Exerciții rezolvate — Corpuri rotunde: cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera (clasa a VIII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Corpuri rotunde: cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera", clasa a VIII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Un cilindru circular drept are aria laterală $A_l=100\pi {\text{cm}}^2$ și raza bazei $R=5$ cm. Află înălțimea cilindrului.

   • a) $10$ cm
   • b) $20$ cm
   • c) $5$ cm
   • d) $50$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $10$ cm

   Din $A_l=2\pi Rh$ rezultă $h=\frac{A_l}{2\pi R}=\frac{100\pi }{2\pi \cdot 5}=\frac{100\pi }{10\pi }=10$ cm.

   Lecția: Cilindrul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul →

2. Un cilindru circular drept are raza bazei $R=6$ cm și înălțimea $h=15$ cm. Cât este generatoarea $g$ a cilindrului?

   • a) $6$ cm
   • b) $9$ cm
   • c) $15$ cm
   • d) $21$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $15$ cm

   La cilindrul circular drept, generatoarea este întotdeauna egală cu înălțimea: $g=h$. Cum $h=15$ cm, rezultă $g=15$ cm. Generatoarea nu depinde de rază.

   Lecția: Cilindrul circular drept: descriere și desfășurare →

3. Un coif de petrecere (con fără fund) are raza $R=5\text{cm}$ și generatoarea $G=8\text{cm}$. Câți ${\text{cm}}^2$ de carton sunt necesari pentru confecționarea lui?

   • a) $40\pi {\text{cm}}^2$
   • b) $65\pi {\text{cm}}^2$
   • c) $25\pi {\text{cm}}^2$
   • d) $80\pi {\text{cm}}^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $40\pi {\text{cm}}^2$

   Coiful nu are fund, deci ai nevoie doar de aria laterală: $A_l=\pi RG=\pi \cdot 5\cdot 8=40\pi {\text{cm}}^2$. Varianta (b) ar fi aria totală (cu bază), greșită aici pentru că lipsește fundul.

   Lecția: Conul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul →

4. Care dintre următoarele afirmații despre generatoarea $G$ a unui con circular drept este corectă?

   • a) $G$ este o catetă a triunghiului $VOM$, deci poate fi mai mică decât $R$ sau $h$
   • b) $G$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic $VOM$, deci $G>R$ și $G>h$ întotdeauna
   • c) $G=R+h$ pentru orice con
   • d) $G$ este paralelă cu planul bazei conului
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $G$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic $VOM$, deci $G>R$ și $G>h$ întotdeauna

   În triunghiul dreptunghic $VOM$ (dreptunghic în $O$), catetele sunt $h=VO$ și $R=OM$, iar ipotenuza este generatoarea $G=VM$. Fiind ipotenuză, $G$ este mereu cea mai mare latură: $G>R$ și $G>h$.

   Lecția: Conul circular drept: descriere, desfășurare și generatoare →

5. O pâlnie în formă de con are raza bazei $R=3\text{cm}$ și înălțimea $h=5\text{cm}$. Cât este volumul ei, în funcție de $\pi$?

   • a) $15\pi {\text{cm}}^3$
   • b) $45\pi {\text{cm}}^3$
   • c) $60\pi {\text{cm}}^3$
   • d) $25\pi {\text{cm}}^3$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $15\pi {\text{cm}}^3$

   Conul are volumul de trei ori mai mic decât cilindrul cu aceeași bază și înălțime: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 9\cdot 5=15\pi {\text{cm}}^3$.

   Lecția: Probleme aplicative cu arii și volume ale corpurilor rotunde →

6. Aria unei sfere este $A=36\pi {\text{cm}}^2$. Care este raza sferei?

   • a) $3\text{cm}$
   • b) $6\text{cm}$
   • c) $9\text{cm}$
   • d) $36\text{cm}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $3\text{cm}$

   Din $A=4\pi R^2$ scoatem $R^2=\frac{36\pi }{4\pi }=9$, deci $R=\sqrt{9}=3\text{cm}$.

   Lecția: Sfera: aria și volumul →

7. Un ghiveci are forma unui trunchi de con deschis la gură (fără capac sus), dar cu fundul întreg. Ce arie trebuie calculată pentru a afla câtă tablă este necesară pentru confecționarea lui?

   • a) $A_l+\pi R^2+\pi r^2$
   • b) $A_l+\pi r^2$
   • c) $A_l+\pi R^2$
   • d) doar $A_l$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $A_l+\pi r^2$

   Gura (baza mare, rază $R$) lipsește pentru că vasul este deschis acolo, dar fundul (baza mică, rază $r$) rămâne. Deci se adaugă doar $\pi r^2$ la aria laterală: $A_l+\pi r^2$.

   Lecția: Trunchiul de con circular drept: descriere, arie și volum →

8. Un cilindru circular drept are raza bazei $R=5$ cm și înălțimea $h=9$ cm. Calculează aria totală.

   • a) $140\pi {\text{cm}}^2$
   • b) $90\pi {\text{cm}}^2$
   • c) $70\pi {\text{cm}}^2$
   • d) $50\pi {\text{cm}}^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $140\pi {\text{cm}}^2$

   $A_t=2\pi R(R+h)=2\pi \cdot 5\cdot (5+9)=2\pi \cdot 5\cdot 14=140\pi {\text{cm}}^2$.

   Lecția: Cilindrul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul →

9. Un cilindru circular drept are raza bazei $R=8$ cm și generatoarea $g=20$ cm. Cât este înălțimea $h$ a cilindrului?

   • a) $20$ cm
   • b) $8$ cm
   • c) $10$ cm
   • d) $40$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $20$ cm

   La cilindrul circular drept, generatoarea este întotdeauna egală cu înălțimea: $g=h$. Cum $g=20$ cm, rezultă $h=20$ cm. Varianta (b) confundă înălțimea cu raza, (c) e jumătate din $g$, iar (d) e dublul lui $g$.

   Lecția: Cilindrul circular drept: descriere și desfășurare →

10. Un con circular drept are raza $R=9\text{cm}$ și generatoarea $G=15\text{cm}$. Care este aria laterală a conului?

    • a) $135\pi {\text{cm}}^2$
    • b) $45\pi {\text{cm}}^2$
    • c) $225\pi {\text{cm}}^2$
    • d) $24\pi {\text{cm}}^2$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $135\pi {\text{cm}}^2$

    $A_l=\pi R\cdot G=\pi \cdot 9\cdot 15=135\pi {\text{cm}}^2$. Varianta (b) apare dacă împarți greșit la $3$ (ca la volum), (c) ridică la pătrat generatoarea, iar (d) adună $R$ și $G$ în loc să le înmulțească.

    Lecția: Conul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul →

11. Un con circular drept are raza bazei $R=20$ cm și înălțimea $h=21$ cm. Cât este generatoarea $G$?

    • a) $29$ cm
    • b) $19$ cm
    • c) $39$ cm
    • d) $20$ cm
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $29$ cm

    $G=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$ cm (tripletul pitagoreic $20$-$21$-$29$). Variantele (b) și (c) vin din greșeli de calcul la extragerea radicalului, iar (d) confundă generatoarea cu raza.

    Lecția: Conul circular drept: descriere, desfășurare și generatoare →

12. Un con circular drept are raza bazei $R=6\text{cm}$ și generatoarea $G=10\text{cm}$. Calculează aria laterală a conului ($A_{lat}=\pi RG$).

    • a) $36\pi {\text{cm}}^2$
    • b) $60\pi {\text{cm}}^2$
    • c) $100\pi {\text{cm}}^2$
    • d) $120\pi {\text{cm}}^2$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $60\pi {\text{cm}}^2$

    Înlocuim direct în formula ariei laterale: $A_{lat}=\pi RG=\pi \cdot 6\cdot 10=60\pi {\text{cm}}^2$. Atenție: raza nu se ridică la pătrat (asta ar fi aria bazei, $36\pi$).

    Lecția: Probleme aplicative cu arii și volume ale corpurilor rotunde →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.