Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2018 (varianta 2) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2018 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $30 \cdot (\frac{1}{3} - 0, 3) = 1$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră $x_{1}$ și $x_{2}$ soluțiile ecuației $x^{2} - x + a = 0$ , unde $a$ este număr real. Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care $x_{1} x_{2} - 1 < 0$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x + 1} = 9^{x}$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților egală cu $3$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 1, - 1)$ și $B (4, 4)$ . Demonstrați că punctele $A$ , $O$ și $B$ sunt coliniare.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Demonstrați că $(sin x + cos x)^{2} - sin 2 x = 1$ , pentru orice număr real $x$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A = (12 - 5 6)$ , $B = (6 - 2 51)$ și $I_{2} = (1001)$ .

a) (5 puncte) Arătați că $det A = 16$ .

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $A \cdot B = a I_{2}$ .

c) (5 puncte) Demonstrați că $det (x A + \frac{1}{x} B) \geq 49$ , pentru orice număr real nenul $x$ .

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = 5 x y + 15 (x + y) + 42$ .

a) (5 puncte) Arătați că $(- 2) \circ (- 2) = 2$ .

b) (5 puncte) Demonstrați că $x \circ y = 5 (x + 3) (y + 3) - 3$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ , pentru care $(x - 3) \circ (x - 3) \circ (x - 3) = 197$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x - 2) e^{x}$ .

a) (5 puncte) Arătați că $f^{'} (x) = (x - 1) e^{x}$ , $x \in R$ .

b) (5 puncte) Arătați că $x \to - \infty lim f (x) = 0$ .

c) (5 puncte) Demonstrați că $- e \leq f (x) \leq 0$ , pentru orice $x \in (- \infty, 2]$ .

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} + 1$ .

a) (5 puncte) Arătați că $\int_{- 1}^{1} (f (x) - 1) d x = 2$ .

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este crescătoare pe $R$ .

c) (5 puncte) Calculați $\int_{1}^{e} f (x) ln x d x$ .

Barem și răspunsuri

Totalul este de 100 p: 90 p vin din cerințe, 10 p din oficiu. Subiectul I are șase cerințe de câte 5 p; cerința 4 se împarte în trei rânduri (1 p, 2 p, 2 p), celelalte în câte două. Fiecare dintre itemii 7–10 are 15 p, repartizate în trei subpuncte de câte 5 p, iar un subpunct are două rânduri punctate. Împărțirea punctelor pe rânduri urmează varianta 2 din iunie 2018; rezolvările, probele și observațiile sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — o fracție și o zecimală.

Zecimala se scrie ca fracție, $0, 3 = \frac{3}{10}$ , iar diferența se aduce la numitorul $30$ : $\frac{1}{3} - \frac{3}{10} = \frac{10 - 9}{30} (3 p) .$ Diferența este $\frac{1}{30}$ , iar $30 \cdot \frac{1}{30} = 1$ (2 p).

(Probă: $0, 3 + \frac{1}{30} = \frac{9}{30} + \frac{1}{30} = \frac{1}{3}$ . Capcană: zecimala se citește ca trei sutimi, $\frac{3}{100}$ ; atunci diferența ar fi $\frac{1}{3} - \frac{3}{100} = \frac{91}{300}$ , iar produsul cu $30$ ar ieși $\frac{91}{10}$ , nu $1$ .)

Exercițiul 2. (5 p) — relațiile lui Viète.

La ecuația $x^{2} - x + a = 0$ coeficientul lui $x^{2}$ este $1$ , iar termenul liber este $a$ . Produsul rădăcinilor este termenul liber împărțit la coeficientul lui $x^{2}$ : $x_{1} x_{2} = \frac{a}{1} = a (3 p) .$ Inegalitatea $x_{1} x_{2} - 1 < 0$ devine $a - 1 < 0$ , deci $a < 1$ și $a \in (- \infty, 1) (2 p) .$

(Observație: discriminantul este $1 - 4 a$ . Pentru $a > \frac{1}{4}$ el este negativ, iar $x_{1}$ și $x_{2}$ sunt numere complexe conjugate; relațiile lui Viète rămân valabile și atunci, iar enunțul nu cere soluții reale, deci tot intervalul $(- \infty, 1)$ convine. Probă: pentru $a = \frac{1}{2}$ rădăcinile sunt $\frac{1 \pm i}{2}$ , cu produsul $\frac{1 - i ^{2}}{4} = \frac{1}{2}$ . Capcană: dacă s-ar cere $Δ \geq 0$ , ar rămâne numai $a \leq \frac{1}{4}$ , un răspuns care nu mai este cel oficial.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Numărul $9$ este $3^{2}$ , deci $9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x}$ și ecuația devine $3^{x + 1} = 3^{2 x}$ . Funcția $t \mapsto 3^{t}$ este injectivă, deci exponenții sunt egali: $x + 1 = 2 x (3 p) .$ De aici $x = 1$ (2 p).

(Probă: $3^{1 + 1} = 9 = 9^{1}$ . Capcană: se scrie $9^{x} = 3^{x^{2}}$ ; atunci $x + 1 = x^{2}$ , cu soluțiile $\frac{1 \pm 5}{2}$ , dar $(3^{2})^{x} = 3^{2 x}$ , nu $3^{x^{2}}$ .)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Numerele naturale de două cifre sunt $10, 11, \dots, 99$ , adică $99 - 10 + 1 = 90$ de numere, deci numărul cazurilor posibile este $90$ (1 p).

Cele cu cifra unităților $3$ sunt $13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93$ : cifra zecilor ia câte o valoare de la $1$ la $9$ și cea a unităților rămâne $3$ , deci numărul cazurilor favorabile este $9$ (2 p).

Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: $\frac{9}{90} = \frac{1}{10} (2 p) .$

(Probă: din fiecare zece numere consecutive unul se termină în $3$ , deci din $90$ de numere sunt $\frac{90}{10} = 9$ . Capcană: se numără și $3$ , iar cazurile favorabile ar fi $10$ ; numărul $3$ are o singură cifră.)

Exercițiul 5. (5 p) — trei puncte coliniare.

Distanțele de la origine la cele două puncte sunt $A O = (- 1)^{2} + (- 1)^{2} = 2, O B = 4^{2} + 4^{2} = 32 = 42 (2 p) .$ Distanța dintre capete este $A B = 5^{2} + 5^{2} = 52$ . Se observă că $A O + O B = 2 + 42 = 52 = A B .$ Într-un triunghi adevărat suma a două laturi este mai mare decât a treia; egalitatea arată că $O$ se află pe segmentul $A B$ , deci punctele $A$ , $O$ , $B$ sunt coliniare (3 p).

(Altă cale: toate cele trei puncte au coordonatele egale, deci stau pe dreapta $y = x$ . Capcană: se compară pătratele, $A O^{2} + O B^{2} = 2 + 32 = 34$ , cu $A B^{2} = 50$ ; o egalitate a pătratelor ar da un unghi drept în $O$ , nu coliniaritate, iar aici nici nu se produce.)

Exercițiul 6. (5 p) — o identitate trigonometrică.

Pătratul sumei se desface, iar $sin 2 x$ se înlocuiește cu dublul produsului $sin x cos x$ : $sin^{2} x + 2 sin x cos x + cos^{2} x - 2 sin x cos x (3 p) .$ Termenii cu $2 sin x cos x$ se reduc și rămâne $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , pentru orice $x \in R$ (2 p).

(Probă: pentru $x = \frac{π}{4}$ expresia este $(\frac{2}{2} + \frac{2}{2})^{2} - sin \frac{π}{2} = 2 - 1 = 1$ . Capcană: pentru $sin 2 x$ se ia produsul $sin x cos x$ , fără dublare; atunci rămâne $1 + sin x cos x$ , care la $x = \frac{π}{4}$ ar fi $\frac{3}{2}$ .)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2 \times 2$ .

a) (5 p) Se scade produsul de pe diagonala secundară din cel de pe diagonala principală: $det A = 12 - 5 6 = 1 \cdot 6 - 2 \cdot (- 5) (3 p) .$ $det A = 6 + 10 = 16 (2 p) .$

(Capcană: elementul $- 5$ se ia fără semn, $1 \cdot 6 - 2 \cdot 5 = - 4$ .)

b) (5 p) Fiecare element al produsului se obține înmulțind un rând al lui $A$ cu o coloană a lui $B$ : $A \cdot B = (1 \cdot 6 + (- 5) (- 2) 2 \cdot 6 + 6 \cdot (- 2) 1 \cdot 5 + (- 5) \cdot 1 2 \cdot 5 + 6 \cdot 1) = (160016) = a (1001) (3 p) .$ Elementele de pe diagonală dau $a = 16$ (2 p).

(Probă: $det B = 6 \cdot 1 - 5 \cdot (- 2) = 16$ , iar $det A \cdot det B = 256 = det (16 I_{2})$ . Capcană: la $(- 5) (- 2)$ se scrie minus; atunci primul element ar fi $6 - 10 = - 4$ , iar produsul nu ar mai fi un multiplu al lui $I_{2}$ .)

c) (5 p) Pentru $x \neq = 0$ , $x A + \frac{1}{x} B = x + \frac{6}{x} 2 x - \frac{2}{x} - 5 x + \frac{5}{x} 6 x + \frac{1}{x} .$ Produsele de pe cele două diagonale sunt $(x + \frac{6}{x}) (6 x + \frac{1}{x}) = 6 x^{2} + 37 + \frac{6}{x ^{2}}$ și $(- 5 x + \frac{5}{x}) (2 x - \frac{2}{x}) = - 10 x^{2} + 20 - \frac{10}{x ^{2}}$ , iar determinantul este diferența lor: $det (x A + \frac{1}{x} B) = (6 x^{2} + 37 + \frac{6}{x ^{2}}) - (- 10 x^{2} + 20 - \frac{10}{x ^{2}}) = 16 x^{2} + \frac{16}{x ^{2}} + 17 (3 p) .$ Inegalitatea $16 x^{2} + \frac{16}{x ^{2}} + 17 \geq 49$ revine la $16 x^{2} + \frac{16}{x ^{2}} - 32 \geq 0$ , adică $16 (x - \frac{1}{x})^{2} \geq 0,$ adevărată pentru orice $x \neq = 0$ (2 p).

(Probă: la $x = 1$ avem $16 + 16 + 17 = 49$ , egalitate, iar la $x = 2$ avem $64 + 4 + 17 = 85 \geq 49$ . Capcană: determinantul sumei se ia drept suma determinanților, $16 x^{2} + \frac{16}{x ^{2}}$ ; lipsește termenul $17$ , iar fără el inegalitatea ar fi falsă la $x = 1$ , unde membrul stâng ar fi $32 < 49$ .)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă.

a) (5 p) Se înlocuiesc ambele variabile cu $- 2$ : $(- 2) \circ (- 2) = 5 \cdot (- 2) \cdot (- 2) + 15 (- 2 + (- 2)) + 42 (3 p) .$ $= 20 - 60 + 42 = 2 (2 p) .$

(Capcană: paranteza lui $15$ se pierde, $20 - 30 - 2 + 42 = 30$ ; factorul $15$ înmulțește suma $- 2 + (- 2)$ .)

b) (5 p) Se desface paranteza, iar $42$ se scrie ca $45 - 3$ : $x \circ y = 5 x y + 15 x + 15 y + 45 - 3 (2 p) .$ Termenii se grupează în jurul lui $y + 3$ : $x \circ y = 5 x (y + 3) + 15 (y + 3) - 3 = (5 x + 15) (y + 3) - 3 = 5 (x + 3) (y + 3) - 3 (3 p) .$

(Probă: $(- 2) \circ (- 2) = 5 \cdot 1 \cdot 1 - 3 = 2$ , ca la a). Capcană: $5 x + 15$ se scrie $5 (x + 15)$ ; dar $5 (x + 15) = 5 x + 75$ , iar $5 x + 15 = 5 (x + 3)$ .)

c) (5 p) Din forma de la b), pentru a calcula $(x - 3) \circ (x - 3)$ se înlocuiește $x - 3 + 3 = x$ în ambii factori: $(x - 3) \circ (x - 3) = 5 \cdot x \cdot x - 3 = 5 x^{2} - 3.$ Apoi, cu aceeași formă, $(5 x^{2} - 3) \circ (x - 3) = 5 (5 x^{2} - 3 + 3) \cdot x - 3$ , adică $(x - 3) \circ (x - 3) \circ (x - 3) = 25 x^{3} - 3 (2 p) .$ Ecuația $25 x^{3} - 3 = 197$ dă $25 x^{3} = 200$ , deci $x^{3} = 8$ , iar singura soluție reală este $x = 2 (3 p) .$

(Probă: $2 - 3 = - 1$ ; $(- 1) \circ (- 1) = 5 \cdot 2 \cdot 2 - 3 = 17$ și $17 \circ (- 1) = 5 \cdot 20 \cdot 2 - 3 = 197$ . Capcană: la a doua compunere factorul $5$ se uită; atunci $5 x^{3} - 3 = 197$ dă $x^{3} = 40$ , adică un alt $x$ .)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, margini.

a) (5 p) Derivata unui produs este $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , cu $u = x - 2$ și $v = e^{x}$ : $f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + (x - 2) e^{x} (3 p) .$ Se scoate $e^{x}$ factor comun: $f^{'} (x) = e^{x} (1 + x - 2) = (x - 1) e^{x}$ , $x \in R$ (2 p).

(Probă: $f^{'} (1) = 0$ , iar în $x = 1$ funcția are valoarea $f (1) = - e$ . Capcană: derivata produsului se ia ca produs al derivatelor; atunci $1 \cdot e^{x} = e^{x}$ , care nu este $(x - 1) e^{x}$ .)

b) (5 p) La $- \infty$ produsul are forma $(- \infty) \cdot 0$ , un caz exceptat. Se scrie $e^{x} = \frac{1}{e ^{- x}}$ , iar limita devine un raport de forma $\frac{- \infty}{+ \infty}$ : $x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim \frac{x - 2}{e ^{- x}} (3 p) .$ Regula lui l'Hôpital derivează separat numărătorul și numitorul: $x \to - \infty lim \frac{1}{- e ^{- x}}$ . Pentru $x \to - \infty$ , $e^{- x} \to + \infty$ , deci limita este $0$ (2 p).

(Probă: $f (- 10) = - 12 e^{- 10}$ , un număr negativ foarte aproape de $0$ . Capcană: se reține $0 \cdot (- \infty) = 0$ fără calcul; produsul $0 \cdot \infty$ este caz exceptat, iar de pildă $x \to + \infty lim \frac{1}{x} \cdot x = 1$ .)

c) (5 p) Factorul $e^{x}$ este pozitiv, deci $f^{'}$ are semnul lui $x - 1$ : negativ pe $(- \infty, 1)$ , pozitiv pe $(1, 2]$ . Funcția este $descresc \overset{a}{˘} toare pe (- \infty, 1], cresc \overset{a}{˘} toare pe [1, 2] (2 p) .$ Valoarea minimă este $f (1) = (1 - 2) e = - e$ , iar $f (2) = (2 - 2) e^{2} = 0$ și $x \to - \infty lim f (x) = 0$ . Pe $(- \infty, 1]$ funcția coboară de la $0$ (limita) la $- e$ , iar pe $[1, 2]$ urcă de la $- e$ la $0$ ; așadar $- e \leq f (x) \leq 0 pentru orice x \in (- \infty, 2] (3 p) .$

(Probă: $f (0) = - 2$ , iar $- 2 > - e$ fiindcă $e > 2$ . Capcană: în $x = 2$ se reține doar factorul $e^{2}$ și se uită $x - 2$ ; în realitate $f (2) = (2 - 2) e^{2} = 0$ .)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și primitive.

a) (5 p) Diferența $f (x) - 1$ lasă $3 x^{2}$ : $\int_{- 1}^{1} (f (x) - 1) d x = \int_{- 1}^{1} 3 x^{2} d x = x^{3}_{- 1}^{1} (3 p) .$ $= 1 - (- 1) = 2 (2 p) .$

(Capcană: o primitivă a lui $3 x^{2}$ se scrie $3 x^{3}$ ; atunci $3 \cdot 1 - 3 \cdot (- 1) = 6$ . Derivata lui $x^{3}$ este $3 x^{2}$ , deci $x^{3}$ este primitiva corectă.)

b) (5 p) Fie $F$ o primitivă a lui $f$ . Atunci $F^{'} (x) = f (x) = 3 x^{2} + 1 (2 p) .$ Pentru orice $x \in R$ , $3 x^{2} \geq 0$ , deci $F^{'} (x) \geq 1 > 0$ . O funcție cu derivata strict pozitivă pe $R$ este crescătoare pe $R$ , deci $F$ este crescătoare (3 p).

(Probă: $F (x) = x^{3} + x$ este o primitivă, iar derivata ei este $3 x^{2} + 1 > 0$ . Capcană: se studiază monotonia lui $f$ în loc de a lui $F$ ; dar $f (- 1) = 4 > f (0) = 1$ , deci $f$ nu este crescătoare.)

c) (5 p) Se observă că $(x^{3} + x)^{'} = 3 x^{2} + 1 = f (x)$ , iar $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ . Integrarea prin părți dă $\int_{1}^{e} f (x) ln x d x = (x^{3} + x) ln x_{1}^{e} - \int_{1}^{e} (x^{3} + x) \cdot \frac{1}{x} d x = e^{3} + e - \int_{1}^{e} (x^{2} + 1) d x (3 p) .$ Integrala rămasă este $(\frac{x ^{3}}{3} + x)_{1}^{e} = \frac{e ^{3}}{3} + e - \frac{4}{3}$ , deci $e^{3} + e - \frac{e ^{3}}{3} - e + \frac{4}{3} = \frac{2 e ^{3} + 4}{3} (2 p) .$

(Probă: $ln 1 = 0$ și $ln e = 1$ , deci termenul integrat este $(e^{3} + e) \cdot 1 - 2 \cdot 0 = e^{3} + e$ . Capcană: se uită factorul $\frac{1}{x}$ al derivatei lui $ln x$ ; integrala rămasă ar fi $\int_{1}^{e} (x^{3} + x) d x = \frac{e ^{4}}{4} + \frac{e ^{2}}{2} - \frac{3}{4}$ , un alt rezultat.)

Pentru părinți și profesori

Aici stă lucrarea de matematică a Bacalaureatului tehnologic din sesiunea iunie 2018, Varianta 2, cu cerințele oficiale, cu rezolvările noastre și cu un ghidaj pe pași. Documentele oficiale o numesc Matematică M_tehnologic, iar pe site apare și ca „M3"; arhiva ei are în denumire data de 27 iunie 2018. Foaia poartă în cap numele Ministerului Educației Naționale și al Centrului Național de Evaluare și Examinare și se adresează filierei tehnologice, profilurilor servicii, resurse și tehnic. Enunțurile sunt copiate fără nicio schimbare. Calculele, probele și întrebările ghidajului sunt ale noastre; documentul oficial de notare ne-a arătat doar cum se împart punctele între rânduri.

Cum e construită. Lucrarea are trei subiecte, fiecare de $30$ de puncte. Primul adună șase cerințe scurte. Al doilea are o problemă cu matrice și una cu o lege de compoziție, iar al treilea una despre o funcție cu exponențială și una despre o funcție polinomială, cu integrale; fiecare problemă se desparte în trei subpuncte de câte $5$ puncte. Rândurile punctate din documentul oficial sunt de $2$ și de $3$ puncte, cu o singură abatere: cerința 4 din Subiectul I are trei rânduri, de $1$ , $2$ și $2$ puncte, deci lucrarea are $37$ de rânduri punctate.

Cerințele, pe clase.

Clasa a IX-a: cerința 1 (fracții cu o zecimală), cerința 2 (relațiile lui Viète) și cerința 6 (o identitate cu $sin 2 x$ ).
Clasa a X-a: cerința 3 (ecuație exponențială), cerința 4 (probabilitate) și cerința 5 (trei puncte în plan, cu distanțe). Coliniaritatea a trei puncte figurează și în materia clasei a XI-a, prin determinanți.
Clasa a XI-a: cerința 7 (matrice) și cerința 9 (derivată, limită la $- \infty$ , margini ale unei funcții).
Clasa a XII-a: cerința 8 (lege de compoziție) și cerința 10 (integrale și primitive).

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Elevii care urmează programa școlară nouă (în vigoare din 2026–2027, cu începere de la clasa a IX-a) au nevoie de o completare la patru cerințe:

Cerința 1. Operațiile cu fracții și zecimale țin de numerele reale, tema clasei a IX-a la examen. Unitățile noi ale clasei a IX-a nu au o temă despre numerele reale; materia e în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
Cerința 2. La examen, relațiile lui Viète stau sub funcția de gradul al II-lea (clasa a IX-a); în programa școlară nouă ele lipsesc. Le găsești în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".
Cerința 3. Ecuațiile exponențiale sunt cerute la clasa a X-a, iar programa școlară nouă rezolvă ecuațiile doar pe grafic: „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
Cerința 6. Scrierea lui $sin 2 x$ cu ajutorul lui $sin x$ și $cos x$ se cere la examen din clasa a IX-a, iar formulele de dublu unghi lipsesc din programa nouă: „Supliment Bac M3 2027–2029: trigonometrie — adunare și dublu unghi".

Ce are aparte varianta 2.

La cerința 2, enunțul nu spune că soluțiile $x_{1}$ , $x_{2}$ ar fi reale. Materia de examen a clasei a X-a include rezolvarea în $C$ a ecuațiilor de gradul al doilea cu coeficienți reali, iar răspunsul oficial, $a \in (- \infty, 1)$ , socotește soluțiile în $C$ ; noi procedăm la fel și spunem asta în rezolvare.
La cerința 5, punctele $A$ , $O$ , $B$ au coordonatele egale, deci se află pe dreapta $y = x$ , iar lungimile arată că $O$ e între $A$ și $B$ .
La 7.b), $A \cdot B = 16 I_{2}$ și $det A = det B = 16$ .
La 8.c) legea e asociativă, așa că $(x - 3) \circ (x - 3) \circ (x - 3)$ nu cere paranteze.
La 9.c), minimul funcției pe $(- \infty, 2]$ este $f (1) = - e$ , iar maximul $0$ se atinge în $x = 2$ și apare și ca limită la $- \infty$ .

Un plan pentru trei ore. Antetul fixează trei ore de lucru efectiv, adică $180$ de minute. Se poate lucra așa: Subiectul I în $32$ de minute, Subiectul al II-lea în $56$ , Subiectul al III-lea în $56$ , iar recitirea în $36$ . Fiecărei cerințe din primul subiect îi revin sub $6$ minute, deci 1 și 6 se rezolvă repede, ca să rămână timp pentru probabilitate și pentru punctele în plan. Totalul se citește așa: cele $90$ de puncte ale cerințelor plus $10$ din oficiu fac $100$ , iar nota este totalul împărțit la $10$ .

Despre litere. Litera $f$ are două sensuri în această variantă: $f (x) = (x - 2) e^{x}$ la cerința 9 și $f (x) = 3 x^{2} + 1$ la cerința 10. Litera $a$ este un număr real la cerința 2 și la 7.b). Literele $A$ și $B$ sunt puncte la cerința 5 și matrice la cerința 7; $O$ este originea reperului, iar $I_{2}$ matricea unitate. La cerința 7 litera $x$ e un număr real nenul, la cerința 8 o necunoscută reală, iar $F$ de la 10.b) e o primitivă oarecare a lui $f$ . Denumirea „Itemul n" din secțiunile de mai jos este cea oficială; elevii îi spun „cerința n".