Aria discului și a elipsei

Formulă din tema Aplicații ale integralei definite, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Amândouă sunt demonstrații, nu formule date: se calculează cu substituția $x=r\sin t$ (respectiv $x=a\sin t$), care duce integrala în $\int {\cos }^{2}tdt$. Prima este „formula de buzunar” a capitolului — se recunoaște ori de câte ori sub radical apare $r^2-x^2$ și scutește de tot calculul. Aria elipsei se reduce la aria discului prin factorul $\frac{b}{a}$: elipsa e un disc turtit. Controlul: pentru $a=b=r$ se regăsește $\pi r^2$.

Exemplu: ${\int }_{-3}^3\sqrt{9-x^2}dx=\frac{9\pi }{2}$. • Aria elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ este $\pi \cdot 5\cdot 4=20\pi$.