Subiect Bac matematică tehnologic, august 2018 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2018 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(2-\frac{1}{2}\right)\left(3-\frac{1}{3}\right)\left(4-\frac{1}{4}\right)\cdot \frac{1}{5}=3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2$. Determinați numerele reale $a$ pentru care $f(a)+f(a+1)=5$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{2x-4}=25$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\{10,15,20,25,30,35,40,45,50\}$, acesta să fie un număr divizibil cu $10$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,1)$ și $B(2,5)$. Calculați lungimea segmentului $OM$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $2\sin 45^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }-{\sin }^{2}45^{\circ }-{\cos }^{2}60^{\circ }=\frac{1}{4}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 8\end{array}\right)$ și $M(a)=\left(\begin{array}{cc}a-2& 1\\ 4& a+1\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=36$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $M(a)$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $M(x)\cdot M(y)=A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+mX-6$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=m-5$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1^2+x_2^2+x_3^2=4$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Pentru $m=-7$, determinați numerele reale $p$ și $q$, pentru care $f=(X+1)\left(X^2+pX+q\right)$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+3$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\ge -1$, pentru orice $x\in [0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2-x,& x\in (-\infty ,1]\\ 2+\frac{1}{x}\cdot \ln x,& x\in (1,+\infty )\end{array}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=2$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ pentru care ${\int }_0^{2}f(x)dx=\frac{n^2-4+{\ln }^{2}2}{2}$.

Barem și răspunsuri

Cele 90 p ale cerințelor, adunate cu 10 p din oficiu, fac 100 p. Subiectul I cuprinde cerințele 1–6, de 5 p fiecare; la cerința 4 sunt trei rânduri (1 p, 2 p, 2 p), la celelalte două. Subiectele al II-lea și al III-lea au câte doi itemi de 15 p, fiecare împărțit în trei subpuncte egale, iar subpunctul are două rânduri punctate. Punctele pe rânduri sunt cele ale variantei 9 din august 2018; restul paginii, de la demonstrații la comentarii, ne aparține.

Exercițiul 1. (5 p) — un produs de patru factori.

Fiecare paranteză se aduce la un numitor comun, $a-\frac{1}{a}=\frac{a^2-1}{a}$, deci produsul este $$\frac{4-1}{2}\cdot \frac{9-1}{3}\cdot \frac{16-1}{4}\cdot \frac{1}{5}\text{(3 p)}.$$ Parantezele devin $\frac{3}{2}$, $\frac{8}{3}$ și $\frac{15}{4}$. Primele două fracții dau $\frac{3}{2}\cdot \frac{8}{3}=4$, apoi $4\cdot \frac{15}{4}=15$ și $15\cdot \frac{1}{5}=3$ (2 p).

(Probă: numărătorii dau $3\cdot 8\cdot 15=360$, numitorii $2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$, iar $\frac{360}{120}=3$. Capcană: paranteza $a-\frac{1}{a}$ se scrie $\frac{a-1}{a}$, fără pătratul lui $a$; atunci produsul ar fi $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{20}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — o funcție de gradul al II-lea.

Se înlocuiește $x$ cu $a$, apoi cu $a+1$: $f(a)=a^2+2$ și $f(a+1)=(a+1{)}^2+2$. Ecuația cerută este $$a^2+2+(a+1{)}^2+2=5⟺2a^2+2a=0\text{(3 p)}.$$ Se scoate factorul comun $2a$: $2a(a+1)=0$, deci $$a\in \{-1,0\}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(-1)+f(0)=3+2=5$ și $f(0)+f(1)=2+3=5$. Capcană: se împarte ecuația la $a$; soluția $a=0$ se pierde, deși $f(0)+f(1)=5$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Numărul $25$ se scrie $5^2$, iar ecuația devine $5^{2x-4}=5^2$. Funcția $t\mapsto 5^t$ este injectivă, deci exponenții sunt egali: $$2x-4=2\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=6$, adică $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Probă: $5^{2\cdot 3-4}=5^2=25$. Capcană: numărul $25$ se scrie $5^5$; atunci exponentul $2x-4$ ar trebui să fie $5$, de unde $x=\frac{9}{2}$, dar $5^{2\cdot \frac{9}{2}-4}=5^5=3125$. La produsul $5\cdot 5$ exponenții se adună, $5^1\cdot 5^1=5^2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Alegerea se face între cele $9$ elemente ale lui $M$, deci numărul cazurilor posibile este $9$ (1 p).

Sunt divizibile cu $10$ numerele $10,20,30,40,50$, adică $5$ cazuri favorabile; celelalte patru, $15,25,35,45$, se împart la $10$ cu restul $5$ (2 p).

Probabilitatea se obține împărțind cazurile favorabile la cele posibile: $$\frac{5}{9}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $5+4=9$, adică cei cinci multipli ai lui $10$ și cele patru numere rămase epuizează mulțimea $M$. Capcană: se împarte la $10$, ca și cum $M$ ar avea zece elemente; dar $M$ are $9$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Coordonatele mijlocului sunt semisumele coordonatelor capetelor: $$M\left(\frac{6+2}{2},\frac{1+5}{2}\right)=M(4,3)\text{(2 p)}.$$ Lungimea $OM$ este $$OM=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{(3 p)}.$$

(Probă: $AM=\sqrt{(6-4{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{8}$ și $BM=\sqrt{(2-4{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{8}$, deci $M$ se află la aceeași distanță de $A$ și de $B$. Capcană: se iau sumele coordonatelor, nu semisumele, și rezultă $M(8,6)$, cu $OM=10$.)

Exercițiul 6. (5 p) — o expresie trigonometrică.

Valorile necesare sunt $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (3 p).

Înlocuind: $$2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$

(Observație: $2\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }=\sin 90^{\circ }=1$. Capcană: $\cos 60^{\circ }$ se ia $\frac{\sqrt{3}}{2}$; atunci ultimul termen este $\frac{3}{4}$, iar diferența $1-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul se obține din produsul elementelor diagonalei principale minus produsul celor de pe diagonala secundară: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 8\end{array}\right|=5\cdot 8-4\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det A=40-4=36\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se scade $5\cdot 4-8\cdot 1=12$, adică se înmulțesc elementele de pe aceeași coloană, nu cele de pe diagonale.)

b) (5 p) Determinantul lui $M(a)$ este $$\det M(a)=(a-2)(a+1)-4\cdot 1=a^2-a-2-4=a^2-a-6\text{(2 p)}.$$ Inversa unei matrice pătratice există dacă și numai dacă determinantul ei este diferit de zero. Cum $a^2-a-6=(a-3)(a+2)$, avem $\det M(a)=0$ pentru $a=3$ și $a=-2$, deci $M(a)$ este inversabilă pentru $$a\in \mathbb{R}\setminus \{-2,3\}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $M(3)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 4\end{array}\right)$ are determinantul $4-4=0$, iar $M(-2)=\left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ 4& -1\end{array}\right)$ are determinantul $4-4=0$; în schimb $M(0)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 4& 1\end{array}\right)$ are determinantul $-2-4=-6\ne 0$. Capcană: se răspunde cu valorile care anulează determinantul, $\{-2,3\}$, în loc de complementara lor.)

c) (5 p) Se înmulțesc matricele, rând cu coloană: $$M(x)\cdot M(y)=\left(\begin{array}{cc}xy-2x-2y+8& x+y-1\\ 4x+4y-4& xy+x+y+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 8\end{array}\right).$$ Elementul de pe prima linie, a doua coloană, cere $x+y-1=1$, adică $x+y=2$; elementul de pe a doua linie, a doua coloană, cere $xy+x+y+5=8$, adică $xy=1$ (3 p).

Dacă $x+y=2$ și $xy=1$, atunci $x$ și $y$ sunt soluțiile ecuației $t^2-2t+1=0$, adică $(t-1{)}^2=0$: $$\mathbf{x}=1,\mathbf{y}=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $M(1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 4& 2\end{array}\right)$, iar $M(1)\cdot M(1)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 8\end{array}\right)=A$. Capcană: din $x+y-1=1$ se reține $x+y=1$; atunci elementul din dreapta jos ar da $xy=8-5-1=2$, iar $x$ și $y$ ar fi soluțiile lui $t^2-t+2=0$, cu discriminantul $1-8=-7<0$, deci fără soluții reale.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea.

a) (5 p) Se înlocuiește $X=1$: $$f(1)=1^3+m\cdot 1-6\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1+m-6=\mathbf{m}-5,\text{ pentru orice }m\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: monomul $mX$ se calculează în $X=1$ ca $m+1$; dar $m\cdot 1=m$, iar $f(1)$ ar ieși $m-4$ în loc de $m-5$.)

b) (5 p) Coeficientul lui $X^2$ este $0$, deci suma rădăcinilor este $x_1+x_2+x_3=0$, iar suma produselor lor luate două câte două este coeficientul lui $X$: $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=m$. Suma pătratelor se scrie prin acestea: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=0-2m=-2m\text{(3 p)}.$$ Ecuația $-2m=4$ dă $$\mathbf{m}=-2\text{(2 p)}.$$

(Observație: pentru $m=-2$ polinomul este $X^3-2X-6$; discriminantul lui $X^3+pX+q$ este $-4p^3-27q^2$, adică aici $32-972=-940<0$, deci o rădăcină este reală, iar celelalte două sunt numere complexe conjugate; formulele lui Viète le cuprind pe toate trei. Capcană: se rețin doar $-m$ în loc de $-2m$, fiindcă se uită factorul $2$ din formula pătratului sumei; atunci $-m=4$ ar da $m=-4$.)

c) (5 p) Pentru $m=-7$, $f=X^3-7X-6$. Produsul se desface și se egalează cu $f$: $$X^3-7X-6=(X+1)\left(X^2+pX+q\right)=X^3+(p+1)X^2+(p+q)X+q\text{(3 p)}.$$ Coeficienții termenilor de același grad trebuie să coincidă: $$p+1=0,p+q=-7,q=-6.$$ Din primul, $\mathbf{p}=-1$, iar din ultimul, $\mathbf{q}=-6$; ele verifică și $p+q=-7$ (2 p).

(Altă cale: $f(-1)=-1+7-6=0$, deci $X+1$ divide $f$, iar câtul este $X^2-X-6$. Capcană: coeficientul lui $X^2$ se ia $p$, nu $p+1$; atunci $p=0$, iar $p+q=-7$ ar da $q=-7$, în contradicție cu $q=-6$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, margine.

a) (5 p) Se derivează fiecare monom: $$f^{\prime }(x)=3x^2-3\cdot 2x\text{(3 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $3x^2$ se ia $3x$; derivata unui $x^2$ este $2x$, deci a lui $3x^2$ este $6x$.)

b) (5 p) Valorile din $x=1$: $f(1)=1-3+3=1$, iar $f^{\prime }(1)=3\cdot 1\cdot (1-2)=-3$ (2 p).

Tangenta în punctul $(1,f(1))$ are ecuația $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-1=-3(x-1)$, de unde $$\mathbf{y}=-3x+4\text{(3 p)}.$$

(Probă: dreapta trece prin $(1,1)$, fiindcă $-3\cdot 1+4=1$. Capcană: semnul pantei se schimbă; $y-1=3(x-1)$ ar da $y=3x-2$, care nu mai are panta $f^{\prime }(1)$.)

c) (5 p) Pe $[0,+\infty )$ factorul $x$ din $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$ nu este negativ, deci semnul lui $f^{\prime }$ este cel al lui $x-2$: nepozitiv pe $[0,2]$, nenegativ pe $[2,+\infty )$. Funcția este $$\text{descresca˘toare pe }[0,2]\text{ și cresca˘toare pe }[2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Prin urmare $f(x)\ge f(2)$ pentru orice $x\ge 0$, iar $f(2)=8-12+3=-1$, deci $$f(x)\ge -1\text{ pe }[0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(0)=3\ge -1$ și $f(3)=27-27+3=3\ge -1$. Capcană: minimul se caută la capătul $x=0$, unde $f(0)=3$; funcția scade însă până în $x=2$, deci $f(2)=-1$ este mai mic.)

Exercițiul 10. (15 p) — funcție pe ramuri.

a) (5 p) Pe $[-1,1]$ se aplică prima ramură, $f(x)=3x^2-x$: $${\int }_{-1}^{1}f(x)dx={\int }_{-1}^1\left(3x^2-x\right)dx=\left(x^3-\frac{x^2}{2}\right){|}_{-1}^1\text{(3 p)}.$$ $$=\left(1-\frac{1}{2}\right)-\left(-1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se alege a doua ramură, $2+\frac{1}{x}\ln x$, care se aplică numai pentru $x>1$ și nici nu e definită pentru $x\le 0$.)

b) (5 p) Ramurile se schimbă în $x=1$, așa că acolo se compară limitele laterale cu valoarea funcției: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\left(3x^2-x\right)=2,\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\left(2+\frac{1}{x}\ln x\right)=2+1\cdot \ln 1=2,f(1)=3-1=2.$$ Cele trei valori sunt egale, deci $f$ este continuă în $1$ (3 p).

Pe $(-\infty ,1)$ funcția este un polinom, iar pe $(1,+\infty )$ o sumă de funcții continue, deci $f$ este continuă și pe aceste două intervale, adică pe tot $\mathbb{R}$. Continuitatea pe un interval asigură existența primitivelor pe el, așa că $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$ (2 p).

(Observație: $f$ nu este derivabilă în $1$; derivata la stânga este $6\cdot 1-1=5$, iar cea la dreapta este $\frac{1-\ln 1}{1^2}=1$. Existența primitivelor cere continuitate, nu derivabilitate. Capcană: se compară numai cele două limite laterale, fără valoarea $f(1)$; aici ele coincid cu ea, dar o comparație fără $f(1)$ nu dovedește continuitatea.)

c) (5 p) Ramura se schimbă în $x=1$, deci integrala se desparte în două: $${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^1\left(3x^2-x\right)dx+{\int }_1^2\left(2+\frac{\ln x}{x}\right)dx=\left(x^3-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^1+\left(2x+\frac{{\ln }^{2}x}{2}\right){|}_1^2=\frac{1}{2}+\left(2+\frac{{\ln }^{2}2}{2}\right)=\frac{5+{\ln }^{2}2}{2}\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $\frac{n^2-4+{\ln }^{2}2}{2}$ dă $5=n^2-4$, adică $n^2=9$; numărul $n$ fiind natural, $$\mathbf{n}=3\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\left(\frac{{\ln }^{2}x}{2}\right)}^{\prime }=\frac{\ln x}{x}$. Capcană: primitiva lui $\frac{\ln x}{x}$ se ia ${\ln }^{2}x$, fără $\frac{1}{2}$; atunci integrala ar fi $\frac{5}{2}+{\ln }^{2}2$, o formă care nu se mai potrivește cu cea din enunț.)

Pentru părinți și profesori

Pe scurt. Lucrarea de matematică a Bacalaureatului tehnologic din sesiunea de august 2018, Varianta 9, în forma ei oficială, urmată de rezolvările noastre și de un ghidaj cu întrebări pe pași. Documentul oficial se numește Matematică M_tehnologic, iar între noi este „M3"; arhiva lui poartă în denumire data de 22 august 2018. În cap stau Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare, iar candidații vin din filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse și tehnic). Cerințele sunt copiate întocmai. Tot ce urmează după ele, adică rezolvările, probele și întrebările ghidajului, este scris de noi; din documentul oficial de notare am păstrat numai împărțirea punctelor pe rânduri.

Lucrarea pe subiecte.

Rândurile punctate sunt de $2$ și de $3$ puncte, în afară de cerința 4 din Subiectul I, care are trei rânduri ($1+2+2$ puncte); în total sunt $37$ de rânduri. Cele $10$ puncte din oficiu se adaugă la cele $90$, iar nota se obține împărțind totalul la $10$.

Cerințele și clasele lor la examen. Cerințele 1, 2 și 6 sunt de clasa a IX-a, iar 3, 4 și 5 de clasa a X-a. Cerințele 7 și 9 și continuitatea de la 10.b) țin de clasa a XI-a, iar polinomul de la 8 și integralele de la 10 de clasa a XII-a. Programa școlară nouă (în vigoare din anul școlar 2026–2027, cu începere de la clasa a IX-a) lasă descoperite trei cerințe:

1. Cerința 1 folosește operații cu numere reale; unitățile noi ale clasei a IX-a nu au o temă despre ele, iar materia se află în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
2. Cerința 2 duce la o ecuație pătratică, pe care elevul o rezolvă prin calcul. Programa nouă o tratează doar pe grafic, așa că tehnica e în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".
3. Cerința 3 este o ecuație exponențială, cerută la clasa a X-a; programa nouă rezolvă ecuațiile doar pe grafic: „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".

La cerința 5, examenul trece reperul cartezian și distanța dintre două puncte la clasa a X-a, iar programa școlară nouă le predă la a IX-a, alături de coordonatele mijlocului unui segment. La 8.b) rădăcinile unui polinom cubic se leagă de coeficienții lui; tema ține de clasa a XII-a.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Trei lucruri de știut despre varianta 9.

• Rădăcinile de la 8.b). Enunțul vorbește despre rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$ ale polinomului $f$, fără să le ceară reale. Răspunsul oficial, $m=-2$, are sens numai dacă rădăcinile sunt luate în $\mathbb{C}$: la $m=-2$ polinomul are o singură rădăcină reală, iar celelalte două sunt numere complexe, toate trei intrând în formulele lui Viète. Rezolvarea noastră spune asta la locul ei.
• Funcția de la 10. Cele două ramuri se întâlnesc în $x=1$ cu aceeași valoare, $2$, deci $f$ nu are salt și are primitive; ea nu este însă derivabilă în $1$, iar pagina arată de ce primitivele nu cer derivabilitate.
• Minimul de la 9.c). Valoarea $-1$ este atinsă în $x=2$, nu la capătul intervalului; la capătul $x=0$ funcția are valoarea $3$.

Plan de lucru. Trei ore de lucru efectiv înseamnă $180$ de minute. Împărțirea propusă: Subiectul I, $30$ de minute; Subiectul al II-lea, $60$; Subiectul al III-lea, $60$; recitirea, $30$. Un subpunct de $5$ puncte din ultimele două subiecte are astfel în jur de $10$ minute, iar la fiecare cerință din Subiectul I revin cam $5$. După rezolvare, compară fiecare rând cu rândurile punctate ale rezolvării de mai jos; unde rândul tău a lipsit, notează ce a lipsit: o formulă, un calcul sau o justificare.

Despre litere. Litera $M$ numește trei lucruri: mulțimea $\{10,15,\dots ,50\}$ de la cerința 4, mijlocul segmentului $AB$ de la cerința 5 și matricea $M(a)$ de la cerința 7. Litera $f$ este o funcție la cerințele 2, 9 și 10 și un polinom la cerința 8. Literele $A$ și $B$ sunt puncte la cerința 5, iar $A$ este o matrice la cerința 7. La 7.c) literele $x$ și $y$ sunt două numere reale necunoscute, iar la 8.b) $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile lui $f$. Titlurile „Itemul n" sunt păstrate din documentul oficial, iar la oră se folosește și „cerința n".