Test tehnologic: vectori, sume și unghiul dublu

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Supliment Bac M3 2027–2029: vectori în plan

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Planul unei hale de depozitare este paralelogramul $ABCD$, cu $AB=18$ m și $AD=11$ m. Punctul $O$ este punctul în care se taie diagonalele, iar $M$ este mijlocul laturii $[AB]$. Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată?

Variantele: a) „$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$”; b) „$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$”; c) „$|\overrightarrow{AM}|=|\overrightarrow{AD}|$”; d) „$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}$”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Un robot de cofetărie mută o tavă între șase posturi $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ și $F$, iar fiecare mutare se notează cu un vector. Simplifică expresia $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EF}$ și spune unde ajunge tava dacă pornește din $A$ și face toate mutările rămase.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Vectorul $\vec{u}$ are modulul de 18 cm. Numărul real $m$ este ales astfel încât vectorul $\vec{v}=(3m-14)\vec{u}$ să aibă modulul de 36 cm și sens contrar lui $\vec{u}$. Determină $m$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculează $\mathrm{ctg}210^{\circ }\cdot \mathrm{tg}120^{\circ }+\mathrm{ctg}\left(-135^{\circ }\right)$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Unghiul ascuțit $a$ are $\sin a=\frac{35}{37}$. Calculează $\cos \left(a+45^{\circ }\right)$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Arătați că $2\sin 60^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }-\sin 30^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

O stație de monitorizare a poluării aerului lansează un balon-pilot, ca să afle încotro poartă vântul emisiile unui coș industrial din apropiere. Față de aer, balonul urcă vertical cu 1,5 m/s, iar vântul îl duce orizontal cu 0,8 m/s. Notăm cu ${\vec{v}}_1$ viteza de urcare a balonului față de aer și cu ${\vec{v}}_2$ viteza vântului față de sol.

a) (5 puncte) Calculează modulul vitezei balonului față de sol, adică al vectorului ${\vec{v}}_1+{\vec{v}}_2$.

b) (5 puncte) În cât timp ajunge balonul la 180 m înălțime și cu câți metri l-a dus vântul, pe orizontală, față de locul lansării?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Frontonul acoperișului unui hangar are forma triunghiului $ABC$, cu $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ și $\overrightarrow{AC}=\vec{b}$, vectori necoliniari, unde $AB=12$ m. Punctul $M$, în care se sprijină un stâlp, se află pe latura $[BC]$, cu $BM=\frac{1}{3}BC$, punctul $N$ se află pe segmentul $[AM]$, cu $AN=\frac{3}{5}AM$, iar $P$ este mijlocul laturii $[AB]$.

a) (5 puncte) Scrie $\overrightarrow{AM}$ și $\overrightarrow{AN}$ sub forma $x\vec{a}+y\vec{b}$ și calculează $AP$.

b) (5 puncte) Scrie $\overrightarrow{CP}$ și $\overrightarrow{CN}$ în aceeași formă, apoi arată că $C$, $P$ și $N$ sunt coliniare și află raportul $CN:CP$.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un robot de sudură are brațul principal de 410 mm, care face cu orizontala unghiul ascuțit $a$, cu $\sin a=\frac{3}{5}$. Pentru o piesă mai înaltă, brațul se mai ridică cu un unghi ascuțit $b$, cu $\sin b=\frac{9}{41}$. Un al doilea braț al robotului, de 1681 mm, se ridică la unghiul $2b$ față de orizontală.

a) (5 puncte) Calculează $\sin (a+b)$ și înălțimea, în milimetri, la care ajunge capătul brațului principal după a doua ridicare.

b) (5 puncte) Calculează $\sin 2b$ și $\cos 2b$, apoi înălțimea și depărtarea pe orizontală, în milimetri, ale capătului celui de-al doilea braț.

Partea a III-a – Cerințe de examen și o sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Cele trei subpuncte au forma cerinței 6 din Subiectul I al probei de Bacalaureat M3.

a) (5 puncte) Arătați că $\mathrm{ctg}60^{\circ }\cdot \mathrm{ctg}30^{\circ }+\mathrm{tg}45^{\circ }\cdot \mathrm{ctg}45^{\circ }=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $\sin (a+b)=\frac{253}{325}$, știind că $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin a=\frac{16}{65}$ și $\sin b=\frac{3}{5}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\sin 2x+\cos 2x+1=2\cos x(\sin x+\cos x)$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) În incinta unei ferme de păsări, din poarta $S$ pornesc două alei drepte, $SA$ și $SB$, iar vectorii $\vec{a}=\overrightarrow{SA}$ și $\vec{b}=\overrightarrow{SB}$ sunt necoliniari.

a) (5 puncte) Punctul $P$ se află pe segmentul $[AB]$, cu $AP=\frac{2}{5}AB$. Scrie $\overrightarrow{SP}$ sub forma $x\vec{a}+y\vec{b}$.

b) (5 puncte) Pentru un număr real $m$, se consideră vectorii $\vec{u}=(m+3)\vec{a}-12\vec{b}$ și $\vec{v}=4\vec{a}-6\vec{b}$. Determină $m$ pentru care $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt coliniari.

c) (5 puncte) Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(x+2y)\vec{a}+(2x-y)\vec{b}=8\vec{a}+6\vec{b}$.

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare apare pe pași, iar punctele pașilor stau între paranteze; o rezolvare corectă făcută altfel primește aceleași puncte. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar rândurile „Verificare” nu poartă puncte.

Exercițiul 1.

Într-un paralelogram, laturile opuse sunt paralele și egale, dar $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$ au sensuri contrare: sunt opuși, nu egali, deci a) este falsă (1 p). Diagonalele se înjumătățesc, deci $O$ este mijlocul lui $[AC]$, iar $\overrightarrow{AO}$ și $\overrightarrow{OC}$ au aceeași direcție, același sens și același modul: răspunsul este $\mathbf{b})$ (2 p). Celelalte variante sunt false: $AM=18:2=9$ m, iar $AD=11$ m, deci $|\overrightarrow{AM}|\ne |\overrightarrow{AD}|$ la c); $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, iar $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$, deci $\overrightarrow{BC}$ și $\overrightarrow{DA}$ sunt opuși, nu egali, la d) (2 p). Verificare: $AC=AO+OC=2\cdot AO$, deci $AO=OC=\frac{AC}{2}$, iar vectorii $\overrightarrow{AO}$ și $\overrightarrow{OC}$ sunt puși cap la cap pe aceeași dreaptă, în același sens.

Exercițiul 2.

Opusul unui vector se obține inversând literele: $-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$ și $-\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{DE}$ (2 p). Expresia devine $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}$, iar fiecare vector începe în punctul în care se termină cel dinainte, deci regula poligonului dă $\overrightarrow{\mathbf{AF}}$ (2 p). Tava ajunge în postul $F$, adică în capătul ultimei mutări (1 p). Verificare: dacă cele șase posturi ar fi pe o axă, la abscisele 0, 3, 7, 2, 5 și 9, fiecare vector $\overrightarrow{XY}$ ar avea lungimea algebrică egală cu abscisa lui $Y$ minus abscisa lui $X$, iar expresia ar da $3-(-4)+(-5)-(-3)+4=9$, adică exact $9-0$, lungimea algebrică a lui $\overrightarrow{AF}$.

Exercițiul 3.

Modulul produsului este $|3m-14|\cdot 18$ și trebuie să fie 36, deci $|3m-14|=36:18=2$ (2 p). Sensul contrar înseamnă coeficient negativ, deci $3m-14=-2$ (1 p), de unde $3m=12$ și $m=4$ (2 p). Verificare: $3\cdot 4-14=-2$, iar $2\cdot 18=36$. Cine alege $3m-14=2$ obține $m=\frac{16}{3}$, dar atunci $\vec{v}$ are același sens cu $\vec{u}$.

Exercițiul 4.

Cotangenta se repetă din 180° în 180°, iar tangenta unui unghi obtuz este opusa tangentei suplementului lui: $\mathrm{ctg}210^{\circ }=\mathrm{ctg}30^{\circ }=\sqrt{3}$ și $\mathrm{tg}120^{\circ }=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$ (2 p). Cotangenta este impară: $\mathrm{ctg}\left(-135^{\circ }\right)=-\mathrm{ctg}135^{\circ }=-\left(-\mathrm{ctg}45^{\circ }\right)=1$ (1 p). Expresia este $\sqrt{3}\cdot \left(-\sqrt{3}\right)+1=-3+1=-2$ (2 p). Verificare: $-135^{\circ }+180^{\circ }=45^{\circ }$, iar $\mathrm{ctg}45^{\circ }=1$, la fel.

Exercițiul 5.

Unghiul este ascuțit, deci $\cos a=\sqrt{1-\frac{1225}{1369}}=\frac{12}{37}$ (2 p). Formula de adunare dă $\cos (a+45^{\circ })=\cos a\cos 45^{\circ }-\sin a\sin 45^{\circ }=\frac{12}{37}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{35}{37}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ (2 p), adică $\frac{(12-35)\sqrt{2}}{74}=-\frac{23\sqrt{2}}{74}$ (1 p). Verificare: rezultatul este negativ, deci $a+45^{\circ }$ este obtuz, adică $a>45^{\circ }$; într-adevăr, $\frac{35}{37}>\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Exercițiul 6.

Valorile de bază sunt $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci ${\cos }^{2}45^{\circ }=\frac{1}{2}$ (3 p). Atunci $2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2 p). Verificare: $2\sin 60^{\circ }\cos 60^{\circ }=\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $-\sin 30^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Vitezele ${\vec{v}}_1$ și ${\vec{v}}_2$ sunt perpendiculare, deci modulul sumei lor vine din teorema lui Pitagora (2 p): $|{\vec{v}}_1+{\vec{v}}_2|=\sqrt{1,5^2+0,8^2}=\sqrt{2,25+0,64}=\sqrt{2,89}=1,7$ m/s (3 p).

b) (5 p) Înălțimea se câștigă numai cu componenta verticală, de 1,5 m/s, fiindcă vântul bate orizontal și nu o schimbă (1 p). Balonul ajunge la 180 m în $180:1,5=120$ s (2 p). În acest timp, vântul îl duce pe orizontală cu $0,8\cdot 120=96$ m (2 p). Verificare: $180^2+96^2=32400+9216=41616=204^2$, iar $1,7\cdot 120=204$ m, drumul real al balonului, pe diagonală. Cine adună modulele, $1,5+0,8=2,3$ m/s, ar socoti viteza față de sol prea mare, fiindcă vitezele nu sunt pe aceeași dreaptă.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Cum $\overrightarrow{BC}=\vec{b}-\vec{a}$ și $BM=\frac{1}{3}BC$, avem $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})$ (1 p). Atunci $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{2}{3}\vec{\mathbf{a}}+\frac{1}{3}\vec{\mathbf{b}}$ (2 p). Din $AN=\frac{3}{5}AM$ rezultă $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\vec{\mathbf{a}}+\frac{1}{5}\vec{\mathbf{b}}$ (1 p), iar $AP=12:2=6$ m (1 p).

b) (5 p) Cum $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\vec{a}$, obținem $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\vec{\mathbf{a}}-\vec{\mathbf{b}}$ (1 p) și $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\frac{2}{5}\vec{\mathbf{a}}-\frac{4}{5}\vec{\mathbf{b}}$ (1 p). Căutăm $k$ cu $\overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CP}$; vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt necoliniari, deci comparăm coeficienții: la $\vec{b}$, $-k=-\frac{4}{5}$, adică $k=\frac{4}{5}$ (2 p). La $\vec{a}$, $\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{5}$, ca în $\overrightarrow{CN}$: vectorii sunt coliniari, deci $C$, $P$ și $N$ sunt coliniare, iar $CN:CP=\frac{4}{5}$ (1 p). Verificare: $k=\frac{4}{5}$ este pozitiv și mai mic decât 1, deci $N$ se află pe segmentul $[CP]$, între $C$ și $P$, iar $NP=\frac{1}{5}CP$.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Unghiurile sunt ascuțite, deci cosinusurile sunt pozitive: $\cos a=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ și $\cos b=\sqrt{1-\frac{81}{1681}}=\frac{40}{41}$ (2 p). Formula de adunare dă $\sin (a+b)=\frac{3}{5}\cdot \frac{40}{41}+\frac{4}{5}\cdot \frac{9}{41}=\frac{120+36}{205}=\frac{156}{205}$ (2 p), iar înălțimea este $410\cdot \frac{156}{205}=312$ mm (1 p).

b) (5 p) $\sin 2b=2\cdot \frac{9}{41}\cdot \frac{40}{41}=\frac{720}{1681}$ (1 p) și $\cos 2b={\left(\frac{40}{41}\right)}^2-{\left(\frac{9}{41}\right)}^2=\frac{1519}{1681}$ (1 p). Înălțimea capătului este $1681\cdot \frac{720}{1681}=720$ mm (1 p), iar depărtarea pe orizontală este $1681\cdot \frac{1519}{1681}=1519$ mm (2 p). Verificare: $720^2+1519^2=518400+2307361=2825761=1681^2$; la prima parte, $\cos (a+b)=\frac{4}{5}\cdot \frac{40}{41}-\frac{3}{5}\cdot \frac{9}{41}=\frac{133}{205}$, iar $156^2+133^2=42025=205^2$.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Valorile de bază sunt $\mathrm{ctg}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\mathrm{ctg}30^{\circ }=\sqrt{3}$ și $\mathrm{tg}45^{\circ }=\mathrm{ctg}45^{\circ }=1$ (3 p). Atunci $\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}+1\cdot 1=1+1=2$ (2 p).

b) (5 p) Unghiurile sunt ascuțite, deci $\cos a=\sqrt{1-\frac{256}{4225}}=\frac{63}{65}$ și $\cos b=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ (2 p). Atunci $\sin (a+b)=\frac{16}{65}\cdot \frac{4}{5}+\frac{63}{65}\cdot \frac{3}{5}=\frac{64+189}{325}=\frac{253}{325}$ (3 p).

c) (5 p) Formulele unghiului dublu sunt valabile pentru orice $x$: $\sin 2x=2\sin x\cos x$ și $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$, iar $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ (3 p). Membrul stâng devine $2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=2\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x$, iar factorul comun $2\cos x$ dă $2\cos x(\sin x+\cos x)$, adică membrul drept (2 p).

Exercițiul 11.

a) (5 p) $AP=\frac{2}{5}AB$ înseamnă $\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$, iar $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}=\vec{b}-\vec{a}$ (2 p). Atunci $\overrightarrow{SP}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AP}=\vec{a}+\frac{2}{5}(\vec{b}-\vec{a})$ (1 p), adică $\overrightarrow{SP}=\frac{3}{5}\vec{\mathbf{a}}+\frac{2}{5}\vec{\mathbf{b}}$, cu $x=\frac{3}{5}$ și $y=\frac{2}{5}$ (2 p). Verificare: $x+y=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1$.

b) (5 p) Vectorul $\vec{v}$ este nenul, deci $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt coliniari exact când $\vec{u}=k\vec{v}$. Cum $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt necoliniari, comparăm coeficienții: la $\vec{b}$, $-12=k\cdot (-6)$, deci $k=2$ (2 p); la $\vec{a}$, $m+3=2\cdot 4=8$ (2 p), de unde $m=5$ (1 p). Verificare: pentru $m=5$, $\vec{u}=8\vec{a}-12\vec{b}=2\vec{v}$.

c) (5 p) Vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt necoliniari, deci coeficienții se compară: $x+2y=8$ și $2x-y=6$ (2 p). Din a doua ecuație, $y=2x-6$; înlocuind în prima, $x+2(2x-6)=8$, adică $5x=20$ și $x=4$ (2 p). Atunci $y=2\cdot 4-6=2$ (1 p). Verificare: $(4+2\cdot 2)\vec{a}+(2\cdot 4-2)\vec{b}=8\vec{a}+6\vec{b}$.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică suplimentul de vectori și de trigonometrie al clasei a IX-a, filiera tehnologică, pe cele șapte lecții ale lui: „Vectori: forțe și deplasări, tehnologic”, „Rezultanta forțelor la tehnologic”, „Vector înmulțit cu un număr, pentru tehnologic”, „Vector pe două direcții date, la tehnologic”, „Cotangenta: domeniu, grafic, perioadă, tehnologic”, „Formulele de adunare: sin și cos, tehnologic” și „Unghiul dublu la tehnologic: sin 2a, cos 2a”. Valorile unghiurilor pe cerc și reducerea la primul cadran rămân în sarcina testului „Test tehnologic: cercul trigonometric și reducerea”, iar distanța, mijlocul și panta în reper, în sarcina testului „Test tehnologic: reper, pantă și ecuația dreptei”.

• Punctaj: 100 de puncte în total, adică 90 de puncte pentru exerciții și 10 puncte din oficiu.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: testul se rezolvă individual, pe foaie, fără calculator. Rezultatele ies exacte, iar mărimile se scriu cu unitatea lor. La Partea a III-a contează fiecare pas scris: o valoare corectă, dar fără calcul și fără justificare, nu primește punctele subpunctului. Ghidajul taie exercițiul în pași scurți, cu întrebări cu patru variante și cu numere de aflat; o variantă greșită îți spune unde ai greșit. Îl deschizi doar la exercițiile care nu ies.
• La 90–100 de puncte: suplimentul este stăpânit; mergi la testul următor.
• La 75–89 de puncte: deschizi ghidajul la exercițiile pierdute și le refaci.
• La 60–74 de puncte: pentru fiecare exercițiu cu sub jumătate din puncte, reiei lecția din tabel, apoi lucrezi testul din nou după o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi din nou cele șapte lecții, în ordine, și rezolvi testul cu ghidajul deschis de la primul exercițiu.
• Formule de reținut: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ cere aceeași direcție, același sens și același modul, iar $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ pentru vectori puși cap la cap, iar $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ când $ABCD$ este paralelogram; la doi vectori perpendiculari, modulul sumei vine din teorema lui Pitagora; $|k\vec{u}|=|k|\cdot |\vec{u}|$, iar pentru $\vec{u}\ne \vec{0}$, vectorul $\vec{v}$ este coliniar cu $\vec{u}$ exact când $\vec{v}=k\vec{u}$; pentru $\vec{a}$ și $\vec{b}$ necoliniari, $x\vec{a}+y\vec{b}=x^{\prime }\vec{a}+y^{\prime }\vec{b}$ cere $x=x^{\prime }$ și $y=y^{\prime }$; $\mathrm{ctg}\theta$ este abscisa împărțită la ordonată, pentru ordonata nenulă, cu perioada $\pi$ și impară; $\mathrm{tg}(180^{\circ }-x)=-\mathrm{tg}x$; ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$, deci pentru un unghi ascuțit $\cos a=\sqrt{1-{\sin }^{2}a}$; $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$ și $\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$; $\sin 2a=2\sin a\cos a$ și $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=1-2{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1$.

Exercițiul 11 c) leagă vectorii de sistemele de două ecuații, din testul „Test tehnologic: funcții, inecuații și sisteme”. Exercițiile 6 și 10 sunt marcate „tip Bacalaureat M3”. Forma lor este cea a cerinței 6 din Subiectul I al probelor oficiale 2013–2026, adică o relație trigonometrică de arătat sau de demonstrat; valorile, unghiurile și expresiile sunt noi.

Programa și examenul. Acest test face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: vectorii în plan, cotangenta, formulele de adunare și formulele unghiului dublu fac parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu le conține sau le conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026, vectorii în plan nu au apărut încă; cotangenta a apărut în 2 probe, formulele de adunare într-o singură probă, iar formulele unghiului dublu în 2 probe, toate la Subiectul I; fiind în programă, temele pot fi cerute. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) niciuna dintre aceste teme nu este în programa de examen.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.