Ecuații de forma ax² + bx + c = 0 — clasa a VIII-a

În clasa a VIII-a, ecuațiile de gradul al II-lea se rezolvă prin descompunere în factori și principiul produsului nul: un produs este zero exact atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. Capitolul are cinci lecții și se sprijină pe descompunerile învățate cu două capitole mai devreme, pe care le folosește la fiecare pas.

Actualizat: 5 septembrie 2026.

Formula cu discriminant, Δ = b² − 4ac, nu face parte din programa clasei a VIII-a: ea se învață în clasa a IX-a. La gimnaziu se cere metoda care se sprijină pe formulele de calcul prescurtat, iar avantajul ei este că se poate verifica din cap: desfaci parantezele înapoi și trebuie să obții exact ecuația de la care ai plecat. Pagina strânge lecțiile, metodele, exercițiile rezolvate și testele capitolului, gratuit și fără cont.

Ce se evaluează la Evaluarea Națională din ecuații de gradul al II-lea

Cerințele se împart în ecuații incomplete, care se rezolvă în doi pași, și ecuația completă, care cere o descompunere. La amândouă se punctează și verificarea soluțiilor.

Capitolul nu are temă proprie în numărătoarea pe subiectele de Evaluare Națională. Cerințele de ecuații date la examen, an cu an, sunt strânse la ecuații de gradul I la EN, iar cele care pornesc de la un enunț în cuvinte, la probleme cu text la EN.

Teorie: cele cinci lecții ale capitolului

Lecțiile merg de la caz simplu la caz general, iar ordinea contează: fiecare tip de ecuație se rezolvă cu formula de descompunere învățată la capitolul anterior.

• Ecuația de forma ax² + bx + c = 0. Principiul produsului nul — regula care face totul posibil: un produs este zero doar dacă un factor este zero. De aici vine metoda: aduci ecuația la forma „produs = 0", apoi anulezi factorii pe rând.
• Ecuații de forma ax² + bx = 0. Rezolvare prin factor comun — cazul fără termen liber, unde x se scoate ca factor comun. O soluție este întotdeauna 0, iar cealaltă vine din paranteză.
• Ecuații de forma ax² + c = 0 și ax² − b² = 0 — cazul fără termen în x, care se rezolvă fie ducând x² singur într-un membru, fie cu formula diferenței de pătrate. Aici se discută și când ecuația nu are soluții reale.
• Ecuația completă ax² + bx + c = 0. Rezolvare prin descompunere în factori — cazul general, cu metoda sumei și a produsului. Este lecția care cere ca formulele de calcul prescurtat să fie deja sigure.
• Probleme care se rezolvă cu ecuații de forma ax² + bx + c = 0 — traducerea enunțurilor în ecuație și, la fel de important, alegerea soluției care are sens: o lungime negativă se aruncă, chiar dacă ecuația o dă.

Metoda de descompunere se învață separat, la descompunerea în factori prin scoaterea factorului comun, la descompunerea cu formula diferenței de pătrate și la descompuneri combinate și aplicații.

Formule

Capitolul folosește o singură regulă proprie și patru formule de descompunere învățate anterior:

• Principiul produsului nul: a · b = 0 dacă și numai dacă a = 0 sau b = 0. Nu este scris ca formulă în banca de formule, fiindcă este o proprietate a înmulțirii, nu o identitate.
• Ecuația x² = a — se învață în clasa a VII-a, dar aici e pasul la care ajunge orice ecuație fără termen în x, după ce ai mutat x² singur într-un membru.
• Descompunere: factorul comun — pentru ecuațiile fără termen liber.
• Descompunere: diferența de pătrate — pentru ecuațiile de forma ax² − b² = 0.
• Descompunere: suma și produsul — pentru ecuația completă cu coeficientul lui x² egal cu 1.
• Descompunere: restrângerea pătratului — pentru trinoamele care sunt chiar pătrate, unde ecuația are o singură soluție.
• Ecuația de gradul I — pasul final: după descompunere, fiecare factor anulat este o ecuație de gradul I.

Toate stau împreună la formule de calcul prescurtat și la ecuații și sisteme; termenul este definit scurt și în glosar, la ecuație.

Un exemplu complet, ca să se vadă lanțul: x² + 13x + 40 = 0. Caut două numere cu suma 13 și produsul 40; sunt 5 și 8. Ecuația devine (x + 5)(x + 8) = 0, deci x + 5 = 0 sau x + 8 = 0, adică x = −5 sau x = −8. Verificare: (−5)² + 13 · (−5) + 40 = 25 − 65 + 40 = 0.

Exerciții rezolvate

Exercițiile rezolvate ale capitolului sunt pasul dintre lecție și test: 12 cerințe cu variante de răspuns, luate din cele cinci lecții, pe care le poți încerca înainte de a intra la barem. Acoperă cele trei tipuri de ecuații incomplete, ecuația completă și problemele în text, iar sub „Vezi rezolvarea" stă și legătura spre lecția din care vine fiecare. Materialul de sprijin este la exercițiile rezolvate de la descompuneri în factori: dacă descompunerea nu iese, ecuația nu are cum să iasă.

Exerciții cu verificare

Când vrei să lucrezi tu, intră în testul ghidat de ecuații incomplete: rezolvi în pagină și primești pasul următor exact acolo unde te blochezi. Este util mai ales la pasul de descompunere, unde greșeala nu se vede în răspuns, ci abia la verificare.

Teste cu barem

Capitolul are două teste, de câte 50 de minute, amândouă cu baremul și rezolvările pe aceeași pagină, sub exerciții:

• Test: Ecuații incomplete de gradul al II-lea — cele trei cazuri incomplete: ax² + bx = 0, ax² + c = 0 și ax² − b² = 0. Se dă primul.
• Test: Ecuația ax² + bx + c = 0 și probleme — ecuația completă și problemele în text.

Pentru antrenamentul pe descompuneri, care este pasul dinainte, se dă testul de descompuneri în factori.

Cum îți verifici singur rezultatul

Toate patru se prind cu aceeași mișcare: după ce ai găsit soluțiile, le pui înapoi în ecuația de la care ai plecat și, la probleme, în enunț. Dacă o soluție nu trece proba, ai pierdut-o pe drum sau ai reținut una care nu are ce căuta acolo.

1. Soluția x = 0 pierdută. La 3x² − 12x = 0 se scoate factor comun: 3x(x − 4) = 0, deci x = 0 sau x = 4. Împărțirea prin x, ca să rămână 3x − 12 = 0, șterge tocmai soluția x = 0.
2. Soluția negativă uitată la x² = a. Din x² = 9 rezultă x = 3 sau x = −3, fiindcă și (−3)² dă 9.
3. Ecuație declarată fără soluții prea repede sau prea târziu. x² + 4 = 0 nu are soluții reale, fiindcă un pătrat nu poate fi negativ; în schimb x² − 4 = 0 are două, x = 2 și x = −2.
4. Soluția fără sens păstrată la probleme. Dacă necunoscuta este o lungime sau un număr de obiecte, soluția negativă se elimină, cu o propoziție scrisă, nu tăcut.

Recapitulare și pregătire pentru examen

Recapitularea de final de an este recapitulare: ecuații (inclusiv ax² + bx + c = 0) și fracții algebrice. Pentru repetat rapid înainte de test sunt mini-lecțiile ecuația ax² + bx + c = 0 și principiul produsului nul și probleme cu ecuații de gradul doi.

Ce intră la examen, pe capitole, este în ce intră la Evaluarea Națională, iar cât cântăresc ecuațiile în subiectele publicate se vede în analiza subiectelor de Evaluare Națională. Traseul pe luni este pe pagina Evaluării Naționale, iar antrenamentul, în cele 148 de teste de antrenament.

De aici încolo

Înaintea capitolului stau formulele de calcul prescurtat, care dau metoda de descompunere. După el urmează funcțiile, unde ecuația se citește pe grafic, și funcția liniară, unde soluțiile devin puncte de intersecție cu axa. Toate capitolele anului sunt pe hub-ul clasei a VIII-a, iar fișele tipăribile, la fișele de lucru de clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă ecuațiile de gradul 2 în clasa a 8-a?

Prin descompunere în factori și principiul produsului nul. Aduci ecuația la forma „produs = 0", apoi anulezi pe rând fiecare factor și rezolvi ecuațiile de gradul I care rămân. De exemplu, x² − 14x + 45 = 0 devine (x − 5)(x − 9) = 0, deci x = 5 sau x = 9. Verificarea se face înlocuind soluțiile în ecuația inițială.

Se folosește discriminantul la clasa a VIII-a?

Nu. Formula Δ = b² − 4ac și expresia soluțiilor cu radical fac parte din programa clasei a IX-a. În gimnaziu se cere metoda descompunerii în factori, iar un răspuns obținut cu discriminantul nu urmează pașii pe care îi punctează baremul. Metoda de gimnaziu are și avantajul că se verifică imediat, desfăcând parantezele înapoi.

Pe ce se sprijină metoda de rezolvare din clasa a VIII-a?

Pe principiul produsului nul, singura regulă proprie a capitolului: restul, de la factorul comun la suma și produsul, sunt formule de descompunere aduse de la capitolul dinainte. De aceea toate cele cinci lecții au același final — aduci ecuația la forma produs egal cu zero, apoi anulezi fiecare factor pe rând și rezolvi ecuațiile de gradul I care rămân.

În ce ordine iau lecțiile capitolului?

În ordinea din programă, fiindcă fiecare tip de ecuație se sprijină pe cel dinainte: întâi principiul produsului nul, apoi cele două cazuri incomplete, apoi ecuația completă și abia la final problemele în text. Sărită peste, ecuația completă pare o metodă nouă, deși este aceeași descompunere aplicată de două ori.

Când o ecuație de gradul al II-lea nu are soluții reale?

Când, după transformări, ajungi la x² egal cu un număr negativ. De exemplu, x² + 4 = 0 duce la x² = −4, ceea ce nu se poate, fiindcă pătratul oricărui număr real este pozitiv sau nul. În schimb, x² − 4 = 0 duce la x² = 4 și are două soluții, 2 și −2.

Care este ordinea în care încerc metodele de descompunere?

Întâi factorul comun, fiindcă simplifică tot ce urmează; apoi te uiți dacă expresia este o diferență de pătrate sau un pătrat perfect; abia la urmă cauți suma și produsul, care cere încercări. Ordinea aceasta scurtează lucrul și este chiar ordinea din care vin cele cinci lecții ale capitolului.

Ce fac la problemele care duc la o ecuație de gradul al II-lea?

Notezi cu x mărimea căutată, scrii relația din enunț, rezolvi ecuația, apoi verifici care soluție are sens în context. Dacă x este o lungime, un număr de obiecte sau o vârstă, soluția negativă se elimină și se scrie de ce. Verificarea în enunț, nu doar în ecuație, este pasul care aduce ultimul punct la barem.