Test inițial — clasa a XII-a (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Recapitulare (30 de puncte)

Fiecare exercițiu de aici are 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 4\end{array}\right)$. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care $A\cdot A=a\cdot A+b\cdot I_2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determină numerele reale $m$ pentru care $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& m\\ 1& 4& m^2\end{array}\right|=6$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(4,3)$ și $C(m,5)$, cu $m$ număr real. Determină numerele reale $m$ pentru care aria triunghiului $ABC$ este egală cu 4.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determină numărul real $a$ pentru care $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\ln x}{x^2+x-2}=2$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+a$ pentru $x\in (0,1]$ și $f(x)=\ln x+3x$ pentru $x\in (1,+\infty )$, unde $a$ este un număr real. Determină $a$ pentru care funcția $f$ este continuă în $x=1$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4\ln x$. Determină ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=2$.

Partea a II-a – Situații din științele naturii (30 de puncte)

În Partea a II-a, fiecare subpunct are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un laborator de biologie prepară 10 litri de soluție nutritivă pentru o cultură hidroponică, amestecând trei soluții, A, B și C. Un litru din soluția A conține 2 g de azotați și 1 g de fosfați, un litru din B conține 3 g de azotați și 2 g de fosfați, iar un litru din C conține 5 g de azotați și 1 g de fosfați. Amestecul trebuie să conțină în total 33 g de azotați și 14 g de fosfați. Notăm cu $x$, $y$ și $z$ volumele luate din soluțiile A, B și C, în litri (model din exercițiu).

a) (5 puncte) Scrie sistemul de ecuații în $x$, $y$, $z$, forma lui matriceală $M\cdot X=T$, cu $T$ coloana termenilor liberi, și calculează determinantul $\Delta =\det M$.

b) (5 puncte) Află $x$ și $y$ cu metoda lui Cramer, apoi $z$ din ecuația volumului, și scrie câți litri se iau din fiecare soluție.

Exercițiul 8 (10 puncte)

În modelul lui Monod, o cultură de drojdie consumă glucoza cu viteza $v(S)=\frac{aS}{S+5}$ miligrame pe oră, unde $S\ge 0$ este concentrația glucozei din mediul de cultură, în miligrame pe litru, iar $a$ este o constantă a culturii (model din exercițiu). Graficul funcției $v$ are asimptota orizontală $y=30$ spre $+\infty$.

a) (5 puncte) Determină $a$ și calculează $v(5)$.

b) (5 puncte) Pentru $a$ găsit, arată că funcția $v$ este strict crescătoare și că $v(S)<30$ pentru orice $S\ge 0$, apoi determină concentrațiile $S$ pentru care viteza depășește 90% din valoarea 30.

Exercițiul 9 (10 puncte)

După o ploaie, apa care se scurge de pe un câmp tratat aduce un erbicid într-un iaz. Concentrația erbicidului în apa iazului este $C(t)=at{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{4}}$ micrograme pe litru, unde $t\ge 0$ este timpul de la ploaie, în zile, iar $a$ este o constantă pozitivă (model din exercițiu). Imediat după ploaie, concentrația crește cu ritmul $C^{\prime }(0)=8$ micrograme pe litru pe zi.

a) (5 puncte) Arată că $C^{\prime }(t)=\frac{a}{4}(4-t){\mathrm{e}}^{-\frac{t}{4}}$ și determină $a$.

b) (5 puncte) Pentru $a$ găsit, studiază monotonia funcției $C$, află concentrația maximă și arată că există un moment $t\in (8,12)$ în care concentrația este exact 6 micrograme pe litru. Poți folosi $2,7<\mathrm{e}<3$.

Partea a III-a – Sinteză (30 de puncte)

În Partea a III-a, fiecare subpunct are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Sinteză.) Pentru fiecare număr real $a$ se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 3& 2\\ 3& a& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arată că $\det A(a)=a^2-8a+15$ și determină numerele reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ nu este inversabilă.

b) (5 puncte) Determină inversa matricei $A(4)$.

c) (5 puncte) Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}4x+3y+2z=16\\ 3x+4y+2z=17\\ 2x+2y+z=9\end{array}$, scris sub forma ecuației matriceale $A(4)\cdot X=B$, cu $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}16\\ 17\\ 9\end{array}\right)$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+15}{x-1}$.

a) (5 puncte) Determină asimptotele graficului funcției $f$.

b) (5 puncte) Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{(x-5)(x+3)}{(x-1{)}^2}$, stabilește intervalele de monotonie ale funcției $f$ și află valorile ei în punctele de extrem local.

c) (5 puncte) Studiază convexitatea funcției $f$ și arată că $f(x)\ge 10$ pentru orice $x\in (1,+\infty )$.

Barem și răspunsuri

Rezolvările de mai jos sunt pe pași, iar punctele fiecărui pas stau între paranteze; orice alt drum corect primește aceleași puncte. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar propoziția „Verificare” rămâne fără puncte. La sinteză, un rezultat fără calcule și explicații nu ia punctele subpunctului. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exercițiul 1.

Linie cu coloană, $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}9+2& 6+8\\ 3+4& 2+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}11& 14\\ 7& 18\end{array}\right)$ (2 p). Pe de altă parte, $a\cdot A+b\cdot I_2=\left(\begin{array}{cc}3a+b& 2a\\ a& 4a+b\end{array}\right)$ (1 p). Din elementul de pe linia a doua și coloana întâi, $a=7$, iar din primul element, $3\cdot 7+b=11$, deci $b=-10$ (2 p). Verificare: celelalte două elemente se potrivesc și ele, $2\cdot 7=14$ și $4\cdot 7-10=18$. Cine ridică la pătrat fiecare element obține $\left(\begin{array}{cc}9& 4\\ 1& 16\end{array}\right)$, iar egalitatea ar cere atunci $a=1$ și $2a=4$ în același timp, deci nu are soluții.

Exercițiul 2.

Cu regula lui Sarrus, produsele cu plus sunt $1\cdot 2\cdot m^2$, $1\cdot m\cdot 1$ și $1\cdot 1\cdot 4$, iar cele cu minus sunt $1\cdot 2\cdot 1$, $1\cdot m\cdot 4$ și $1\cdot 1\cdot m^2$, deci determinantul este $2m^2+m+4-2-4m-m^2=m^2-3m+2$ (3 p). Ecuația $m^2-3m+2=6$ devine $m^2-3m-4=0$, cu $\Delta =25$, deci $m=-1$ sau $m=4$ (2 p). Verificare: determinantul este $(m-1)(m-2)$, iar $(-2)(-3)=6$ și $3\cdot 2=6$. Cine adună și ultimele trei produse obține $3m^2+5m+6=6$, cu alte soluții, $m=0$ și $m=-\frac{5}{3}$.

Exercițiul 3.

$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 4& 3& 1\\ m& 5& 1\end{array}\right|=3+m+20-3m-5-4=14-2m$ (2 p). Aria este $\frac{|\Delta |}{2}=|7-m|$ (1 p). Din $|7-m|=4$ rezultă $7-m=4$ sau $7-m=-4$, deci $m=3$ sau $m=11$ (2 p). Verificare: pentru $m=3$, $\Delta =8$, iar pentru $m=11$, $\Delta =-8$; în ambele cazuri aria este $\frac{8}{2}=4$. Pentru $m=7$ punctele sunt coliniare. Cine uită modulul găsește doar $m=3$ și pierde al doilea triunghi.

Exercițiul 4.

Pentru $x\to 1$, $\ln x\to 0$ și $x^2+x-2\to 0$: limita este de tipul $\frac{0}{0}$ (1 p). Cu regula lui l'Hospital, derivând separat numărătorul și numitorul, $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\ln x}{x^2+x-2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{a}{x}}{2x+1}=\frac{a}{3}$ (2 p). Din $\frac{a}{3}=2$ rezultă $a=6$ (2 p). Verificare: pentru $x=1,001$, $\frac{6\ln 1,001}{1,001^2+1,001-2}\approx 1,998$, aproape de 2. Cine scrie derivata numitorului $2x$, fără 1, obține $a=4$, cu limita $\frac{4}{3}$.

Exercițiul 5.

Limita la stânga în 1 este egală cu $f(1)=1-2+a=a-1$ (2 p), iar limita la dreapta este $\ln 1+3=3$ (1 p). Continuitatea în 1 cere $a-1=3$, deci $a=4$ (2 p). Verificare: pentru $a=4$, ambele limite laterale sunt 3, iar $f(1)=3$. Cine scrie $\ln 1=1$ ajunge la limita la dreapta 4 și la $a=5$.

Exercițiul 6.

$f(2)=4-4\ln 2$ (1 p). Derivata este $f^{\prime }(x)=2x-\frac{4}{x}$ (2 p), deci $f^{\prime }(2)=4-2=2$ (1 p). Tangenta are ecuația $y-(4-4\ln 2)=2(x-2)$, adică $\mathbf{y}=2x-4\ln 2$ (1 p). Verificare: în $x=2$, dreapta dă $4-4\ln 2=f(2)$, iar panta ei este $f^{\prime }(2)=2$. Cine derivează $\ln x$ ca 1, deci $4\ln x$ ca 4, găsește $f^{\prime }(2)=4-4=0$ și o tangentă orizontală greșită, $y=4-4\ln 2$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Volumul dă $x+y+z=10$, azotații dau $2x+3y+5z=33$, iar fosfații $x+2y+z=14$ (2 p). Forma matriceală este $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 5\\ 1& 2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 33\\ 14\end{array}\right)$ (1 p). Cu regula lui Sarrus, $\Delta =3+5+4-3-10-2=-3$ (2 p).

b) (5 p) Cum $\Delta =-3\ne 0$, sistemul are soluție unică (1 p). Înlocuind prima, apoi a doua coloană cu coloana termenilor liberi, ${\Delta }_x=\left|\begin{array}{ccc}10& 1& 1\\ 33& 3& 5\\ 14& 2& 1\end{array}\right|=-9$ și ${\Delta }_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 10& 1\\ 2& 33& 5\\ 1& 14& 1\end{array}\right|=-12$ (2 p). Deci $x=\frac{-9}{-3}=3$ și $y=\frac{-12}{-3}=4$ (1 p). Din ecuația volumului, $z=10-3-4=3$: se iau $3$ litri din A, $4$ litri din B și $3$ litri din C (1 p).

Verificare: $3+4+3=10$ litri, $2\cdot 3+3\cdot 4+5\cdot 3=33$ g de azotați și $3+2\cdot 4+3=14$ g de fosfați; și ${\Delta }_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 10\\ 2& 3& 33\\ 1& 2& 14\end{array}\right|=-9$ dă tot $z=3$. Cine pune pe linii coeficienții aceleiași soluții (pe prima linie $1,2,1$) scrie matricea transpusă; determinantul rămâne $-3$, dar ${\Delta }_x$ și ${\Delta }_y$ ies greșit.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Numărătorul și numitorul au gradul 1, deci $\underset{S\to +\infty }{\lim }\frac{aS}{S+5}=a$, raportul coeficienților dominanți (2 p). Asimptota orizontală $y=30$ dă $a=30$ (1 p). Atunci $v(5)=\frac{150}{10}=15$ miligrame pe oră, jumătate din valoarea asimptotei (2 p).

b) (5 p) $v^{\prime }(S)=\frac{30(S+5)-30S}{(S+5{)}^2}=\frac{150}{(S+5{)}^2}>0$, deci $v$ este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$ (2 p). Scriem $v(S)=30-\frac{150}{S+5}$; fracția scăzută este pozitivă, deci $v(S)<30$ (1 p). Inegalitatea $v(S)>27$ devine $\frac{150}{S+5}<3$, adică $S+5>50$, deci $\mathbf{S}>45$ miligrame pe litru (2 p).

Verificare: $v(45)=\frac{1350}{50}=27$, exact 90% din 30, nu mai mult, iar $v(55)=\frac{1650}{60}=27,5$. Cine confundă asimptota orizontală cu cea verticală caută punctul în care se anulează numitorul, $S=-5$, care nici nu este în domeniu, și nu află constanta $a$.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Cu regula produsului și ${\left({\mathrm{e}}^{-\frac{t}{4}}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{4}}$, $C^{\prime }(t)=a{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{4}}-\frac{at}{4}{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{4}}=\frac{a}{4}(4-t){\mathrm{e}}^{-\frac{t}{4}}$ (3 p). Atunci $C^{\prime }(0)=\frac{a}{4}\cdot 4=a$, deci $a=8$ (2 p).

b) (5 p) Cu $a=8$, $C^{\prime }(t)=2(4-t){\mathrm{e}}^{-\frac{t}{4}}$, iar exponențiala este pozitivă: $C^{\prime }>0$ pe $[0,4)$, deci $C$ crește, și $C^{\prime }<0$ pe $(4,+\infty )$, deci $C$ scade (2 p). Concentrația maximă este $C(4)=32{\mathrm{e}}^{-1}=\frac{32}{\mathrm{e}}$ micrograme pe litru, la 4 zile după ploaie (1 p). $C(8)=\frac{64}{{\mathrm{e}}^2}>\frac{64}{9}>6$, fiindcă ${\mathrm{e}}^2<9$, iar $C(12)=\frac{96}{{\mathrm{e}}^3}<\frac{96}{16}=6$, fiindcă ${\mathrm{e}}^3>2,7^3=19,683>16$ (1 p). Funcția $C$ este continuă pe $[8,12]$, iar 6 se află între $C(12)$ și $C(8)$; din proprietatea lui Darboux, există $t\in (8,12)$ cu $\mathbf{C}(\mathbf{t})=6$ (1 p).

Verificare: $\frac{32}{\mathrm{e}}\approx 11,77$, $C(8)\approx 8,66$ și $C(12)\approx 4,78$; fiindcă $C$ scade pe $[8,12]$, momentul este unic, $t\approx 10,59$ zile. Cine derivează ${\mathrm{e}}^{-\frac{t}{4}}$ ca ${\mathrm{e}}^{-\frac{t}{4}}$, fără factorul $-\frac{1}{4}$, obține $C^{\prime }(t)=a(1+t){\mathrm{e}}^{-\frac{t}{4}}>0$ și o concentrație care n-ar mai scădea niciodată.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Cu regula lui Sarrus, $\det A(a)=a\cdot a\cdot 1+3\cdot 2\cdot 2+2\cdot 3\cdot 2-2\cdot a\cdot 2-a\cdot 2\cdot 2-3\cdot 3\cdot 1=a^2+24-8a-9=a^2-8a+15$ (3 p). Matricea nu este inversabilă exact când determinantul ei este nul: $(a-3)(a-5)=0$, adică $a\in \{3,5\}$ (2 p).

b) (5 p) $\det A(4)=16-32+15=-1\ne 0$, deci $A(4)$ este inversabilă (1 p). Complemenții algebrici ai matricei $A(4)=\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 2\\ 3& 4& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$ sunt, pe linii, $0,1,-2$; $1,0,-2$; $-2,-2,7$, iar matricea adjunctă (transpusa matricei lor, aici aceeași, fiindcă $A(4)$ este simetrică) este $A(4{)}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -2\\ 1& 0& -2\\ -2& -2& 7\end{array}\right)$ (3 p). Atunci $A(4{)}^{-1}=\frac{1}{\det A(4)}\cdot A(4{)}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ -1& 0& 2\\ 2& 2& -7\end{array}\right)$ (1 p).

c) (5 p) Matricea sistemului este chiar $A(4)$, inversabilă, deci ecuația $A(4)\cdot X=B$ are soluție unică, $X=A(4{)}^{-1}\cdot B$, cu $A(4{)}^{-1}$ la stânga (2 p). Linie cu coloană, $X=\left(\begin{array}{c}0\cdot 16-1\cdot 17+2\cdot 9\\ -1\cdot 16+0\cdot 17+2\cdot 9\\ 2\cdot 16+2\cdot 17-7\cdot 9\end{array}\right)$ (2 p), deci $x=1$, $y=2$, $z=3$ (1 p).

Verificare: a) pentru $a=4$, regula lui Sarrus dă direct $16+12+12-16-16-9=-1=4^2-8\cdot 4+15$. b) Prima linie a lui $A(4)\cdot A(4{)}^{-1}$ este $(0-3+4,-4+0+4,8+6-14)=(1,0,0)$. c) $4+6+6=16$, $3+8+6=17$, $2+4+3=9$. Drum alternativ, cu metoda lui Gauss (programa școlară): scăzând din prima ecuație dublul celei de-a treia rezultă $-y=-2$, adică $y=2$, iar din a doua, $-x=-1$, adică $x=1$; apoi $z=9-2-4=3$. Cine uită împărțirea la $\det A(4)=-1$ ia drept inversă chiar adjuncta și obține $X=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$, soluția cu semnele schimbate; cine scrie $X=B\cdot A(4{)}^{-1}$ ajunge la un produs care nu există: $B$ are o singură coloană, iar $A(4{)}^{-1}$ are trei linii.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Pentru $x\to 1$, numărătorul tinde la 16, iar numitorul la 0, negativ la stânga și pozitiv la dreapta: $\underset{x\nearrow 1}{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\searrow 1}{\lim }f(x)=+\infty$, deci dreapta $\mathbf{x}=1$ este asimptotă verticală (2 p). Spre $\pm \infty$, $m=\lim \frac{f(x)}{x}=\lim \frac{x^2+15}{x^2-x}=1$ (1 p) și $n=\lim (f(x)-x)=\lim \frac{x+15}{x-1}=1$ (1 p), deci dreapta $\mathbf{y}=\mathbf{x}+1$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ și spre $+\infty$; asimptote orizontale nu există, fiindcă $f$ tinde la $\pm \infty$ (1 p).

b) (5 p) Cu regula câtului, $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+15)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-15}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-5)(x+3)}{(x-1{)}^2}$ (2 p). Numitorul este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este al lui $(x-5)(x+3)$: $f$ este crescătoare pe $(-\infty ,-3]$, descrescătoare pe $[-3,1)$ și pe $(1,5]$, crescătoare pe $[5,+\infty )$ (2 p). În $x=-3$ este un maxim local, $f(-3)=\frac{24}{-4}=-6$, iar în $x=5$ un minim local, $f(5)=\frac{40}{4}=10$ (1 p).

c) (5 p) Derivând din nou, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{(2x-2)(x-1{)}^2-(x^2-2x-15)\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}=\frac{2(x-1{)}^2-2(x^2-2x-15)}{(x-1{)}^3}=\frac{32}{(x-1{)}^3}$ (2 p). $f^{\prime \prime }<0$ pe $(-\infty ,1)$, deci $f$ este concavă acolo, iar $f^{\prime \prime }>0$ pe $(1,+\infty )$, deci $f$ este convexă acolo (1 p). Pe $(1,+\infty )$, din b), $f$ scade până în 5 și crește după 5, deci cea mai mică valoare a ei pe acest interval este $f(5)=10$; prin urmare $\mathbf{f}(\mathbf{x})\ge 10$ pentru orice $x>1$ (2 p).

Verificare: $f(x)=x+1+\frac{16}{x-1}$, de unde se văd direct asimptota oblică și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{32}{(x-1{)}^3}$; $f(3)=12$ și $f(9)=12$, ambele peste 10. Cine caută asimptotă orizontală cu raportul coeficienților dominanți găsește grade diferite, 2 și 1, și trebuie să treacă la asimptota oblică; pe $(-\infty ,1)$ inegalitatea nu mai are loc, de exemplu $f(0)=-15$.

Pentru părinți și profesori

Testul măsoară ce a rămas din clasa a XI-a și îți trebuie în a XII-a: operațiile cu matrice, determinanții de ordinul 2 și 3 cu aplicațiile lor geometrice, matricele inversabile, sistemele liniare cu cel mult trei necunoscute, limitele de funcții și asimptotele, continuitatea și proprietatea lui Darboux, derivatele, regula lui l'Hospital și studiul funcțiilor cu prima și a doua derivată. Pe ele se sprijină primitivele, integralele și, la examen, prima problemă de la Subiectul al II-lea și prima problemă de la Subiectul al III-lea. Nota nu intră în catalog. Tabelul următor leagă fiecare exercițiu de lecția clasei a XI-a de pe traseul M2 care îl explică, deci vezi imediat ce reiei înainte de lecțiile noi; testele de unitate ale clasei a XI-a au alte exerciții, iar cele de aici sunt obiecte noi.

• Punctaj: exercițiile aduc cel mult 90 de puncte; cele 10 puncte din oficiu completează la 100.
• Timp de lucru: 60 de minute, cu 10 mai mult decât la testul inițial al profilului tehnologic. Materia clasei a XI-a de la științe ale naturii cere mult calcul scris: șase determinanți de ordinul 3, inversa unei matrice de ordinul 3 cu adjuncta, un sistem rezolvat cu metoda lui Cramer și un studiu de funcție cu derivata a doua. Volumul s-a redus cât s-a putut fără să iasă materie din test: la exercițiul 7, a treia necunoscută se află din ecuația volumului, fără încă un determinant. Restul nu încape în 50 de minute. Într-o singură oră de curs se pot da Părțile I și II (60 de puncte), iar Partea a III-a, în ora următoare.
• Cum se lucrează: pe foaie, fără calculator, cu unitățile de măsură scrise în răspuns; la sinteză se scriu și calculele intermediare. Valorile cu $\mathrm{e}$ și $\ln$ se lasă în formă simbolică. Ghidajul oferă la fiecare exercițiu o grilă cu patru răspunsuri și apoi numere de calculat, cu explicație la fiecare răspuns greșit. Îl pornești numai unde exercițiul nu iese.
• 90–100 de puncte: poți începe lecțiile clasei a XII-a.
• 75–89 de puncte: exersezi cu ghidajul exercițiile cu puncte pierdute, înainte de lecția clasei a XII-a care se bazează pe ele.
• 60–74 de puncte: reciți lecțiile din tabel pentru exercițiile încheiate sub jumătate dintre puncte și le reiei peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi lecțiile din tabel în ordinea exercițiilor, cu ghidajul pornit chiar de la exercițiul 1, și abia apoi treci la clasa a XII-a.
• Formule de reținut: produsul $A\cdot B$ se face „linie cu coloană”, iar în general $A\cdot B\ne B\cdot A$; regula lui Sarrus dă determinantul de ordinul 3 prin trei produse cu plus și trei cu minus; aria triunghiului $ABC$ este $\frac{|\Delta |}{2}$, unde $\Delta$ este determinantul cu liniile $(x_A,y_A,1)$, $(x_B,y_B,1)$, $(x_C,y_C,1)$, iar punctele sunt coliniare exact când $\Delta =0$; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul, iar atunci $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot A^{\ast }$, unde adjuncta $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici; din $A\cdot X=B$, cu $A$ inversabilă, rezultă $X=A^{-1}\cdot B$; la un sistem cu $\Delta \ne 0$, metoda lui Cramer dă $x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$, $y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta }$, $z=\frac{{\Delta }_z}{\Delta }$; regula lui l'Hospital, la $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$: $\lim \frac{f}{g}=\lim \frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$, când a doua limită există; ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=L$ dă asimptota orizontală $y=L$, iar dreapta $y=mx+n$, cu $m=\lim \frac{f(x)}{x}$ și $n=\lim (f(x)-mx)$, finite și $m\ne 0$, este asimptota oblică; $f$ este continuă în $x_0$ când limitele laterale și $f(x_0)$ coincid; proprietatea lui Darboux: o funcție continuă pe $[a,b]$ ia orice valoare dintre $f(a)$ și $f(b)$; $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, ${\left({\mathrm{e}}^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{\mathrm{e}}^u$, $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în $x_0$ are ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; semnul lui $f^{\prime }$ dă monotonia și extremele, iar semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă convexitatea ($f^{\prime \prime }>0$) și concavitatea ($f^{\prime \prime }<0$).

Programa și examenul. Testul verifică materia clasei a XI-a de la științe ale naturii, după programa școlară în vigoare (Programa 2, OMEC 3252/2006), și temele aceleiași clase din programa de examen pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat, OMEN 4430/2014, Anexa 2), după care se dau sesiunile 2027–2029. Toate exercițiile stau în ambele programe: determinanți de ordin cel mult 3, matrice inversabile de ordinul 2 și 3, sisteme cu cel mult trei necunoscute, regula lui l'Hospital la $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$, asimptote verticale, orizontale și oblice; rangul unei matrice și determinanții de ordinul 4 nu sunt în ele și nu apar nici aici. Metoda lui Gauss este în programa școlară, nu și în programa de examen; la exercițiul 10 c) ea apare doar ca drum alternativ. La proba M_șt-nat, materia clasei a XI-a stă în prima problemă a Subiectului al II-lea (matrice, determinanți, sisteme) și în prima problemă a Subiectului al III-lea (limite, derivate, studiul funcțiilor). Testul este o evaluare de început de an, nu un subiect de examen. Elevii care vor da Bacalaureatul în 2030 învață după programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată progresiv din clasa a IX-a în 2026–2027, cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OMEC 4138/2026).