Exerciții rezolvate — Rădăcina pătrată. Estimări și aproximări (clasa a VII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Rădăcina pătrată. Estimări și aproximări", clasa a VII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Grupăm numărul $46225$ câte două cifre, pornind de la dreapta spre stânga. Câte cifre va avea rădăcina lui pătrată?

   • a) $2$ cifre
   • b) $3$ cifre
   • c) $4$ cifre
   • d) $5$ cifre
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $3$ cifre

   Gruparea este $4|62|25$, adică $3$ grupe, iar fiecare grupă produce exact o cifră a rădăcinii, deci rădăcina are $3$ cifre (de fapt $\sqrt{46225}=215$).

   Lecția: Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate →

2. Care este aproximarea prin lipsă la unități a lui $\sqrt{50}$?

   • a) $6$
   • b) $7$
   • c) $8$
   • d) $9$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $7$

   $7^2=49$ și $8^2=64$, iar $49<50<64$, deci $7<\sqrt{50}<8$. Aproximarea prin lipsă (numărul mai mic) este $7$.

   Lecția: Aproximări prin lipsă și prin adaos ale rădăcinii pătrate →

3. Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{44}$?

   • a) $5$ și $6$
   • b) $6$ și $7$
   • c) $7$ și $8$
   • d) $44$ și $45$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $6$ și $7$

   Pătratele perfecte vecine sunt $36=6^2$ și $49=7^2$, iar $36<44<49$. Deci $6<\sqrt{44}<7$: rădăcina se află între $6$ și $7$.

   Lecția: Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv →

4. Care dintre numerele următoare este pătrat perfect?

   • a) $48$
   • b) $90$
   • c) $121$
   • d) $75$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $121$

   $121=11^2$, iar $11$ este număr natural, deci $121$ este pătrat perfect. Celelalte numere se află între două pătrate perfecte consecutive și nu au un „rezultat rotund" la rădăcină.

   Lecția: Pătrate perfecte și rădăcina pătrată a unui pătrat perfect →

5. Cât este $\sqrt{16^2}$?

   • a) $8$
   • b) $16$
   • c) $32$
   • d) $256$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $16$

   Aplicăm direct proprietatea $\sqrt{a^2}=a$: numărul de sub radical este $16$ la pătrat, deci rezultatul este chiar $16$, fără a mai calcula puterea.

   Lecția: Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural →

6. Cât este $\sqrt{(-14{)}^2}$?

   • a) $196$
   • b) $-14$
   • c) $14$
   • d) $-196$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $14$

   $(-14{)}^2=196$, apoi $\sqrt{196}=14$. Sau, direct cu formula: $\sqrt{(-14{)}^2}=|-14|=14$. Rezultatul e mereu pozitiv, chiar dacă am pornit de la un număr negativ.

   Lecția: Relația dintre puterea cu exponent 2 și rădăcină: √(a²) = |a| →

7. La extragerea lui $\sqrt{6241}$, după prima cifră $7$ (rest $13$), cobori grupa $41$ și obții numărul de lucru $1341$. Ce reprezintă „cheia" cu care cauți a doua cifră?

   • a) Numărul $7$, înmulțit cu cifra nouă
   • b) Dublul rădăcinii de până acum ($14$), urmat de un loc liber pentru cifra nouă
   • c) Numărul de lucru însuși, $1341$
   • d) Pătratul primei cifre, $49$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Dublul rădăcinii de până acum ($14$), urmat de un loc liber pentru cifra nouă

   Cheia se obține dublând întreaga rădăcină găsită până atunci ($2\times 7=14$) și lăsând un loc pentru cifra nouă $d$: $\overline{14d}$. Aici $d=9$ funcționează ($149\cdot 9=1341$), deci $\sqrt{6241}=79$.

   Lecția: Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate →

8. Fără calculator, care afirmație este corectă pentru $\sqrt{8}$ comparat cu $2,9$?

   • a) $\sqrt{8}>2,9$
   • b) $\sqrt{8}<2,9$
   • c) $\sqrt{8}=2,9$
   • d) Nu se poate compara fără calculator
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\sqrt{8}<2,9$

   Ridicăm $2,9$ la pătrat: $2,9^2=8,41$. Cum $8<8,41$, rezultă $\sqrt{8}<2,9$.

   Lecția: Aproximări prin lipsă și prin adaos ale rădăcinii pătrate →

9. Este adevărat că $\sqrt{35}<6$?

   • a) Da, pentru că $35<36=6^2$
   • b) Nu, pentru că $35>36$
   • c) Nu se poate ști fără calculator
   • d) Da, dar doar dacă rotunjim rezultatul
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Da, pentru că $35<36=6^2$

   Ridicăm la pătrat numărul curat: $6^2=36$. Cum $35<36$, rezultă $\sqrt{35}<\sqrt{36}=6$, deci afirmația este adevărată.

   Lecția: Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv →

10. Este corect să scriem $\sqrt{64}=\pm 8$?

    • a) Da, ambele valori sunt corecte
    • b) Nu, rezultatul unui radical este mereu pozitiv sau zero, deci $\sqrt{64}=8$
    • c) Nu, pentru că $64$ nu este pătrat perfect
    • d) Da, dar doar $-8$ este corect
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Nu, rezultatul unui radical este mereu pozitiv sau zero, deci $\sqrt{64}=8$

    Prin definiție, $\sqrt{a}$ desemnează doar valoarea pozitivă sau zero. Deși $(-8{)}^2=64$, simbolul $\sqrt{64}$ înseamnă exclusiv $8$; nu scriem niciodată $\pm$ la un radical simplu.

    Lecția: Pătrate perfecte și rădăcina pătrată a unui pătrat perfect →

11. Care dintre afirmațiile de mai jos este corectă?

    • a) $\sqrt{a^2}=2a$, pentru orice număr natural $a$
    • b) $\sqrt{a^2}=a^2$, pentru orice număr natural $a$
    • c) $\sqrt{a^2}=a$, pentru orice număr natural $a$
    • d) $\sqrt{a^2}$ nu poate fi calculat dacă $a$ este mare
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $\sqrt{a^2}=a$, pentru orice număr natural $a$

    Ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii sunt operații inverse pentru numerele naturale, deci rezultatul este chiar numărul de start $a$, nu dublul lui și nu pătratul lui.

    Lecția: Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural →

12. Dacă $x=-2$, cât este $\sqrt{(x-6{)}^2}$?

    • a) $-8$
    • b) $8$
    • c) $4$
    • d) $-4$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $8$

    Fiindcă nu știm semnul lui $x-6$, scriem $\sqrt{(x-6{)}^2}=|x-6|$. Pentru $x=-2$: $|x-6|=|-2-6|=|-8|=8$. Modulul transformă rezultatul negativ din interior într-un rezultat pozitiv.

    Lecția: Relația dintre puterea cu exponent 2 și rădăcină: √(a²) = |a| →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.