Aria când funcția schimbă semnul

Formulă din tema Aplicații ale integralei definite, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Scrierea din dreapta e pentru cazul $f\ge 0$ pe $[a,c]$ și $f\le 0$ pe $[c,b]$; în general se rupe intervalul în toate zerourile lui $f$ din interior și se schimbă semnul pe intervalele unde funcția e negativă. ⚠️ Greșeala care costă cel mai des puncte: se calculează ${\int }_a^{b}f$ și se anunță drept arie. Controlul de bun-simț: o arie este întotdeauna pozitivă; dacă rezultatul iese negativ sau suspect de mic, semnele n-au fost tratate.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^2-1$ pe $[0,2]$: ${\int }_0^{2}f=\frac{2}{3}$, dar aria este ${\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$.