Rezultanta forțelor la tehnologic

Un catarg de șantier stă drept doar dacă tragerile haubanelor se compensează. Ca să afli dacă se compensează, nu aduni lungimile săgeților, ci le aduni ca vectori: cap la cap sau din același punct. Suma se numește rezultantă și are modul, direcție și sens, ca orice vector. Aduni așa forțe și deplasări; la tehnologic, operația ține de clasa a IX-a. Adunarea vectorilor figurează în lista de conținuturi a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Pe un șantier, un catarg temporar susține reflectoarele de iluminat. Echipa l-a fixat cu trei haubane din cablu de oțel, prinse în același nod din vârf și ancorate în blocuri de beton, în jurul fundației, la câte 120° unul de altul, văzute de sus. După o ploaie, șeful de echipă măsoară tensiunile cu un tensiometru de cablu. Tabelul dă componenta orizontală a forței fiecărui hauban asupra nodului, în kN, și unghiul față de axa $Ox$ a planului șantierului (est), în sens invers acelor de ceasornic.

Dacă forțele nu se anulează, nodul este tras într-o parte și catargul se înclină. Cele trei săgeți pleacă din același punct, nodul, deci au aceeași origine. Dirigintele vrea să știe cât și încotro este tras nodul și ce tensiune trebuie schimbată.

Întrebare: cu ce forță orizontală și în ce sens este tras în total nodul și cu cât trebuie întins un singur hauban ca nodul să rămână în echilibru?

De la situație la model

Notează cu ${\vec{H}}_1$, ${\vec{H}}_2$, ${\vec{H}}_3$ forțele haubanelor. Tabelul traduce cuvintele de pe șantier în cuvinte din matematică.

Suma a doi vectori se face în două moduri. Regula triunghiului: dacă $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ și $\vec{v}=\overrightarrow{BC}$, adică al doilea începe unde se termină primul, atunci $\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. Regula paralelogramului: dacă $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AD}$ pleacă din același punct $A$ și $ABCD$ este paralelogram, atunci $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, adică diagonala dusă din $A$. Prima regulă se folosește la deplasări puse cap la cap, a doua la forțe care pleacă din același nod, ca haubanele.

Adunarea e comutativă, $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$, și asociativă, $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$, deci poți aduna în orice ordine. Are element neutru, $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$, și $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$. Diferența se definește prin opus: $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$. Pentru vectori cu aceeași origine, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.

Rezultanta mai multor forțe este suma lor. Regula poligonului adună mai mulți vectori puși cap la cap: $\overrightarrow{A_1{A}_2}+\overrightarrow{A_2{A}_3}+\dots +\overrightarrow{A_{n-1}{A}_n}=\overrightarrow{A_1{A}_n}$. Când poligonul se închide, $A_n=A_1$ și suma este $\vec{0}$: forțele sunt în echilibru. Adunarea vine înaintea înmulțirii cu un număr, care are lecția ei.

Cum afli modulul sumei?

Fără teorema cosinusului, care are lecția ei separată, modulul se calculează aici în patru cazuri. Vectori coliniari de același sens: modulele se adună. Vectori coliniari de sensuri contrare: modulele se scad, iar sensul rămâne al celui mai mare. Vectori perpendiculari: teorema lui Pitagora. Doi vectori de același modul, la 120°: suma are același modul și stă pe bisectoarea unghiului, fiindcă diagonala scurtă a rombului, cea dusă din vârful de 120°, îl împarte în două triunghiuri echilaterale. În orice alt caz desenezi la scară și măsori. Modulul sumei se află mereu între diferența și suma modulelor.

Când este nodul în echilibru?

Când rezultanta este $\vec{0}$. Atunci forțele, puse cap la cap, formează un poligon închis. Trei forțe de același modul, la 120°, se închid într-un triunghi echilateral.

Metoda pas cu pas

1. Scrie fiecare vector cu modulul și unitatea lui și cu unghiul față de $Ox$: ${\vec{H}}_1$ are 3,4 kN la 90°. Dacă un vector e dat prin cuvinte, ca „spre est”, înlocuiește cuvintele cu unghiul: est e 0°, nord e 90°, vest e 180°, sud e 270°. Adu toate forțele în aceeași unitate înainte de calcul, de pildă 1 daN = 10 N, iar 1 kN = 1000 N.
2. Grupează întâi ce se calculează ușor: vectorii coliniari se adună sau se scad, iar doi vectori de același modul, la 120°, dau un vector cu același modul pe bisectoare. La haubane, H1 cu H2 se grupează primele, fiindcă au același modul la 120°; apoi H3 se adună cu rezultatul.
3. Aplică regula potrivită pe ce a rămas: triunghiul, dacă vectorii sunt puși cap la cap, paralelogramul, dacă pleacă din același punct. La unghi drept, modulul vine din Pitagora; păstrează unitatea, kN cu kN. Cu regula triunghiului, al doilea vector începe în extremitatea primului.
4. Dacă unghiul nu e unul dintre cazurile de mai sus, desenează paralelogramul la scară, de pildă 1 cm pentru 1 kN, și măsoară diagonala cu rigla; calculul exact vine cu teorema cosinusului.
5. Scrie rezultanta cu modul, direcție și sens, adică cu unghiul față de $Ox$, nu doar cu numărul.
6. Verifică: adaugă opusul rezultantei, iar suma trebuie să fie $\vec{0}$. Modulul sumei trebuie să stea între diferența și suma modulelor. Dacă poligonul nu se închide, ai greșit un unghi sau un semn.

Fișa de buzunar

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$$

$$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u},\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0},\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$$

Prima relație se aplică vectorilor puși cap la cap, a doua celor cu aceeași origine, cu $ABCD$ paralelogram. Rezultanta este suma forțelor, iar modulul ei stă între diferența și suma modulelor. Perpendiculare înseamnă Pitagora, iar doi vectori egali la 120° dau un vector de același modul. Verificare rapidă: rezultanta plus opusul ei dă $\vec{0}$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Haubanele catargului

Domeniu: constructii.

Enunț. Reia haubanele din tabelul de la început. a) Ce modul și ce unghi are suma ${\vec{H}}_1+{\vec{H}}_2$? b) Care este rezultanta celor trei forțe? c) Cu cât trebuie întins ${\vec{H}}_3$ ca nodul să fie în echilibru?

Rezolvare. a) ${\vec{H}}_1$ și ${\vec{H}}_2$ pleacă din același nod, deci se aplică regula paralelogramului: suma lor este diagonala rombului construit pe ele. Au același modul, 3,4 kN, și unghiurile 90° și 210°, care diferă cu 120°. Suma lor are tot 3,4 kN și stă pe bisectoare, la $\frac{90^{\circ }+210^{\circ }}{2}=150^{\circ }$. b) ${\vec{H}}_3$ are 330° = 150° + 180°, deci e coliniar cu suma și de sens contrar. Rezultanta are $3,4-2,9=0,5$ kN la 150°: nodul e tras cu 0,5 kN între nord și vest. c) Echilibrul cere rezultanta $\vec{0}$, deci ${\vec{H}}_3$ trebuie să fie opusul lui ${\vec{H}}_1+{\vec{H}}_2$: 3,4 kN la 330°. Haubanul 3 se întinde cu $3,4-2,9=0,5$ kN, adică exact cât trage acum nodul în partea cealaltă.

Capcană. Cine adună modulele obține $3,4+3,4+2,9=9,7$ kN și crede că nodul e tras puternic. Forțele nu stau pe aceeași dreaptă și se compensează aproape de tot.

Verificare. După întindere, cele trei forțe au câte 3,4 kN la 90°, 210° și 330°. Puse cap la cap, ele formează un triunghi echilateral cu latura de 3,4 kN, deci se închid.

Exemplul 2 — Stivuitorul din depozit

Domeniu: comert.

Enunț. Un stivuitor pleacă din dreptul rampei $R$, merge 19,8 m spre est până la raftul $A$, apoi 12,6 m spre nord până la raftul $B$ și 7,8 m spre vest până la raftul $C$. a) Scrie $\overrightarrow{RC}$ ca sumă. b) Ce deplasare are stivuitorul față de rampă? c) Ce mutare îl readuce la rampă?

Rezolvare. a) Pe planul depozitului, fiecare mutare începe unde s-a terminat precedenta, deci se aplică regula poligonului: $\overrightarrow{RC}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$. b) Pe direcția est–vest, 19,8 m spre est și 7,8 m spre vest dau $19,8-7,8=12$ m spre est. Spre nord rămân 12,6 m. Deplasarea e diagonala unui dreptunghi de 12 m pe 12,6 m: $\sqrt{12^2+12,6^2}=\sqrt{302,76}=17,4$ m. c) Întoarcerea e opusul lui $\overrightarrow{RC}$: $\overrightarrow{CR}=-\overrightarrow{RC}$, de 17,4 m, adică 12 m spre vest și 12,6 m spre sud.

Capcană. Cine adună 19,8 m cu 7,8 m pe direcția est–vest obține 27,6 m spre est. Cei 7,8 m au sens contrar și se scad.

Verificare. $\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{CR}=\vec{0}$. Drumul parcurs de stivuitor, $19,8+12,6+7,8=40,2$ m, nu poate fi mai scurt decât deplasarea de 17,4 m, și chiar nu este.

Exemplul 3 — Stâlpul de colț al unei linii electrice

Domeniu: electric.

Enunț. La un stâlp de colț al unei linii electrice aeriene, conductorul vine dinspre vest și pleacă spre nord, cu aceeași tensiune în ambele tronsoane, 236 daN. Stâlpul e tras spre vest (180°) și spre nord (90°). Se știe că 1 daN = 10 N. a) Scrie tensiunea în kN. b) Ce modul, rotunjit la 0,1 kN, și ce unghi are rezultanta? c) Ce forță trebuie să dea haubanul?

Rezolvare. a) $236\cdot 10=2360$ N = 2,36 kN. b) Pe desen, cele două tensiuni sunt laturile unui pătrat, iar rezultanta e diagonala lui. Vectorii sunt perpendiculari și de același modul: $\sqrt{2,36^2+2,36^2}=2,36\sqrt{2}\approx 3,34$, deci 3,3 kN. Direcția e bisectoarea: $\frac{90^{\circ }+180^{\circ }}{2}=135^{\circ }$, spre nord-vest. c) Haubanul dă opusul rezultantei: 3,3 kN la $135^{\circ }+180^{\circ }=315^{\circ }$, spre sud-est, adică de partea opusă colțului.

Capcană. Cine adună tensiunile obține $2,36+2,36=4,72$ kN, fiindcă uită că forțele nu sunt coliniare. Rezultanta e mai mică decât suma modulelor.

Verificare. Diagonala unui pătrat e de $\sqrt{2}\approx 1,414$ ori latura: $2,36\cdot 1,414=3,337$, adică 3,3 kN la zecime. Valoarea stă între 0 și 4,72 kN.

Exemplul 4 — Problema inversă: al doilea tractor

Domeniu: agricol.

Enunț. O combină blocată într-un șanț trebuie scoasă drept spre est cu o forță totală de 24 kN. Un tractor poate trage doar spre nord, cu 7 kN. Mergi invers: din rezultanta dorită afli ce forță trebuie să dea al doilea tractor. Ce modul are ${\vec{F}}_2$, dacă ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2=\vec{R}$?

Rezolvare. Pe desen, $\vec{R}$ este diagonala paralelogramului construit pe ${\vec{F}}_1$ și ${\vec{F}}_2$. Din ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2=\vec{R}$ rezultă ${\vec{F}}_2=\vec{R}-{\vec{F}}_1=\vec{R}+(-{\vec{F}}_1)$. Opusul lui ${\vec{F}}_1$ are 7 kN spre sud, iar $\vec{R}$ are 24 kN spre est, perpendiculari. Deci $|{\vec{F}}_2|=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{625}=25$ kN, orientată spre est, ușor spre sud.

Capcană. Cine scade modulele obține $24-7=17$ kN. Scăderea de module e corectă numai la vectori coliniari, iar $\vec{R}$ și ${\vec{F}}_1$ sunt perpendiculari.

Verificare. Cele 7 kN spre nord ale lui ${\vec{F}}_1$ se compensează cu cele 7 kN spre sud ale lui ${\vec{F}}_2$, iar 24 kN spre est rămân, exact $\vec{R}$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Simplifică: a) $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QS}$; b) $\overrightarrow{TU}+\overrightarrow{VT}+\overrightarrow{UV}$; c) $\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ}$.

2. Două forțe de câte 7,6 kN, la 120° una de alta, acționează pe un inel. Ce modul are rezultanta și unde stă față de ele?

3. Forțele ${\vec{F}}_1$ de 5,7 kN la 20° și ${\vec{F}}_2$ de 3,2 kN la 200° acționează în același punct. Află rezultanta, cu modul și unghi.

4. Două forțe perpendiculare, de 2,7 kN și de 1,9 kN, acționează în același punct. Ce modul are rezultanta, rotunjit la 0,1 kN?

Nivelul 2 — situații

5. Pe un șantier, un nod al unei schele metalice primește trei forțe din bare: 5,3 kN spre est, 2,8 kN spre nord și 5,3 kN spre vest. a) Ce rezultantă au cele trei forțe? b) Ce forță trebuie să dea a patra bară ca nodul să fie în echilibru? c) Ce figură formează cele patru forțe puse cap la cap?

6. La recoltat, pe drumul drept de exploatare al unei ferme, combina $A$ e la 640 m spre est de dispeceratul $D$, iar tractorul cu remorcă $B$ la 230 m spre vest de el. a) Scrie $\overrightarrow{BA}$ cu ajutorul lui $\overrightarrow{DA}$ și $\overrightarrow{DB}$. b) Cât și încotro trebuie să meargă tractorul ca să ajungă la combină?

7. O dronă care inspectează o linie electrică pleacă din $O$, zboară 380 m spre est până în $P$, apoi 380 m pe direcția de 120° față de est, până în $Q$. a) Ce deplasare are în $Q$ față de $O$, cu modul și unghi? b) Ce zbor direct o readuce în $O$?

8. O roată de autoturism e apăsată pe șosea cu 4,0 kN pe verticală, iar în viraj frecarea laterală e de 0,9 kN pe orizontală. Cu ce forță totală acționează șoseaua asupra roții?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Opt hamali trag de aceeași frânghie, în același sens. Forțele lor formează o progresie aritmetică cu primul termen 0,30 kN și rația 0,05 kN. a) Determinați rezultanta. b) Determinați primul hamal care trage cu mai mult de 0,50 kN.

10. (Sinteză.) Pe planul unui șantier, în metri, ancorele sunt în $A(1;2)$, $B(8;3)$ și $D(3;9)$. Punctul $C$ se alege astfel încât $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. a) Determinați coordonatele lui $C$ folosind mijloacele diagonalelor paralelogramului $ABCD$. b) Calculați $|\overrightarrow{AC}|$.

11. (Sinteză.) Două forțe au modulele 12 kN și $x$ kN. Pentru ce valori ale lui $x$ poate rezultanta lor să aibă modulul de 15 kN? Scrieți condiția cu un modul.

12. (Sinteză.) Două forțe acționează pe aceeași dreaptă. Când trag în același sens, rezultanta are 9,7 kN; când una dintre ele e întoarsă, rezultanta are 2,3 kN, în sensul forței mai mari. a) Scrieți un sistem de două ecuații și determinați forțele. b) Ce rezultantă ar da cele două forțe dacă ar fi perpendiculare? Rotunjiți la 0,1 kN.

Răspunsuri și verificări

1. a) $\overrightarrow{PS}$, prin regula triunghiului. b) $\overrightarrow{VT}+\overrightarrow{TU}+\overrightarrow{UV}=\vec{0}$, după o reordonare. c) $\overrightarrow{ZY}$, diferență de vectori cu aceeași origine. Verificare: în b) poligonul $V\to T\to U\to V$ se închide.

2. 7,6 kN, pe bisectoarea unghiului, la 60° de fiecare forță. Verificare: rombul are un unghi de 60° și diagonala scurtă egală cu latura.

3. Forțele sunt coliniare, de sensuri contrare (20° și 200°): rezultanta are $5,7-3,2=2,5$ kN la 20°, sensul forței mai mari. Verificare: 200° − 20° = 180°.

4. $\sqrt{2,7^2+1,9^2}=\sqrt{10,9}\approx 3,30$, adică 3,3 kN. Verificare: 3,3 stă între 2,7 și 2,7 + 1,9 = 4,6, iar $3,3^2=10,89$, aproape 10,9.

5. a) Forțele spre est și spre vest sunt opuse și se anulează, deci rezultanta are 2,8 kN spre nord. b) Opusul ei: 2,8 kN spre sud. c) Un dreptunghi de 5,3 kN pe 2,8 kN, care se închide. Verificare: pe est–vest $5,3-5,3=0$, pe nord–sud $2,8-2,8=0$.

6. a) $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}$, diferență de vectori cu aceeași origine. b) $\overrightarrow{DA}$ și $-\overrightarrow{DB}$ arată amândoi spre est, deci modulele se adună: tractorul merge $640+230=870$ m spre est. Verificare: $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA}$, adică 230 m și apoi 640 m, tot spre est.

7. a) $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}$, cu regula triunghiului. Cei doi vectori au câte 380 m, la 0° și la 120°, deci suma are tot 380 m și stă pe bisectoare, la 60°. b) Opusul: 380 m la 240°. Verificare: în $P$, laturile $PO$ și $PQ$ fac 60°, deci triunghiul $OPQ$, cu două laturi de 380 m, e echilateral și $OQ=380$ m.

8. Forțele sunt perpendiculare: $\sqrt{4,0^2+0,9^2}=\sqrt{16,81}=4,1$ kN. Verificare: $4,1^2=16,81$.

9. a) Forțele sunt coliniare, de același sens, deci rezultanta e suma lor. $S_8=\frac{8}{2}\left(2\cdot 0,30+7\cdot 0,05\right)=4\cdot 0,95=3,8$ kN. b) Al $k$-lea hamal are $0,30+(k-1)\cdot 0,05$. Pentru $k=5$ iese 0,50, nu mai mult; pentru $k=6$ iese 0,55. Deci al 6-lea. Verificare: $0,30+0,35+0,40+0,45+0,50+0,55+0,60+0,65=3,8$.

10. a) Mijlocul lui $[BD]$ este $(5,5;6)$ și trebuie să fie și mijlocul lui $[AC]$, deci $C(2\cdot 5,5-1;2\cdot 6-2)=C(10;10)$. b) $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(10-1{)}^2+(10-2{)}^2}=\sqrt{145}\approx 12,04$ m. Verificare: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|=\sqrt{50}$, ca la laturile opuse ale unui paralelogram.

11. Modulul sumei stă între $|12-x|$ și $12+x$. Condiția este $|12-x|\le 15\le 12+x$, adică $x\ge 3$ și $-3\le x\le 27$. Rezultă $x\in [3;27]$. Verificare: la $x=3$ forțele sunt coliniare de același sens, $12+3=15$; la $x=27$ sunt coliniare de sensuri contrare, $27-12=15$.

12. a) Cu $x>y$ modulele forțelor, în kN: $x+y=9,7$ și $x-y=2,3$. Adunând ecuațiile, $2x=12$, deci $x=6$ kN și $y=3,7$ kN. b) $\sqrt{6^2+3,7^2}=\sqrt{49,69}\approx 7,05$, adică 7,0 kN. Verificare: $6+3,7=9,7$ și $6-3,7=2,3$, iar 7,0 kN stă între 2,3 kN și 9,7 kN.

Așa vine la Bac M3

Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) trece în blocul al șaptelea al clasei a IX-a regula triunghiului, regula paralelogramului și proprietățile adunării. Cu toate acestea, adunarea vectorilor nu a apărut în probele 2013–2026. Indexul cerințelor, calculat pe cele 83 de probe oficiale, nu are nicio cerință cu tema adunării vectorilor, iar cuvintele «rezultantă» și «paralelogram» nu se găsesc în textul vreunui subiect. Lipsesc deci, cu bună știință, trimiterile la cerințe oficiale și cerințele-model.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), leagă adunarea vectorilor de progresia aritmetică, de reperul cartezian, de modulul unui număr real și de sistemele de două ecuații. Despre vectori ca segmente orientate vezi lecția vectori în plan: forțe și deplasări; pentru celelalte teme ale clasei deschide lecțiile clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Aduni modulele la vectori care nu sunt coliniari, ca la cele trei haubane (9,7 kN în loc de 0,5 kN) → crezi că nodul e tras puternic; cum o prinzi: modulul sumei stă între diferența și suma modulelor, iar la unghi drept folosești Pitagora.
• Aduni 19,8 m și 7,8 m deși au sensuri contrare → deplasarea iese prea mare; cum o prinzi: vectorii de sens contrar se scad, iar sensul rămâne al celui mai mare.
• Scrii $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ → întorci sensul diferenței; cum o prinzi: diferența de vectori cu aceeași origine merge de la vârful scăzătorului la vârful descăzutului, adică $\overrightarrow{CB}$.
• Pui al doilea vector cu originea în alt punct decât extremitatea primului → rezultanta iese mutată; cum o prinzi: închizi poligonul cu opusul rezultantei și vezi dacă ajungi în punctul de plecare.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: adunarea vectorilor în plan face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Dacă H1 și H2 au câte 3,4 kN la 120° una de alta, de ce suma lor are tot 3,4 kN? Cei doi vectori sunt laturile unui romb cu unghiul de 120° la origine. Diagonala dusă din acel vârf desparte rombul în două triunghiuri echilaterale cu latura de 3,4 kN, deci are tot 3,4 kN. La un unghi drept între ele s-ar fi obținut $3,4\sqrt{2}$, nu 3,4.

Cum aflu în ce sens trage nodul, nu doar cât? Rezultanta are și direcție, și sens. La catarg, suma lui H1 și H2 este 3,4 kN la 150°, iar H3 de 2,9 kN la 330° o contrazice. Rămân 0,5 kN la 150°, între nord și vest, în sensul vectorului mai mare.

Cum se schimbă rezultanta dacă H3 crește la 3,9 kN? Atunci H3 depășește suma lui H1 cu H2, care are 3,4 kN. Rezultanta are $3,9-3,4=0,5$ kN, dar la 330°, spre sud-est. Nodul e tras tot cu 0,5 kN, însă în partea opusă: sensul se schimbă, deși modulul rămâne.

Pot aduna forțele din tabel în altă ordine? Da. Adunarea este comutativă și asociativă, deci ${\vec{H}}_1+{\vec{H}}_2+{\vec{H}}_3$ dă aceeași rezultantă, 0,5 kN la 150°, în orice ordine. Așa alegi ordinea comodă: întâi H1 cu H2, fiindcă au același modul la 120° și se adună dintr-o singură privire, apoi H3, care e coliniar cu suma lor.

Poate apărea la Bacalaureatul M3 regula paralelogramului? Regula paralelogramului este în programa de examen, în blocul al șaptelea al clasei a IX-a, alături de regula triunghiului. Din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, nicio cerință nu are însă această temă, după indexul făcut pe ele. Pentru că e în programă, poate fi cerută; exercițiile 9–12 o folosesc împreună cu alte teme.