Medie, mediană, mod pentru tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Același șir de cântăriri poate da trei răspunsuri, iar fiecare e corect pentru altă întrebare: media pentru totalul unei recolte, mediana pentru un pom obișnuit, modul pentru soiul preferat de clienți. Alegerea o faci după întrebare, nu după obișnuință. Pe datele unei livezi o exersezi în clasa a X-a, la liceul tehnologic. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), media aritmetică a venit într-o singură probă, iar restul temei rămâne în afara programei de examen.

Situația de pornire

O fermă familială are, pe lângă culturile de pe câmp, o livadă mică de cireși, cu 15 pomi pe rod, și vinde cireșele în caserole de 0,5 kg. După recolta din vară, pomicultorul a cântărit cireșele culese de la fiecare pom. Vrea să hotărască trei lucruri: câte caserole pregătește anul viitor, când vor fi 20 de pomi la fel de productivi; ce cantitate scrie în broșură drept recolta obișnuită a unui pom, pentru clienții care „adoptă” un pom; pentru ce soi comandă cele mai multe etichete, după vânzările sezonului trecut (valori din exemplu).

Pom	Cireșe (kg)	Pom	Cireșe (kg)	Pom	Cireșe (kg)
A	14,6	F	21,1	K	15,9
B	18,2	G	16,8	L	18,9
C	22,4	H	41,5	M	19,4
D	17,3	I	17,9	N	12,4
E	19,7	J	20,5	O	18,0

Soi	Caserole vândute în sezonul trecut (buc.)
Burlat	212
Van	148
Kordia	97
Regina	63

Întrebare: ce măsură alegi pentru fiecare dintre cele trei hotărâri, media, mediana sau modul, și cât iese?

De la situație la model

Trei hotărâri, trei feluri de răspuns, fiindcă fiecare pune altă întrebare datelor. Tabelul așază fiecare hotărâre a pomicultorului lângă măsura care o rezolvă.

În situație	În matematică
cei 15 pomi cântăriți	cele $n = 15$ date
„cât dă un pom, în medie”	media aritmetică $\overset{x}{ˉ}$
„un pom obișnuit, nici printre cei mai buni, nici printre cei mai slabi”	mediana
„soiul care se vinde cel mai des”	modul
„cât de departe sunt cel mai bun și cel mai slab pom”	amplitudinea

Media aritmetică a unor date este suma lor împărțită la numărul lor. Mediana este valoarea din mijloc a datelor puse în ordine crescătoare, iar la un număr par de date este media celor două valori din mijloc. Modul este valoarea cu cea mai mare frecvență. Amplitudinea este diferența dintre cea mai mare și cea mai mică dată.

Ce păstrează media și ce păstrează mediana?

Media păstrează totalul: $n$ date cu media $\overset{x}{ˉ}$ dau împreună $n \cdot \overset{x}{ˉ}$ , ca datele reale. De aceea cu media poți prevedea o recoltă pentru mai multe unități de același fel: cu 20 de pomi la fel de productivi, totalul prevăzut este de 20 de ori media, nu de 20 de ori mediana. Mediana păstrează poziția: jumătate dintre date stau de o parte a ei, jumătate de cealaltă, deci ea arată un caz obișnuit. Pomul de 41,5 kg ridică media celorlalți paisprezece pomi, 18,1 kg, la 19,6 kg, dar mediana se mută doar de la 18,1 kg la 18,2 kg: pentru ea contează că pomul stă la capătul listei, nu cât de departe stă.

Când nu mai ai media și mediana?

La categorii, ca soiurile Burlat sau Van, nu există nici sumă, nici ordine firească. Modul rămâne singura măsură, iar soiurile se numără, nu se adună.

Cum compari două seturi?

Pui lângă ele centrul și împrăștierea: media sau mediana, apoi amplitudinea și lățimea cutiei, $Q_{3} - Q_{1}$ , pe care o afli ca în lecția Ce diagramă alegi: bare, boxplot, cerc. Amplitudinea folosește doar capetele, deci o singură piesă extremă o poate mări; lățimea cutiei lasă capetele deoparte.

Metoda pas cu pas

Citește întrebarea și spune ce hotărâre se ia: un total pentru mai multe unități, un caz obișnuit, un soi sau o comparație de uniformitate.
Vezi ce fel de date ai: numere cu unitate de măsură (kg, mm, g) sau categorii.
Alege măsura din tabelul de mai jos.

Dacă întrebarea este…	atunci alegi…	pentru că…
ce total dau $k$ unități de același fel (o comandă, o recoltă pe un sezon)	media, apoi $k \cdot \overset{x}{ˉ}$	media păstrează totalul
ce valoare e obișnuită, iar în date apar valori extreme	mediana	jumătate din date sunt sub ea, jumătate peste
ce apare cel mai des, sau datele sunt categorii	modul	se numără, nu se adună
care dintre două seturi e mai uniform	lățimea cutiei $Q_{3} - Q_{1}$ ; amplitudinea doar fără valori extreme	cutia nu se lasă păcălită de o singură piesă

Calculează: media este suma împărțită la numărul datelor, mediana se citește după ordonare, modul din frecvențe, amplitudinea este maximul minus minimul, iar media a două numere $a$ și $b$ este $\frac{a + b}{2}$ , cu suma în paranteză.
Verifică: media stă între minim și maxim, iar $n \cdot \overset{x}{ˉ}$ dă suma datelor; de o parte și de alta a medianei stau cam jumătate din date; încearcă răspunsul pe situație, de exemplu câte date ating valoarea aleasă.

Frecvențele din care citești modul le ai din tabelul de frecvențe, iar pentru date cu ponderi diferite vezi media ponderată. Restul statisticii e în traseul clasei a X-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$

$n \cdot \overset{x}{ˉ} = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$

$amplitudine = x_{m a x} - x_{m i n}$

Condiții: mediana cere datele în ordine crescătoare și, la un număr par de date, se ia media celor două valori din mijloc; modul există și la categorii; media a două numere $a$ și $b$ este $\frac{a + b}{2}$ . Verificare rapidă: media stă între minim și maxim, iar $n \cdot \overset{x}{ˉ}$ dă suma.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Livada de cireși

Domeniu: agricol.

Enunț. Reluăm livada din situația de pornire. a) Calculați media și mediana cantităților de cireșe. b) Câte caserole de 0,5 kg trebuie pregătite pentru 20 de pomi, dacă fiecare dă cât media? c) Ce cantitate scrieți în broșură drept recolta obișnuită a unui pom și câți dintre cei 15 pomi o ating? d) Pentru ce soi se comandă cele mai multe etichete?

Rezolvare. a) Suma este $14, 6 + 18, 2 + 22, 4 + 17, 3 + 19, 7 + 21, 1 + 16, 8 + 41, 5 + 17, 9 + 20, 5 + 15, 9 + 18, 9 + 19, 4 + 12, 4 + 18, 0 = 294, 6$ kg, deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{294 , 6}{15} \approx 19, 6$ kg. Ordonate crescător, de la 12,4 la 41,5 kg, datele au la mijloc, pe locul al optulea, 18,2 kg: aceasta e mediana.

b) Totalul se prevede cu media: $20 \cdot \frac{294 , 6}{15} = 392, 8$ kg. O caserolă ține 0,5 kg, deci numărul caserolelor este dublul numărului de kilograme: $2 \cdot 392, 8 = 785, 6$ . Nu poți umple o parte de caserolă, deci pregătești cel puțin 786. c) „Recolta obișnuită” înseamnă mediana, deci scrii 18,2 kg: sub ea stau 7 pomi, iar 8 din 15 o ating. d) Cel mai des vândut este soiul Burlat, cu 212 caserole, mai multe decât oricare alt soi: acesta e modul, iar pentru el se comandă cele mai multe etichete.

Capcană. Cine scrie în broșură media, 19,6 kg, ca recoltă obișnuită, are doar 5 pomi din 15 care o ating: 10 pomi din 15 dau mai puțin, deci cifra e trasă în sus de pomul de 41,5 kg, nu e obișnuită. Cine prevede totalul cu mediana scrie $20 \cdot 18, 2 = 364$ kg, adică 728 de caserole, cu 58 mai puține decât trebuie.

Verificare. Adunate pe rândurile tabelului, cantitățile dau $51, 6 + 53, 9 + 83, 3 + 47, 6 + 58, 2 = 294, 6$ kg, aceeași sumă, iar $15 \cdot 19, 6 = 294$ e aproape de ea, deci împărțirea e bună. Pe alt drum, fără mediană: pomii sub 18,2 kg sunt 7, cei de 12,4; 14,6; 15,9; 16,8; 17,3; 17,9 și 18,0 kg, iar $7 + 8 = 15$ .

Exemplul 2 — Lamelele de parchet

Domeniu: lemn.

Enunț. Două linii de debitare livrează lamele pentru parchet, de grosime nominală 18 mm. Caietul de sarcini admite grosimi între 17,6 și 18,4 mm, inclusiv (valori din exemplu). La ieșirea fiecărei linii s-au măsurat 10 lamele, în mm: linia A — 18,1; 18,0; 18,2; 17,9; 18,3; 18,0; 18,1; 18,2; 18,1; 19,3; linia B — 17,7; 18,4; 17,9; 18,5; 18,0; 18,6; 17,8; 18,3; 18,2; 17,6. Șeful de secție a comparat amplitudinile celor două seturi și vrea să oprească linia A, fiindcă a ieșit cu amplitudinea mai mare. Are dreptate? Ce măsură arată corect care linie e mai uniformă?

Rezolvare. Ordonate, lamelele liniei A sunt 17,9; 18,0; 18,0; 18,1; 18,1; 18,1; 18,2; 18,2; 18,3; 19,3, iar cele ale liniei B sunt 17,6; 17,7; 17,8; 17,9; 18,0; 18,2; 18,3; 18,4; 18,5; 18,6. Cu $n = 10$ , mediana este media valorilor a cincea și a șasea, iar $Q_{1}$ și $Q_{3}$ sunt medianele primelor, respectiv ale ultimelor cinci valori.

	mediană	$Q_{1}$	$Q_{3}$	$Q_{3} - Q_{1}$	amplitudine	în afara toleranței
Linia A	18,1	18,0	18,2	0,2	1,4	1
Linia B	18,1	17,8	18,4	0,6	1,0	2

Medianele sunt egale. Șeful de secție nu are dreptate. Amplitudinea ar alege linia B, 1,0 mm față de 1,4 mm, dar lățimea cutiei și numărul lamelelor din afara toleranței arată contrariul: linia A este mai uniformă, iar singura ei lamelă prea groasă, de 19,3 mm, se scoate la calibrare.

Capcană. Cine compară amplitudinile, ca șeful de secție, alege linia B și respinge linia A din cauza unei singure lamele: 9 din cele 10 lamele ale liniei A stau între 17,9 și 18,3 mm. Linia B, cu amplitudine mai mică, are 2 lamele din 10 în afara toleranței.

Verificare. Mediana este $\frac{18 , 1 + 18 , 1}{2} = 18, 1$ la A și $\frac{18 , 0 + 18 , 2}{2} = 18, 1$ la B. Lamelele din afara toleranței se numără direct în enunț: 19,3 la A, 18,5 și 18,6 la B.

Exemplul 3 — Pachetele de unt

Domeniu: alimentar.

Enunț. O fabrică de lactate ambalează unt în pachete de 200 g. Regula internă (date din exemplu) cere ca media unui lot de control să fie cel puțin 200 g, iar niciun pachet să nu coboare sub 195 g. Un lot de 11 pachete a cântărit, în kilograme, după cântar: 0,203; 0,198; 0,205; 0,201; 0,196; 0,203; 0,207; 0,199; 0,203; 0,194; 0,200. Aflați media, rotunjită la o zecimală, în grame, și mediana, apoi spuneți dacă lotul poate pleca.

Rezolvare. Treci totul în grame: 0,203 kg înseamnă 203 g, și tot așa. Suma este 2 209 g, deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{2209}{11} \approx 200, 8$ g. Ordonate, valorile sunt 194; 196; 198; 199; 200; 201; 203; 203; 203; 205; 207, deci mediana este a șasea valoare, 201 g. Media trece de 200 g, dar pachetul de 194 g e sub 195 g, deci lotul nu poate pleca.

Capcană. Cine verifică doar media, 200,8 g, lasă lotul să plece. Media ascunde pachetul de 194 g; regula are două condiții, iar lotul le îndeplinește numai pe prima.

Verificare. $11 \cdot 200, 8 = 2208, 8$ , aproape de suma 2 209; diferența vine din rotunjire. De o parte și de alta a medianei stau câte 5 pachete. Sub 195 g este un singur pachet, cel de 194 g.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: media a două numere

Domeniu: mecanica.

Enunț. În probele 2013–2026, o singură cerință a cerut media aritmetică a două numere, scrise cu radicali. Aici ele sunt două cote calculate ale unui reper, în milimetri. Calculați media aritmetică a numerelor $a = 3 (8 - 10)$ și $b = 310$ .

Rezolvare. Suma este $a + b = 24 - 310 + 310 = 24$ , deci media este $\frac{24}{2} = 12$ mm.

Capcană. Cine uită paranteza scrie $a + \frac{b}{2} = 24 - 310 + \frac{3 10}{2}$ și rămâne cu un radical în răspuns. Împărțirea la 2 se aplică întregii sume.

Verificare. Cu $10 \approx 3, 162$ , avem $a \approx 14, 514$ și $b \approx 9, 486$ , deci $\frac{14 , 514 + 9 , 486}{2} = 12, 000$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Un apicultor a cântărit mierea extrasă din 7 stupi, în kg: 23,4; 27,1; 21,8; 26,3; 29,6; 24,2; 31,9. Calculează media, cu o zecimală, și mediana.

2. Un tractorist a notat consumul de motorină la arat, în l/ha, pe 8 parcele: 17,4; 21,7; 24,1; 18,6; 22,3; 26,7; 16,2; 20,9. Calculează mediana și amplitudinea.

3. O brutărie a notat, în 14 seri, câte tăvi de cozonac i-au rămas nevândute: 2, 4, 3, 2, 5, 3, 2, 1, 3, 2, 6, 2, 4, 3. Care este modul și care este amplitudinea?

4. O echipă de faianțari a montat, în 6 zile, în medie 14,5 m² de faianță pe zi. Câți metri pătrați a montat în total? Poți afla din medie cât a montat în ziua cea mai slabă?

Nivelul 2 — situații

5. Un curier a notat durata a 9 livrări către clienți, în minute: 37, 46, 42, 53, 39, 45, 51, 34, 138. Ce durată scrii în anunț ca „durată obișnuită”? Calculează media și mediana și numără câte livrări au durat mai puțin decât fiecare.

6. Două standuri de la un târg au încasat în 7 zile, în lei: standul P — 3 140, 2 860, 3 380, 2 940, 3 310, 3 020, 3 050; standul Q — 2 240, 4 710, 1 930, 3 820, 2 670, 3 910, 2 420. Calculează media și mediana fiecăruia. În câte zile a acoperit fiecare chiria de 2 900 de lei? Care măsură a prevăzut diferența?

7. La o stație de transfer au venit camioane cu deșeuri de hârtie 27, de plastic 43, de sticlă 19, de metal 14 și biodeșeuri 37. Care este modul? Ce parte din camioane aduce acest tip, cu o zecimală? Se poate calcula media tipurilor?

8. Un electrician a notat durata ultimelor 9 intervenții, în ore: 1,5; 2,0; 1,0; 2,5; 1,5; 7,5; 2,0; 1,5; 3,0. Câte ore de lucru își planifică pentru cele 30 de intervenții programate luna viitoare? De ce nu folosește mediana?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați media aritmetică a numerelor $a = 3 (6 - 11)$ și $b = 311 - 4$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați media aritmetică a numerelor $a = (3 + 5)^{2}$ și $b = (3 - 5)^{2}$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați media aritmetică a numerelor $a = \frac{7}{12}$ și $b = \frac{5}{8}$ .

12. (Sinteză.) Pentru un lot de roșii, cumpărătorul cere media cel puțin 130 g, mediana cel puțin 130 g și $Q_{3} - Q_{1}$ cel mult 15 g. Furnizorul P a trimis roșii de 128, 134, 131, 139, 126, 137, 133, 141 și 130 g; furnizorul Q, de 118, 152, 125, 147, 129, 144, 133, 121 și 140 g. Calculează cele trei măsuri pentru fiecare și spune ce furnizor corespunde.

Răspunsuri și verificări

1. Suma este 184,3, deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{184 , 3}{7} \approx 26, 3$ kg; ordonate, a patra valoare este mediana, 26,3 kg. Verificare: $7 \cdot 26, 3 = 184, 1$ , aproape de 184,3.

2. Ordonate, valorile din mijloc sunt 20,9 și 21,7, deci mediana este $\frac{20 , 9 + 21 , 7}{2} = 21, 3$ l/ha, iar amplitudinea $26, 7 - 16, 2 = 10, 5$ l/ha. Verificare: patru valori stau sub 21,3 și patru deasupra.

3. Valoarea 2 apare de 5 ori, deci modul este 2 tăvi, iar amplitudinea este $6 - 1 = 5$ tăvi. Verificare: 3 apare de 4 ori, 4 de două ori, iar 1, 5 și 6 câte o dată, deci $5 + 4 + 2 + 3 = 14$ seri.

4. Totalul este $6 \cdot 14, 5 = 87$ m². Ziua cea mai slabă nu se află din medie: șase zile de câte 14,5 m² dau tot 87 m², ca zilele din verificare, care au minimul 12,5 m². Verificare: $12, 5 + 16, 0 + 15, 5 + 13, 0 + 16, 5 + 13, 5 = 87$ .

5. Media este $\frac{485}{9} \approx 53, 9$ minute, mediana 45 de minute. Sub 53,9 minute au durat 8 livrări din 9; sub 45 de minute au durat 4 livrări și peste 45, tot 4. Scrii 45 de minute. Verificare: ordonate, 34, 37, 39, 42 | 45 | 46, 51, 53, 138.

6. Ambele au media 3 100 de lei ( $\frac{21 700}{7} = 3100$ ); mediana este 3 050 la P și 2 670 la Q. Chiria a fost acoperită în 6 zile la P și în 3 zile la Q (4 710, 3 820 și 3 910). Mediana a prevăzut diferența, nu media. Verificare: 2 670, mediana lui Q, e sub 2 900, deci cel mult jumătate din zile acoperă chiria.

7. Modul este plasticul, cu 43 de camioane, adică $\frac{43}{140} \approx 30, 7%$ din cele 140. Media tipurilor nu se poate calcula: sunt categorii, nu numere. Verificare: $27 + 43 + 19 + 14 + 37 = 140$ .

8. Pentru un total planifică după medie: suma este 22,5 h, media $22, 5 : 9 = 2, 5$ h, deci $30 \cdot 2, 5 = 75$ h. Mediana, 2,0 h, ar da doar 60 h: intervențiile lungi, ca cea de 7,5 h, intră și ele în orele lunii. Verificare: adunate pe grupe, $1, 0 + 3 \cdot 1, 5 + 2 \cdot 2, 0 + 2, 5 + 3, 0 + 7, 5 = 22, 5$ .

9. Desfaci paranteza: $a = 18 - 311$ . Suma este $a + b = 18 - 311 + 311 - 4 = 14$ . Media este $\frac{14}{2} = 7$ . Verificare: $11 \approx 3, 317$ dă $a \approx 8, 050$ , $b \approx 5, 950$ și media $7, 000$ .

10. Din $(3 \pm 5)^{2} = 9 \pm 65 + 5$ rezultă $a = 14 + 65$ și $b = 14 - 65$ . Suma este $a + b = 28$ . Media este $\frac{28}{2} = 14$ . Verificare: $5 \approx 2, 236$ dă $a \approx 27, 416$ , $b \approx 0, 584$ și media $14, 000$ .

11. Cel mai mic multiplu comun al lui 12 și 8 este 24, deci $a = \frac{14}{24}$ și $b = \frac{15}{24}$ . Suma este $a + b = \frac{29}{24}$ . Media este $\frac{29}{24} : 2 = \frac{29}{48}$ . Verificare: $\frac{29}{48} \approx 0, 604$ , între $\frac{7}{12} \approx 0, 583$ și $\frac{5}{8} = 0, 625$ .

12. Furnizorul P: suma este 1 199, media $\frac{1199}{9} \approx 133, 2$ g, mediana 133 g, $Q_{1} = \frac{128 + 130}{2} = 129$ și $Q_{3} = \frac{137 + 139}{2} = 138$ , deci $Q_{3} - Q_{1} = 9$ g. Furnizorul Q: suma este 1 209, media $\frac{1209}{9} \approx 134, 3$ g, mediana 133 g, $Q_{1} = \frac{121 + 125}{2} = 123$ și $Q_{3} = \frac{144 + 147}{2} = 145, 5$ , deci $Q_{3} - Q_{1} = 22, 5$ g. Corespunde furnizorul P: Q are media mai mare, dar $22, 5 > 15$ . Verificare: între $Q_{1}$ și $Q_{3}$ stau câte 5 roșii la fiecare furnizor, dar cutia lui Q e de 2,5 ori mai lată.

Așa vine la Bac M3

Programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) numește media aritmetică la clasa a X-a, în blocul „Mulțimi de numere”, alături de media ponderată, cea geometrică și cea armonică. Mediana, modul, cuartilele și amplitudinea nu apar nicăieri în programa de examen, iar în indexul celor 83 de probe nicio cerință nu le are ca temă; ele rămân în afara programei de examen. Din toată tema, la examen a venit numai media aritmetică, în una singură dintre cele 83 de probe, în Subiectul I:

Modelul din 2015, Subiectul I, exercițiul 1: se dau numerele $2 (5 - 5)$ și $25$ , notate $a$ și $b$ , și se cere media lor aritmetică, adică la pasul 4 din Metodă $\frac{a + b}{2}$ ; baremul probei dă 3 puncte pentru scrierea $\frac{10 - 2 5 + 2 5}{2}$ și 2 puncte pentru rezultatul 5.

Cerința are o singură formă în cele 83 de probe: două numere date exact, cu un radical care se reduce prin adunare, fiindcă $b$ este opusul părții cu radical din $a$ . Pentru ea ajung pașii 4 și 5 din Metodă: suma în paranteză, împărțirea la 2 și o verificare, de exemplu că media stă între cele două numere. Exercițiile 9–11 au cerințe de același fel, cu numere proprii: o paranteză de desfăcut, două pătrate cu radicali și două fracții. Restul temei, de la mod la compararea a două seturi, se exersează la exercițiile 5–8 și 12.

Greșeli care costă puncte

Folosești mediana la un total: la Exemplul 1, $20 \cdot 18, 2 = 364$ kg înseamnă 728 de caserole, cu 58 mai puține decât trebuie → cum o prinzi: verifici că numărul datelor ori valoarea aleasă dă suma reală; $15 \cdot 18, 2 = 273$ , nu 294,6.
Scoți din date valoarea extremă, „fiindcă strică comparația”: la Exemplul 2, fără lamela de 19,3 mm linia A ar avea amplitudinea 0,4 mm, iar lamela prea groasă ar dispărea din raport → cum o prinzi: verifici valoarea extremă la sursă și, dacă e reală, o lași în numărătoarea pieselor din afara toleranței.
Verifici doar media față de prag: la Exemplul 3, 200,8 g trece peste 200 g, dar un pachet are 194 g → cum o prinzi: citești și valoarea cea mai mică, pentru fiecare condiție a regulii.
Împarți la 2 doar ultimul număr: la exercițiul 9 scrii $a + \frac{b}{2}$ și rămâi cu radical → cum o prinzi: pui suma în paranteză, $\frac{a + b}{2}$ , și încerci pe numere mici, de exemplu media lui 4 și 6, care este 5.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, alegerea între medie, mediană și mod face parte din programa de examen doar în parte: programa numește media aritmetică, dar nu și mediana, modul, cuartilele sau amplitudinea. În probele oficiale 2013–2026 a apărut într-o singură probă.

Întrebări frecvente

Cum se schimbă media și mediana dacă pomul de 41,5 kg a dat, de fapt, 21,5 kg? Suma scade cu 20, la 274,6 kg, deci media devine $\frac{274 , 6}{15} \approx 18, 3$ kg, față de 19,6 kg. Mediana rămâne 18,2 kg, fiindcă pomul rămâne în partea de sus a listei. Media a urmat valoarea corectată, mediana nu.

Ce parte din recolta totală dă pomul de 41,5 kg și ce parte din pomi este el? Dă $\frac{41 , 5}{294 , 6} \approx 14, 1%$ din recoltă, deși e doar $\frac{1}{15} \approx 6, 7%$ dintre pomi. De aceea contează la total, unde se adună toate cireșele, dar nu contează la „recolta obișnuită”, unde fiecare pom are un singur vot. Fără el, ceilalți 14 pomi dau 253,1 kg.

Ce cantitate ar putea garanta pomicultorul unui client dacă vrea s-o atingă patru pomi din cinci? Patru din cinci înseamnă 12 din 15 pomi. Ordonate crescător, datele sunt 12,4; 14,6; 15,9; 16,8; 17,3; …, iar ultimele 12 încep de la 16,8 kg, deci poate garanta 16,8 kg. Aceasta e valoarea lui $Q_{1}$ : doar cei mai slabi 3 pomi rămân sub ea.

Cum își dă seama pomicultorul că pomul de 41,5 kg nu e o greșeală de scriere? Verifică fișa de cântărire a recoltei și starea pomului. Dacă cifra se confirmă, ea rămâne în total, fiindcă cireșele există, dar pomul nu mai e unul obișnuit. Mediana nu depinde de ea, media o include.

Ce a cerut la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) singura cerință despre media aritmetică? Cerința 1 din Subiectul I al probei model din 2015: media aritmetică a două numere cu radical, $2 (5 - 5)$ și $25$ , adică 5. Mediana unui set de date, modul, cuartilele și amplitudinea nu au fost cerute în cele 83 de probe 2013–2026, iar programa nu le numește.