Test tehnologic: statistică

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Statistică matematică

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

O florărie a notat, în 12 zile, numărul de buchete comandate pe zi: 4, 6, 5, 4, 7, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 6. Alcătuiește tabelul de frecvențe. Câte zile au avut cel puțin 6 buchete comandate și ce fracție din cele 12 zile reprezintă ele?

Exercițiul 2 (5 puncte)

Într-o histogramă a timpilor de livrare, clasele au lățimea de 15 minute: $[0;15)$, $[15;30)$, $[30;45)$ și $[45;60)$. O livrare care a durat exact 45 de minute se numără în clasa:

Variantele: a) „$[15;30)$”; b) „$[30;45)$”; c) „$[45;60)$”; d) „în nicio clasă”.

Exercițiul 3 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Calculați media aritmetică a numerelor $a=5(8-\sqrt{6})$ și $b=5\sqrt{6}+2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un atelier de tâmplărie a produs, în medie, 64 de scaune pe zi, într-o săptămână de 6 zile lucrătoare. În primele cinci zile s-au produs 61, 70, 58, 66 și 69 de scaune. Câte scaune s-au produs în a șasea zi? Care este mediana celor șase zile?

Exercițiul 5 (5 puncte)

O linie de ambalare a încărcat, în 5 ore consecutive, 81, 83, 84, 85 și 87 de lăzi cu sticle. Calculează media și abaterea standard a numărului de lăzi și spune câte dintre cele 5 ore au avut un număr de lăzi în intervalul medie $\pm$ abatere standard.

Exercițiul 6 (5 puncte)

O fabrică de becuri numerotează becurile de la 1 la 1 440, în ordinea fabricării, și testează fiecare al 16-lea bec, începând cu becul cu numărul 5. Este testat becul cu numărul 1 205? Dacă da, al câtelea bec testat este?

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

O patiserie a notat, pe 25 de zile, câte torturi personalizate a vândut pe zi. În tabelul de frecvențe, frecvența pentru 3 torturi pe zi s-a șters.

a) (5 puncte) Află frecvența ștearsă și scrie frecvențele relative ale celor cinci valori, ca procente.

b) (5 puncte) Patiseria vrea să pregătească în fiecare dimineață $t$ torturi, astfel încât în cel puțin 75 % dintre zile să-i ajungă. Care este cel mai mic $t$?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un depozit de materiale de construcții primește plăci de gips-carton de la doi producători, P și Q. Din lotul lui P s-au măsurat 10 plăci, iar grosimile lor, în mm, sunt: $10,1$; $9,4$; $10,7$; $9,6$; $9,9$; $9,3$; $10,4$; $9,5$; $10,2$; $9,7$. Pentru lotul lui Q se cunosc doar cele cinci valori ale boxplotului: minim $8,9$; $Q_1=9,2$; mediana $9,8$; $Q_3=10,5$; maxim $11,2$.

a) (5 puncte) Calculează cele cinci valori ale boxplotului pentru lotul lui P.

b) (5 puncte) Care producător livrează plăci mai uniforme, după lungimea cutiei? Câte plăci ale lotului P au grosimea în cutie, adică între $Q_1$ și $Q_3$, inclusiv?

Exercițiul 9 (10 puncte)

Doi strungari, X și Y, fabrică bolțuri cu lungimea nominală de 60 mm. Șase bolțuri ale lui X au măsurat, în mm: 53, 57, 60, 62, 63 și 65. Pentru șase bolțuri ale lui Y, media este tot 60 mm, iar suma pătratelor abaterilor față de medie este 54 mm².

a) (5 puncte) Calculează abaterea standard a lungimilor bolțurilor lui X.

b) (5 puncte) Calculează abaterea standard a lungimilor bolțurilor lui Y, spune care strungar lucrează mai constant și scrie intervalul medie $\pm$ abatere standard pentru Y.

Partea a III-a – Media aritmetică și sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Cele trei cerințe nu depind una de alta.

a) (5 puncte) Calculați media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{48}+4$ și $b=10-4\sqrt{3}$.

b) (5 puncte) Calculați media aritmetică a numerelor $a=(3+\sqrt{2})(4-\sqrt{2})$ și $b=(3-\sqrt{2})(4+\sqrt{2})$.

c) (5 puncte) Calculați media aritmetică a numerelor $a=\frac{14}{\sqrt{7}}$ și $b=10-\sqrt{28}$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) La inspecția tehnică periodică, un centru a notat câte defecte minore a avut fiecare dintre 20 de autoturisme: 2, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 0, 2, 1, 4, 2, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 3, 2.

a) (5 puncte) Alcătuiește tabelul de frecvențe absolute și calculează ce procent din autoturisme au avut cel mult un defect.

b) (5 puncte) Pentru o diagramă circulară se grupează autoturismele în patru categorii: 0 defecte, 1 defect, 2 defecte și 3 sau mai multe defecte. Calculează unghiul fiecărui sector.

c) (5 puncte) Determină modul, mediana și media numărului de defecte.

Barem și răspunsuri

Baremul arată rezolvarea pas cu pas, punctele fiecărui pas fiind trecute între paranteze; la o altă rezolvare corectă punctajul rămâne același. La Partea a III-a, calculele și explicația sunt obligatorii pentru punctajul întreg al subpunctului. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1.

Numărând fiecare valoare, 4 apare de 4 ori, 5 de 4 ori, 6 de 3 ori și 7 o dată, iar $4+4+3+1=12$ (2 p). Cel puțin 6 buchete au avut $3+1=4$ zile (2 p), adică $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ din zile (1 p). Verificare: pe alt drum, cumulata lui 5 este $4+4=8$, iar $12-8=4$. Cine citește „cel puțin 6” din cumulata lui 6, care este 11, obține $\frac{11}{12}$, adică și zilele cu 4 sau 5 buchete.

Exercițiul 2.

Fiecare clasă include limita de jos și exclude limita de sus (2 p). Valoarea 45 este limita de jos a clasei $[45;60)$ (2 p), deci răspunsul este $\mathbf{c})$ (1 p). Verificare: varianta b) ar fi corectă numai dacă limita de sus ar intra în clasă, iar varianta d) este falsă, fiindcă 45 este între 0 și 60, deci intră într-o clasă. Cine pune limita de sus în clasa de dedesubt mută în clasa precedentă livrările de exact 15, 30 și 45 de minute.

Exercițiul 3.

Suma numerelor este $a+b=40-5\sqrt{6}+5\sqrt{6}+2=42$ (3 p). Media aritmetică este $\frac{a+b}{2}=\frac{42}{2}=21$ (2 p). Verificare: cu $\sqrt{6}\approx 2,449$ rezultă $a\approx 27,753$ și $b\approx 14,247$, iar media este $\frac{27,753+14,247}{2}=21,000$. Cine împarte la 2 numai ultimul termen, $a+\frac{b}{2}$, rămâne cu radical în răspuns.

Exercițiul 4.

Cele 6 zile au împreună $6\cdot 64=384$ de scaune (1 p). Primele cinci zile au $61+70+58+66+69=324$ de scaune, deci în a șasea zi s-au produs $384-324=60$ de scaune (2 p). Ordonate, cele șase valori sunt 58, 60, 61, 66, 69, 70, iar cu 6 valori mediana este media valorilor a treia și a patra: $\frac{61+66}{2}=63,5$ scaune (2 p). Verificare: media celor șase valori este $\frac{384}{6}=64$, cât s-a dat în enunț. Cine ia a treia valoare drept mediană, 61, uită că atunci când numărul datelor e par, mediana se obține făcând media valorilor din centru.

Exercițiul 5.

Media este $\frac{81+83+84+85+87}{5}=\frac{420}{5}=84$ lăzi (1 p). Abaterile față de medie sunt $-3$, $-1$, $0$, $1$ și $3$, iar pătratele lor dau $9+1+0+1+9=20$, deci $\sigma =\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2$ lăzi (2 p). Intervalul medie $\pm$ abatere standard este de la $84-2=82$ la $84+2=86$ (1 p). În el stau valorile 83, 84 și 85, adică $3$ ore, iar 81 și 87 rămân în afară (1 p). Verificare: suma abaterilor este $-3-1+0+1+3=0$. Cine împarte la 4 în loc de 5 obține $\sqrt{5}\approx 2,2$, deci un interval prea larg.

Exercițiul 6.

Becurile testate au numerele $5+16j$, cu $j=0,1,2,\dots$ (1 p). Pentru becul 1 205: $1205-5=1200$, iar $1200:16=75$, număr întreg, deci becul este testat (2 p). Valoarea $j=75$ înseamnă al 76-lea test, fiindcă $j$ începe de la 0: este al $76$-lea bec testat (2 p). Verificare: $5+75\cdot 16=1205$. Cine răspunde „al 75-lea” uită că primul bec testat, cel cu numărul 5, corespunde lui $j=0$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Zilele cunoscute sunt $11+5+3+2=21$, deci frecvența ștearsă este $25-21=4$ zile (2 p). Frecvențele relative sunt $\frac{11}{25}=44\%$, $\frac{5}{25}=20\%$, $\frac{4}{25}=16\%$, $\frac{3}{25}=12\%$ și $\frac{2}{25}=8\%$ (3 p). Verificare: $44+20+16+12+8=100$.

b) (5 p) Frecvențele cumulate sunt 11, 16, 20, 23 și 25 (2 p). Pentru 75 % trebuie cel puțin $0,75\cdot 25=18,75$ zile, deci cel puțin 19 zile (1 p). Cumulata 16, de la 2 torturi, este prea mică, iar cumulata 20 depășește 19, deci cel mai mic $t$ este $3$ (2 p). Verificare: la $t=2$ ajunge în $\frac{16}{25}=64\%$ dintre zile, sub 75 %; la $t=3$, în $\frac{20}{25}=80\%$.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Ordonate crescător, grosimile sunt $9,3$; $9,4$; $9,5$; $9,6$; $9,7$; $9,9$; $10,1$; $10,2$; $10,4$; $10,7$ (1 p). Minimul este $9,3$ și maximul $10,7$ (1 p). Cu 10 valori, mediana este media valorilor a cincea și a șasea: $\frac{9,7+9,9}{2}=9,8$ (1 p). $Q_1$ este mediana primelor cinci valori, $9,5$, iar $Q_3$ este mediana ultimelor cinci, $10,2$ (2 p).

b) (5 p) Lungimea cutiei este $Q_3-Q_1=10,2-9,5=0,7$ mm la P și $10,5-9,2=1,3$ mm la Q (2 p). Cutia mai scurtă arată plăci mai uniforme, deci producătorul $\mathbf{P}$ (1 p). În cutia lui P, adică de la $9,5$ la $10,2$ inclusiv, stau plăcile de $9,5$; $9,6$; $9,7$; $9,9$; $10,1$ și $10,2$ mm, adică $6$ plăci (2 p). Verificare: jumătate din 10 plăci ar fi 5, dar $Q_1$ și $Q_3$ sunt chiar valori măsurate, iar limitele cutiei sunt incluse. Cine compară numai medianele, $9,8$ la ambii, găsește loturile egale și nu vede diferența de împrăștiere.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Media este $\frac{53+57+60+62+63+65}{6}=\frac{360}{6}=60$ mm (1 p). Abaterile sunt $-7$, $-3$, $0$, $2$, $3$ și $5$ (1 p), iar suma pătratelor lor este $49+9+0+4+9+25=96$ (2 p). Rezultă $\sigma =\sqrt{\frac{96}{6}}=\sqrt{16}=4$ mm (1 p).

b) (5 p) Abaterea standard a lui Y este $\sqrt{\frac{54}{6}}=\sqrt{9}=3$ mm (2 p). Cum $3<4$, strungarul $\mathbf{Y}$ lucrează mai constant (1 p). Intervalul este de la $60-3=57$ la $60+3=63$ mm (2 p). Verificare: suma abaterilor lui X este $-7-3+0+2+3+5=0$. Cine împarte la 5 în loc de 6 obține $\sqrt{19,2}\approx 4,4$ mm, cu 0,4 mm mai mult.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Se scoate factorul de sub radical: $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, deci $a+b=4\sqrt{3}+4+10-4\sqrt{3}=14$ (3 p). Media aritmetică este $\frac{14}{2}=7$ (2 p).

b) (5 p) Se desfac parantezele: $a=12-3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-2=10+\sqrt{2}$ și $b=12+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}-2=10-\sqrt{2}$, deci $a+b=20$ (3 p). Media aritmetică este $\frac{20}{2}=10$ (2 p).

c) (5 p) Se raționalizează și se simplifică: $a=\frac{14}{\sqrt{7}}=2\sqrt{7}$ și $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$, deci $a+b=2\sqrt{7}+10-2\sqrt{7}=10$ (3 p). Media aritmetică este $\frac{10}{2}=5$ (2 p). Verificare: $\sqrt{7}\approx 2,646$ dă $a\approx 5,292$ și $b\approx 4,708$, iar $\frac{5,292+4,708}{2}=5,000$.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Numărând fiecare valoare, 0 apare de 3 ori, 1 de 5 ori, 2 de 8 ori, 3 de 3 ori și 4 o dată, iar $3+5+8+3+1=20$ (3 p). Cel mult un defect au $3+5=8$ autoturisme, adică $\frac{8}{20}=40\%$ (2 p).

b) (5 p) Categoriile au $3$, $5$, $8$ și $3+1=4$ autoturisme (2 p). Unghiurile sunt $360^{\circ }\cdot \frac{3}{20}={54}^{\circ }$, $360^{\circ }\cdot \frac{5}{20}={90}^{\circ }$, $360^{\circ }\cdot \frac{8}{20}={144}^{\circ }$ și $360^{\circ }\cdot \frac{4}{20}={72}^{\circ }$ (3 p). Verificare: $54+90+144+72=360$.

c) (5 p) Valoarea cu frecvența cea mai mare este 2, cu 8 apariții, deci modul este $2$ (1 p). Cu 20 de date, mediana este media valorilor a zecea și a unsprezecea; cumulatele 3, 8, 16 arată că amândouă sunt 2, deci mediana este $2$ (2 p). Suma defectelor este $0\cdot 3+1\cdot 5+2\cdot 8+3\cdot 3+4\cdot 1=34$, iar media este $\frac{34}{20}=1,7$ (2 p). Verificare: media stă între minim și maxim, iar $34=20\cdot 1,7$.

Pentru părinți și profesori

Testul acoperă statistica din clasa a X-a, filiera tehnologică, prin cele patru lecții ale unității: „Tabele de frecvențe la tehnologic: un lot”, „Ce diagramă alegi: bare, boxplot, cerc, tehnologic”, „Medie, mediană, mod pentru tehnologic” și „Sondaj și abatere standard: liceu tehnologic”. Probabilitățile rămân în sarcina testului de probabilități, iar numărarea configurațiilor, în sarcina testului de metode de numărare.

• Punctaj: totalul de 100 de puncte se compune din 90 de puncte pentru cele unsprezece exerciții și 10 puncte din oficiu.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: testul se lucrează singur, pe foaie, fără calculator; datele sunt alese ca mediile și abaterile standard să iasă numere întregi sau radicali simpli. Cuartilele se află cu regula din lecție: dacă datele sunt în număr impar, mediana rămâne în afara ambelor jumătăți, iar $Q_1$ și $Q_3$ sunt medianele celor două jumătăți. La Partea a III-a se cer și calculele, și explicația; un rezultat corect, singur, nu ia punctele subpunctului. La fiecare exercițiu, ghidajul oferă o întrebare cu patru variante și apoi un număr de calculat; varianta greșită îți arată ce ai încurcat. Îl folosești numai dacă exercițiul nu iese.
• Cu 90–100 de puncte: ai stăpânit unitatea, deci treci la testul următor.
• Cu 75–89 de puncte: refaci cu ghidajul doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
• Cu 60–74 de puncte: reiei lecțiile din tabel pentru exercițiile în care ai luat sub jumătate din puncte, apoi repeți testul după o săptămână.
• Cu sub 60 de puncte: reiei lecțiile unității, în ordinea în care apar, și faci testul din nou, cu ghidajul pornit de la început.
• Formule de reținut: $f_r=\frac{f}{N}$ și $N(\le x)=f_1+f_2+\cdots +f_k$; „cel puțin $x$” se numără cu $N-N(<x)$; unghiul unui sector este $360^{\circ }\cdot \frac{f}{N}$; $\text{minim}\le Q_1\le \text{mediana}\le Q_3\le \text{maxim}$; $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$, iar media a două numere $a$ și $b$ este $\frac{a+b}{2}$; $\text{amplitudine}=x_{\max }-x_{\min }$; $\sigma =\sqrt{\frac{\text{suma pa˘tratelor abaterilor fața˘ de medie}}{n}}$; $N=k\cdot n$ pentru un sondaj cu pasul $k$.

Marcajul „tip Bacalaureat M3” îl au exercițiile 3 și 10, făcute după cerința 1 din Subiectul I a probei model din 2015 (media aritmetică a două numere scrise cu radicali), dar cu alte numere și alte rezultate.

Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026); pentru ei, testul se încadrează în unitatea «X.3. Statistică matematică». Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, tabelele de frecvențe, alegerea diagramei și alegerea între medie, mediană și mod fac parte din programa de examen doar în parte: programa vorbește despre culegerea și prelucrarea datelor și despre „grafice și diagrame”, numește media aritmetică, dar nu și frecvențele, tipurile de diagrame, mediana, modul, cuartilele sau amplitudinea, iar sondajele și abaterea standard nu figurează în programa de examen din 2014 și nu pot fi cerute la acel examen. Între cele 83 de probe oficiale din 2013–2026, media aritmetică a două numere apare într-o singură probă, iar celelalte teme ale testului nu apar în nicio probă; cele care sunt în programa de examen pot fi cerute.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.