4, 12, 23, 28, 30. Verificare: frecvențele dau 30, ca ultima cumulată.

8. Frecvențele relative sunt $\frac{5}{12}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{12}$ . Cel mult o eroare au avut $15 + 12 = 27$ de facturi, adică $\frac{27}{36} = 75%$ . Verificare: cu cel puțin două erori au rămas $6 + 3 = 9$ facturi, iar $27 + 9 = 36$ .

9. Cumulatele sunt 5, 16, 30, 40, 46, 48. În cel mult 3 zile s-au predat 30 de comenzi, adică $\frac{30}{48} = 62, 5%$ , cu bonusul $30 \cdot 18 = 540$ de lei. „Sub 3 zile” înseamnă, la zile întregi, cel mult 2: 16 comenzi, $16 \cdot 18 = 288$ de lei. Verificare: peste 3 zile au rămas $10 + 6 + 2 = 18$ comenzi, iar $48 - 18 = 30$ .

10. A are mai multe piese cu bavuri, 17 față de 14. Ponderile sunt $\frac{17}{54} \approx 31, 5%$ la A și $\frac{14}{38} \approx 36, 8%$ la B: ponderea mai mare e la B. Verificare: $17 \cdot 38 = 646$ este mai mic decât $14 \cdot 54 = 756$ , deci $\frac{17}{54} < \frac{14}{38}$ .

11. Cumulatele sunt 3, 9, 17, 24, 30, 34, 36. În cel mult 8 minute au fost serviți 30 de clienți, adică $\frac{30}{36} \approx 83, 3%$ : raportul nu e adevărat. Pentru 90% trebuie cel puțin $0, 9 \cdot 36 = 32, 4$ , deci 33 de clienți; cumulata e 30 la 8 minute și 34 la 9, deci pragul este 9 minute. Verificare: $\frac{34}{36} \approx 94, 4%$ ajunge, iar $83, 3%$ nu.

12. Cumulatele sunt 3, 9, 18, 30, 40, 47, 50. Sub 4 mm, adică cel mult 3 mm: 9 mașini, $\frac{9}{50} = 18%$ . La 4 sau 5 mm: $30 - 9 = 21$ , adică $42%$ ; de la 6 mm: $50 - 30 = 20$ , adică $40%$ . Verificare: $9 + 21 + 20 = 50$ .

Așa vine la Bac M3

Programa de examen cuprinde tema doar în parte, iar ea nu a apărut în probele 2013–2026. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), statistica ține de blocul „Matematici financiare” al clasei a X-a, lângă calculul financiar și probabilitatea: blocul cere culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor, graficele și citirea lor, iar o notă îi pune aplicațiile în domeniul financiar. Partea care nu e numită în programa de examen este cea a frecvențelor relative și cumulate. Din cele 83 de probe oficiale, nicio cerință indexată nu se rezolvă cu un tabel de frecvențe.

Nu există deci cerințe reale de citat aici și nu dau nici cerințe-model. Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), leagă frecvențele de procente, de bani, de comparații între loturi și de praguri.

Greșeli care costă puncte

Citești „cel puțin 3” din rândul cumulat al lui 3 → cum o prinzi: te întrebi ce numără cumulata, „cel mult”, și scazi din $N$ cumulata valorii de dinainte; la Exemplul 1 rezultă 7, nu 21.
Cumulezi în ordinea în care apar literele în șir, nu în ordinea descrescătoare a frecvențelor: la Exemplul 2, ordinea G, Z, C, P dă cumulatele 4, 16, 25, 31 și cere trei tipuri de defect, nu două → cum o prinzi: ordonezi întâi tipurile după frecvență; cumulata a doua trebuie să fie suma celor mai mari două frecvențe, $12 + 9 = 21$ .
Pui limita de sus a unei categorii în categoria de jos: oul de 73,0 g ajunge la L → cum o prinzi: citești regula categoriei cu „de la … la mai puțin de …” și verifici separat ouăle de pe limite.
Iei ultima cumulată de sub prag, nu prima care îl atinge: la exercițiul 11, cumulata 30, de la 8 minute, dă $\frac{30}{36} \approx 83, 3%$ , nu 90% → cum o prinzi: calculezi procentul cumulatei alese; la 9 minute, $\frac{34}{36} \approx 94, 4%$ ajunge.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, alcătuirea tabelelor de frecvențe face parte din programa de examen doar în parte: tipurile de frecvențe nu sunt numite în programa de examen. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută.

Întrebări frecvente

Ar fi atins ferma obiectivul dacă una dintre cele 17 vaci ar fi avut nevoie de a treia doză? Nu. Ar fi rămas 16 vaci gestante după cel mult două însămânțări, iar $\frac{16}{24} \approx 66, 7%$ e sub 70%. Ferma a atins deci obiectivul la limită: o singură vacă în plus care ar fi avut nevoie de a treia doză l-ar fi ratat.

Cum se schimbă tabelul dacă zootehnistul ia toate gestațiile din ultimii doi ani, nu doar ultima a fiecărei vaci? Fiecare gestație devine o dată, deci $N$ crește: dacă cele 24 de vaci au avut 46 de gestații în doi ani, frecvențele se numără din 46 de rânduri și se împart la 46. Tabelul descrie atunci gestațiile fermei, nu vacile.

Cum se schimbă pragul dacă obiectivul e „peste 70%”, nu „cel puțin 70%”? Nu se schimbă, fiindcă 70% din 24 este 16,8, nu un număr întreg: ambele cer cel puțin 17 vaci. Diferența apare când procentul dă un număr întreg: 75% din 24 este 18, iar „cel puțin 75%” cere 18 vaci, pe când „peste 75%” cere 19.

Ce rezultat ar fi dat un obiectiv fixat pe gestația după prima însămânțare? După o singură doză au rămas gestante 9 vaci din 24, puțin sub 40%: un obiectiv de 40% n-ar fi fost atins, unul de 35% ar fi fost. Prima frecvență arată cât de reușită e prima însămânțare, iar cumulata lui 2, câte vaci rămân gestante repede.

Apar tabelele de frecvențe în programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? Doar în parte: programa cere culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice și lectura reprezentărilor grafice, în blocul „Matematici financiare”. Frecvențele relative și cumulate nu sunt numite. În probele oficiale 2013–2026 nicio cerință nu a avut ca metodă un tabel de frecvențe; tema poate fi cerută, fiind în programă.