Elipsoidul și paraboloidul de rotație

Formulă din tema Aplicații ale integralei definite, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Elipsoidul se obține rotind semielipsa superioară a lui $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ în jurul axei $Ox$: $a$ este semiaxa de pe axa de rotație, iar $b$ raza secțiunii maxime, care apare la pătrat — inversarea lor e greșeala clasică. Pentru $a=b=r$ se regăsește sfera. Paraboloidul vine din rotirea ramurii $y^2=2px$ pe $[0,h]$, iar rezultatul spune ceva elegant: volumul lui este jumătate din al cilindrului circumscris, de rază $R=\sqrt{2ph}$ și aceeași înălțime.

Exemplu: Elipsa $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ rotită în jurul lui $Ox$ dă $\mathcal{V}=\frac{4\pi \cdot 3\cdot 4}{3}=16\pi$ — un corp lung de $6$ și lat de $4$.