Test tehnologic: funcții, inecuații și sisteme

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Supliment Bac M3 2027–2029: funcții — definiție, proprietăți, compunere

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Funcțiile $f,g,h:D\to \mathbb{R}$, cu $D=\{-1,0,1\}$, sunt date prin $f(x)=x^2$, $g(x)=|x|$ și $h(x)=x^3$. Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?

Variantele: a) „$f=h$”; b) „$f=g$”; c) „$g=h$”; d) „cele trei funcții sunt egale două câte două”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră mulțimile $A=\{-6,-2,3,5,8\}$ și $B=\{-4,0,7\}$. Câte puncte din $A\times B$ nu stau pe niciuna dintre axele de coordonate?

Exercițiul 3 (5 puncte)

Funcția $u:[-5;5]\to \mathbb{R}$ este impară, iar $u(1)=3$, $u(3)=-2$ și $u(5)=4$. Calculați $u(-1)+u(-3)+u(0)+u(-5)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=14x-17$ și $g(x)=31-2x$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este periodică de perioadă 5, iar $f(x)=5x^2-19$ pentru $x\in [0;5)$. Calculați $f(47)-f(-7)$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=10x-13$ și $g(x)=x^2-3x$. Calculați $(g\circ f)(2)-(f\circ g)(2)$.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un uscător de cherestea pornește la 22 °C, iar temperatura lui crește cu 2,5 °C pe oră: la $t$ ore după pornire, $T(t)=22+2,5t$, în °C. Faza principală a programului de uscare cere o temperatură cuprinsă între 55 °C și 70 °C, capetele incluse.

a) (5 puncte) Rezolvați dubla inecuație $55\le 22+2,5t\le 70$ și scrieți soluția ca interval, cu limitele ca fracții ireductibile.

b) (5 puncte) Câte momente $t$, exprimate în ore întregi după pornire, se află în intervalul găsit?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un laborator pregătește 80 L de soluție cu concentrația de 20 % din volum, amestecând soluție de 12 % cu soluție de 32 %. Notăm cu $x$ numărul de litri de soluție de 12 % și cu $y$ numărul de litri de soluție de 32 %. Soluția de 12 % costă 3,5 lei/L, iar cea de 32 % costă 8,2 lei/L.

a) (5 puncte) Scrieți sistemul de două ecuații cu necunoscutele $x$ și $y$ (volumul total, apoi cantitatea de substanță activă) și aflați $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Calculați costul fiecărei soluții folosite și costul total al amestecului.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un atelier mecanic prelucrează o piesă de tablă a cărei adâncime față de planul gurii, în cm, este $d(x)=0,02x^2$, unde $x\in [-10;10]$ este distanța în cm față de axa piesei, cu minus în stânga axei.

a) (5 puncte) Arătați că $d$ este pară și determinați cea mai mică și cea mai mare valoare a lui $d$.

b) (5 puncte) Rezolvați inegalitatea $d(x)\ge 1,28$ și determinați lungimea totală, în centimetri, a zonelor în care ea are loc.

Partea a III-a – Format de examen și sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct de mai jos valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Fiecare subpunct urmează cerința 4 din Subiectul I, așa cum apare în probele oficiale. Probabilitatea se calculează ca fracție: la numărător sunt cazurile favorabile, iar la numitor cazurile posibile.

a) (5 puncte) Fie mulțimea $A=\{2,3,4,\dots ,17\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr $n$ din $A$, acesta să verifice inegalitatea $7n-19\le 40$.

b) (5 puncte) Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural $n$ de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $41-4n<13$.

c) (5 puncte) Fie mulțimea $A=\{1,3,5,\dots ,21\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr $n$ din $A$, acesta să verifice inegalitatea $6n+5\ge 77$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Un atelier taie plăci pătrate din tablă de inox groasă de 0,5 cm, cu latura de $x$ cm, unde $20\le x\le 120$. Volumul plăcii, în cm³, este $f(x)=0,5x^2$; masa ei, în kg, este $g(V)=0,008V$ (densitatea inoxului este 8 g/cm³), iar costul ei, în lei, este $h(m)=22,5m$ (tabla costă 22,5 lei/kg).

a) (5 puncte) Scrieți costul $C=h\circ g\circ f$ al unei plăci în funcție de latura $x$.

b) (5 puncte) Calculați costul unei plăci cu latura de 50 cm și costul unei comenzi de 12 plăci cu latura de 80 cm.

c) (5 puncte) Determinați cea mai mare latură pentru care o placă nu costă mai mult de 900 lei și spuneți dacă ea se află în domeniul de definiție.

Barem și răspunsuri

Rezolvările de mai jos sunt scrise pe pași, cu punctele fiecărui pas în paranteză; orice altă rezolvare corectă ia aceleași puncte. Un rezultat corect, dar fără calcul și fără justificare la Partea a III-a, nu primește punctele subpunctului. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1.

Două funcții sunt egale dacă au același domeniu și aceleași valori în fiecare punct al domeniului (1 p). Valorile: $f(-1)=1$, $f(0)=0$, $f(1)=1$; $g(-1)=1$, $g(0)=0$, $g(1)=1$; $h(-1)=-1$, $h(0)=0$, $h(1)=1$ (2 p). Funcțiile $f$ și $g$ coincid în toate cele trei puncte, deci $f=g$, iar $h(-1)=-1\ne 1$, deci $h$ diferă de $f$ și de $g$ (1 p). Singura afirmație adevărată este $\mathbf{b})$ (1 p). Verificare: aceleași reguli pe $\mathbb{R}$ ar da funcții diferite, de exemplu $f(2)=4\ne 2=g(2)$; egalitatea $f=g$ ține numai pe domeniul $D$. Cine compară funcțiile doar în $0$ și în $1$ crede că și $h$ este egală cu $f$.

Exercițiul 2.

Produsul $A\times B$ are $5\cdot 3=15$ perechi (1 p). O pereche stă pe axa $Ox$ dacă ordonata ei este $0$; $0\in B$, deci cele cinci perechi cu ordonata $0$ stau pe $Ox$ (2 p). Pe axa $Oy$ ar sta perechile cu abscisa $0$, dar $0\notin A$, deci niciuna (1 p). În cadrane rămân $15-5=10$ perechi (1 p). Verificare: în cadranul al II-lea sunt $2\cdot 1=2$ perechi, în al IV-lea $3\cdot 1=3$, în primul $3\cdot 1=3$ și în al treilea $2\cdot 1=2$; $2+3+3+2=10$. Cine scade și o pereche de pe $Oy$ sau originea face o greșeală, fiindcă $0\notin A$.

Exercițiul 3.

Funcția e impară: $u(-x)=-u(x)$ pentru orice $x$ din domeniu (1 p). Rezultă $u(-1)=-3$, $u(-3)=2$ și $u(-5)=-4$ (2 p). Domeniul $[-5;5]$ conține originea, iar $u(0)=-u(0)$ dă $u(0)=0$ (1 p). Suma este $-3+2+0+(-4)=-5$ (1 p). Verificare: $u(-1)+u(-3)+u(-5)=-(3-2+4)=-5$. Cine uită că $u(0)=0$ și caută această valoare în enunț nu poate încheia suma.

Exercițiul 4.

Punctul de intersecție verifică $f(x)=g(x)$, adică $14x-17=31-2x$ (2 p). Rezultă $16x=48$, deci $x=3$, iar $y=f(3)=14\cdot 3-17=25$; punctul de intersecție este $M(3,25)$ (3 p). Verificare: $g(3)=31-2\cdot 3=25$. Dacă s-ar cere doar abscisa, răspunsul ar fi $x=3$; aici se cer coordonatele, deci se scrie și ordonata.

Exercițiul 5.

Perioada este 5, deci $f(x+5k)=f(x)$ pentru orice număr întreg $k$ (1 p). Cum $47=9\cdot 5+2$, avem $f(47)=f(2)=5\cdot 2^2-19=1$ (2 p). Cum $-7=-2\cdot 5+3$, avem $f(-7)=f(3)=5\cdot 3^2-19=26$ (1 p). Diferența este $1-26=-25$ (1 p). Verificare: $47-45=2$ și $-7+10=3$, ambele în $[0;5)$. Cine reduce pe $-7$ la $-2$, cu restul „$-7=-1\cdot 5-2$”, nu ajunge în intervalul $[0;5)$ al formulei.

Exercițiul 6.

$f(2)=10\cdot 2-13=7$, iar $(g\circ f)(2)=g(7)=7^2-3\cdot 7=28$ (2 p). $g(2)=2^2-3\cdot 2=-2$, iar $(f\circ g)(2)=f(-2)=10\cdot (-2)-13=-33$ (2 p). Diferența este $28-(-33)=61$ (1 p). Verificare: $(g\circ f)(x)=(10x-13{)}^2-3(10x-13)$ dă pentru $x=2$ aceeași valoare, $49-21=28$; compunerile $g\circ f$ și $f\circ g$ nu sunt egale.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Scazi 22 din fiecare parte: $33\le 2,5t\le 48$ (2 p). Împarți la $2,5>0$, deci sensul inegalităților rămâne: $\frac{33}{2,5}\le t\le \frac{48}{2,5}$ (1 p), adică $t\in \left[\frac{66}{5},\frac{96}{5}\right]$, aproximativ $[13,2;19,2]$ (2 p).

b) (5 p) Orele întregi din $[13,2;19,2]$ sunt $14,15,16,17,18,19$ (3 p), în număr de $19-14+1=6$ (2 p). Verificare: $T(13)=22+32,5=54,5<55$, deci $t=13$ nu convine; $T(14)=22+35=57$ și $T(19)=22+47,5=69,5$ sunt în limite, iar $T(20)=22+50=72>70$.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Volumul total: $x+y=80$ (1 p). Substanța activă: $0,12x+0,32y=0,20\cdot 80=16$ (1 p). Din prima, $x=80-y$; înlocuind, $0,12\cdot 80-0,12y+0,32y=16$, adică $9,6+0,2y=16$ (1 p), deci $y=32$ L (1 p) și $x=80-32=48$ L (1 p).

b) (5 p) Soluția de 12 %: $48\cdot 3,5=168$ lei (1 p). Soluția de 32 %: $32\cdot 8,2=262,4$ lei (2 p). Costul total este $168+262,4=430,4$ lei (2 p). Verificare: $0,12\cdot 48+0,32\cdot 32=5,76+10,24=16$ L de substanță activă, adică $\frac{16}{80}=0,2=20\%$. Cine scrie a doua ecuație doar cu procentele, fără volume, nu poate rezolva sistemul.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Domeniul $[-10;10]$ este simetric față de $0$ și $d(-x)=0,02\cdot (-x{)}^2=0,02x^2=d(x)$, deci $d$ este pară (2 p). Pentru $x\in [-10;10]$, $x^2\in [0;100]$, deci $0\le d(x)\le 2$ (2 p). Valoarea cea mai mică este $0$ cm, la $x=0$, iar cea mai mare este $2$ cm, la $x=\pm 10$, fiindcă $0,02\cdot 100=2$ (1 p).

b) (5 p) $0,02x^2\ge 1,28$ este echivalentă cu $x^2\ge 64$ (2 p), adică $|x|\ge 8$, deci $x\in [-10;-8]\cup [8;10]$ (2 p). Lungimea totală este $(10-8)+(10-8)=4$ cm (1 p). Verificare: $d(8)=0,02\cdot 64=1,28$, iar $d(-8)=d(8)$, deoarece $d$ este pară. Cine ia numai $x\ge 8$ numără doar 2 cm.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Mulțimea $A$ are $17-2+1=16$ elemente, deci 16 cazuri posibile (2 p). Din $7n-19\le 40$ rezultă $7n\le 59$, adică $n\le 8,42\dots$; cazurile favorabile sunt $2,3,\dots ,8$, în număr de $8-2+1=7$, iar probabilitatea este $\frac{7}{16}$ (3 p). Verificare: $7\cdot 8-19=37\le 40$, iar $7\cdot 9-19=44>40$.

b) (5 p) Numerele naturale de o cifră sunt $0,1,\dots ,9$, deci 10 cazuri posibile (2 p). Din $41-4n<13$ rezultă $-4n<-28$; la împărțirea cu numărul negativ $-4$ sensul se schimbă și $n>7$. Cazurile favorabile sunt $8$ și $9$, iar probabilitatea este $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$ (3 p). Verificare: $41-4\cdot 8=9<13$, iar $41-4\cdot 7=13$ nu este mai mic decât 13; inegalitatea este strictă.

c) (5 p) Mulțimea $A$ conține numerele impare de la 1 la 21, adică $\frac{21-1}{2}+1=11$ elemente, deci 11 cazuri posibile (2 p). Din $6n+5\ge 77$ rezultă $6n\ge 72$, adică $n\ge 12$. Numerele impare din $A$ de cel puțin 12 sunt $13,15,17,19,21$, în număr de 5, iar probabilitatea este $\frac{5}{11}$ (3 p). Verificare: $6\cdot 13+5=83\ge 77$, iar $6\cdot 11+5=71<77$; numărul 12 nu e în $A$, fiindcă e par.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Compui pe rând: $f(x)=0,5x^2$, apoi $g(f(x))=0,008\cdot 0,5x^2=0,004x^2$ (2 p), apoi $h(g(f(x)))=22,5\cdot 0,004x^2$, adică $C(x)=0,09x^2$ lei (3 p).

b) (5 p) Pentru $x=50$: $C(50)=0,09\cdot 50^2=225$ lei (2 p). Pentru $x=80$: $C(80)=0,09\cdot 80^2=576$ lei, iar 12 plăci costă $12\cdot 576=6912$ lei (3 p).

c) (5 p) Se cere $0,09x^2\le 900$, adică $x^2\le 10000$ (2 p); cum $x>0$, rezultă $x\le 100$, deci latura maximă este $100$ cm (2 p). Valoarea 100 se află în $[20;120]$, deci convine (1 p). Verificare: $C(100)=0,09\cdot 100^2=900$ lei. Cine aplică funcțiile în altă ordine, de exemplu masa înaintea volumului, nu poate compune lanțul: $g$ cere volumul, iar $h$ cere masa.

Pentru părinți și profesori

Testul acoperă suplimentul de funcții, inecuații și sisteme de la clasa a IX-a, filiera tehnologică, adică șapte lecții: „Funcția la tehnologic: tabele de tarife”, „Produs cartezian și cadrane: liceu tehnologic”, „Funcții mărginite și funcții pare, tehnologic”, „Funcții periodice la tehnologic: cicluri”, „Funcții compuse: conversii în lanț, tehnologic”, „Inecuații pe condiții de lucru, la tehnologic” și „Sisteme 2×2 la tehnologic: două oferte”. Numerele reale, mulțimile și șirurile se verifică în testul „Test tehnologic: numere reale, mulțimi, șiruri”, iar ecuația de gradul al doilea, în testul „Test tehnologic: ecuația și funcția de gradul II”.

• Punctaj: lucrarea valorează 100 de puncte: 90 de puncte vin de la cele unsprezece exerciții, iar 10 puncte din oficiu se adaugă la sfârșit.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: testul se scrie singur, pe o foaie, fără calculator; calculele ies exacte, iar rezultatele cu mărimi poartă unitatea de măsură. La exercițiile din Partea a III-a se citește rezolvarea întreagă: un număr corect, scris fără pași și fără motiv, nu ia toate punctele subpunctului. Ghidajul împarte fiecare exercițiu în pași mici: întrebări cu patru variante și numere de calculat, iar un răspuns greșit spune ce s-a încurcat. Îl pornești doar când un exercițiu nu iese.
• La 90–100 de puncte: suplimentul este învățat; treci la testul următor.
• La 75–89 de puncte: exercițiile pierdute se refac cu ghidajul pornit.
• La 60–74 de puncte: pentru exercițiile cu sub jumătate din puncte reiei lecțiile din tabel, apoi repeți testul după șapte zile.
• Sub 60 de puncte: treci din nou prin cele șapte lecții, una câte una, și lucrezi testul cu ghidajul pornit de la primul exercițiu.
• Formule de reținut: două funcții sunt egale, $f=g$, dacă au același domeniu, același codomeniu și $f(x)=g(x)$ pentru orice $x$ din domeniu; $n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)$, un punct are abscisa pe primul loc, stă pe axa $Ox$ dacă $y=0$, pe axa $Oy$ dacă $x=0$ și într-un cadran numai dacă ambele coordonate sunt nenule; pe un domeniu simetric față de $0$, funcția $f$ este pară dacă $f(-x)=f(x)$ și impară dacă $f(-x)=-f(x)$, iar $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x$ o face mărginită; dacă $f(x+T)=f(x)$, atunci pentru $x=nT+r$, cu $0\le r<T$, are loc $f(x)=f(r)$; $(g\circ f)(x)=g(f(x))$, pentru $x$ cu $f(x)$ în domeniul lui $g$, iar ordinea contează; $ax+b\le c⟺x\le \frac{c-b}{a}$ pentru $a>0$, iar pentru $a<0$ sensul se schimbă; pentru dreptele $y=a_{1}x+b_1$ și $y=a_{2}x+b_2$ cu $a_1\ne a_2$, abscisa intersecției se află din egalitatea $a_{1}x+b_1=a_{2}x+b_2$, iar ordonata se obține înlocuind-o într-una dintre formule.

Exercițiile 4 și 10 sunt marcate „tip Bacalaureat M3”. Exercițiul 4 reia cerința 2 din Subiectul I al probelor oficiale 2013–2026 (coordonatele punctului de intersecție a două grafice), iar exercițiul 10 are, în trei variante reale, forma cerinței 4 din Subiectul I (probabilitatea ca un număr ales să verifice o inegalitate). Valorile, mulțimile și inegalitățile sunt noi.

Programa și examenul. Acest test se încadrează în suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: definiția funcției, produsul cartezian, proprietățile funcțiilor, compunerea, inecuațiile și sistemele de gradul I fac parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu le conține ori le conține doar parțial. Dintre cele 83 de probe oficiale din 2013–2026, inecuațiile de gradul I au apărut în 6, la Subiectul I și Subiectul al II-lea, iar sistemele de gradul I, cu poziția relativă a două drepte, în 5 probe, la Subiectul I și la Subiectul al II-lea; celelalte teme nu au apărut încă, dar, fiind în programă, pot apărea oricând. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6), inecuațiile de gradul I reapar în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat), iar sistemele de ecuații liniare în unitatea XI.2 (calcul matriceal, sisteme de ecuații și inecuații liniare), la toate cele patru profiluri; definiția funcției reapare parțial în unitatea XII.1 (derivate) la profilul MAT_P3, iar compunerea funcțiilor, parțial, în unitatea XI.3 (funcții, limite și derivate) la profilul MAT_P4; produsul cartezian, paritatea, mărginirea și periodicitatea nu sunt în programa de examen.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.