Inecuații de gradul I — clasa a VIII-a

O inecuație de gradul I este o relație de forma ax + b > 0, cu semnele <, ≤ sau ≥ în locul lui >. Se rezolvă ca o ecuație, cu o singură regulă în plus: la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, semnul se schimbă. În clasa a VIII-a capitolul are cinci lecții.

Actualizat: 5 septembrie 2026.

Capitolul vine imediat după intervale și le folosește: răspunsul unei inecuații nu este un număr, ci o mulțime de numere, iar mulțimea aceea se scrie ca interval. Este și locul în care se învață că un răspuns corect scris greșit nu ia punctajul: „x ≤ 4" și „S = (−∞, 4]" spun același lucru, dar baremul cere forma cerută în enunț. Pagina strânge lecțiile, regulile, exercițiile rezolvate și testele capitolului, gratuit și fără cont.

Ce se evaluează la Evaluarea Națională din inecuații

Cerințele verifică patru lucruri: dacă rezolvi corect, dacă scrii mulțimea soluțiilor în forma cerută, dacă știi să treci de paranteze și numitori și dacă poți transforma o problemă în text într-o inecuație.

Capitolul nu are temă proprie în numărătoarea pe subiectele de Evaluare Națională. Cerințele înrudite date la examen, an cu an, sunt strânse la ecuații de gradul I la EN și la probleme cu text la EN.

Teorie: cele cinci lecții ale capitolului

Lecțiile sunt în ordinea de predare, iar fiecare rezolvă exact o dificultate.

• Ce este o inecuație de gradul I. Forma ax + b ≥ 0 (≤, <, >) — diferența dintre ecuație și inecuație și de ce răspunsul este o mulțime, nu un număr. De aici se pornește; fără distincția asta, tot capitolul pare o ecuație cu semn ciudat.
• Mulțimea soluțiilor unei inecuații. Reprezentare pe axă și ca interval — cum se scrie răspunsul, în cele două forme cerute la examen, și cum se verifică pe desen. Este legătura directă cu capitolul de intervale.
• Rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente — pașii permiși și regula semnului la înmulțirea cu un număr negativ. Lecția tratează separat cazul care produce greșeala, cu exemple în care semnul chiar se schimbă.
• Inecuații cu paranteze și numitori. Reducerea la forma ax + b — cum se ajunge de la o scriere încurcată la forma simplă: se desfac parantezele, se înmulțește cu numitorul comun, se reduc termenii asemenea.
• Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor — traducerea unui enunț în limbaj matematic: „cel puțin" devine ≥, „cel mult" devine ≤, „mai mare decât" devine >. Aici se câștigă cerințele din Subiectul al III-lea.

Formule și reguli

Capitolul are trei reguli de transformare și o regulă de scriere. Ele sunt tot ce trebuie știut pe de rost:

Regulile de calcul pe care se sprijină pașii vin din clasa a VII-a și se folosesc aici ca atare: transformări echivalente și ecuația de gradul I; ordinea în care se fac operațiile, la ordinea operațiilor. Tema întreagă este la ecuații și sisteme. Termenii sunt definiți scurt în glosar, la inecuație și la ecuație.

Un exemplu în care regula semnului chiar contează: din −2x + 6 > 0 se obține −2x > −6, iar la împărțirea cu −2 semnul se întoarce: x < 3, deci S = (−∞, 3). Dacă semnul rămâne neschimbat, iese x > 3, adică exact mulțimea greșită.

Exerciții rezolvate

Exercițiile rezolvate ale capitolului sunt 12 exerciții-grilă cu variante de răspuns, iar sub „Vezi rezolvarea" stau răspunsul corect, explicația și legătura spre lecția din care face parte: se lucrează întâi singur, apoi se verifică. Acoperă inecuația simplă, cea cu paranteze, cea cu numitori, numărarea soluțiilor întregi și problemele în text.

Exerciții cu verificare

Când vrei să lucrezi tu, intră în testul ghidat de rezolvare a inecuațiilor: rezolvi în pagină, iar când te oprești primești pasul următor, nu răspunsul. La inecuații ajută în mod deosebit, fiindcă ghidajul te prinde exact la pasul în care ai împărțit cu un număr negativ fără să întorci semnul.

Teste cu barem

Capitolul are două teste, fiecare cu 16 cerințe, 100 de puncte din care 10 din oficiu și 50 de minute recomandate, amândouă cu baremul și rezolvările pe aceeași pagină, sub exerciții:

• Test: Rezolvarea inecuațiilor de gradul I — tehnica de rezolvare, inclusiv cazurile cu paranteze și numitori.
• Test: Mulțimea soluțiilor și probleme cu inecuații — scrierea răspunsului și traducerea enunțurilor în text. Se dă al doilea, fiindcă cere forma răspunsului și traducerea enunțurilor, nu doar tehnica de rezolvare.

Înainte de examen, cerințele de inecuații apar și în testul recapitulativ de algebră, funcții și statistică.

Cum îți verifici singur rezultatul

Tot capitolul se verifică cu proba cu două numere: iei un număr din mulțimea găsită și îl pui în inecuația de la care ai plecat — relația trebuie să iasă adevărată; apoi iei unul din afara ei — relația trebuie să iasă falsă. Dacă amândouă ies adevărate, ai scris mulțimea prea larg; dacă amândouă ies false, ai întors semnul unde nu trebuia. Iată cele patru locuri în care se plătește.

1. Semnul nu se întoarce la împărțirea cu un număr negativ. Din −3x ≥ 12 rezultă x ≤ −4. Proba: x = −5 dă −3 · (−5) = 15 ≥ 12, adevărat; x = 0 dă 0 ≥ 12, fals. Ambele probe trec, deci mulțimea e cea bună.
2. Răspuns dat ca număr, nu ca mulțime. Proba nu prinde greșeala asta, fiindcă rezultatul e corect — o prinde doar recitirea enunțului: dacă se cere mulțimea soluțiilor, se scrie S, cu paranteze, nu doar condiția pe x.
3. Capătul greșit la scrierea intervalului. Proba se dă chiar pe capăt: îl pui în inecuația inițială și vezi dacă iese egalitate acceptată. Trece ⇒ paranteză dreaptă, nu trece ⇒ rotundă.
4. Numitorul înmulțit doar într-un membru. Aici proba se dă înainte de final, pe pasul făcut: pui un număr oarecare în cele două scrieri, cea cu fracții și cea fără, și verifici că dau aceeași relație. Dacă nu, un termen a rămas neînmulțit.

Recapitulare și pregătire pentru examen

Recapitularea de final de an este recapitulare: numere reale, intervale și inecuații de gradul I. Pentru repetat rapid înainte de test sunt mini-lecțiile rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente și probleme care se rezolvă cu inecuații.

Ce intră la examen, pe capitole, este în ce intră la Evaluarea Națională, iar cât cântăresc inecuațiile în subiectele publicate se vede în analiza subiectelor de Evaluare Națională. Traseul pe luni este pe pagina Evaluării Naționale, iar antrenamentul, în cele 148 de teste de antrenament.

De aici încolo

Înaintea capitolului stau intervalele de numere reale, fără de care răspunsul nu se poate scrie. După el vin formulele de calcul prescurtat, care fac posibilă simplificarea expresiilor dinaintea rezolvării, și ecuațiile de forma ax² + bx + c = 0, unde apare cealaltă familie de rezolvări a anului. Toate capitolele sunt pe hub-ul clasei a VIII-a, iar fișele tipăribile, la fișele de lucru de clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

În ce ordine se învață cele cinci lecții ale capitolului?

În ordinea din programă, fiindcă fiecare se sprijină pe cea dinainte: întâi ce este o inecuație și de ce răspunsul nu e un număr, apoi cum se scrie mulțimea soluțiilor, apoi tehnica de rezolvare, apoi cazurile cu paranteze și numitori și, la final, problemele în text. Sărită a doua lecție, la a treia ai rezultatul corect, dar nu știi să-l scrii — și baremul cere forma, nu doar valoarea.

Ce trebuie să știu din capitolul dinainte ca să pot începe?

Notațiile de intervale, cu paranteza potrivită la fiecare capăt, și regula rotundă lângă infinit. Sunt tot ce se folosește din capitolul de intervale, care se predă chiar înaintea acestuia. Din clasa a VII-a mai ai nevoie de rezolvarea ecuației de gradul I, fiindcă pașii sunt aceiași; ce se adaugă aici este o singură regulă, cea de semn.

Care este singura regulă care nu există la ecuații?

Schimbarea sensului inegalității. Se aplică în două situații: când înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ și când schimbi membrii între ei. Din −2x > −6 se obține x < 3, nu x > 3. Adunarea, scăderea și înmulțirea cu un număr pozitiv nu schimbă nimic — de aceea tabelul de mai sus merită citit o dată până la capăt.

În ce ordine dau cele două teste de inecuații?

Întâi cel de rezolvare, care verifică tehnica, inclusiv cazurile cu paranteze și cu numitori; apoi cel de mulțimea soluțiilor și probleme, care cere și forma răspunsului, și traducerea unui enunț. Între ele se lasă loc pentru exercițiile rezolvate ale unității. Amândouă au 16 cerințe, 100 de puncte și 50 de minute recomandate.

Ce fac dacă îmi iese mereu semnul invers?

Te oprești la pasul în care apare un coeficient negativ și îl marchezi pe foaie, înainte de a împărți. Apoi faci proba cu două numere, descrisă mai sus, la fiecare exercițiu, chiar și când ești sigur de rezultat. Ghidajul din aplicație lucrează exact pe pasul acesta, deci câteva exerciții acolo fac mai mult decât o recitire a lecției.

Ce se schimbă la o inecuație cu paranteze sau cu numitori față de una simplă?

Nimic din regula de semn: se adaugă doar doi pași de curățenie la început, desfacerea parantezelor și înmulțirea cu numitorul comun. Numitorul comun este un număr pozitiv, deci sensul rămâne neschimbat la pasul acela. De exemplu, pentru (x − 3)/4 ≥ (x + 2)/5 înmulțești cu 20 și obții 5(x − 3) ≥ 4(x + 2), adică 5x − 15 ≥ 4x + 8, deci x ≥ 23.

Ce legătură au inecuațiile cu intervalele?

Mulțimea soluțiilor unei inecuații de gradul I este întotdeauna un interval, iar când o problemă pune două condiții deodată, răspunsul este intersecția a două intervale — motivul pentru care capitolul de intervale se predă primul. Fără notațiile lui, soluția nu are cum să fie scrisă în forma cerută de barem.