Reducerea nedeterminărilor la un raport: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XI-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XI-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Derivate”.

Regula lui l'Hôspital se dă numai pentru rapoarte, așa că un produs sau o diferență nehotărâtă se traduce mai întâi într-o singură fracție. La produs un factor se răstoarnă și coboară la numitor — niciodată $\frac{f}{g}$ —, iar dintre cele două traduceri posibile se alege aceea care duce jos o putere a lui $x$, fiindcă răsturnarea ei se derivează simplu, pe când răsturnarea unui logaritm complică expresia; un exponent negativ se mută singur, $e^{-5x}=\frac{1}{e^{5x}}$. La diferență, cele două fracții se strâng la același numitor, cu minusul distribuit pe tot numărătorul celei de-a doua. După traducere, tipul cazului se recalculează: fracția obținută poate fi $\frac{0}{0}$, poate fi $\frac{\infty }{\infty }$, poate fi chiar perfect determinată. Scrierile $0\cdot \infty$ și $\infty -\infty$ nu înseamnă vreo operație și nu au valoare — ele numesc doar o situație în care încă nu se știe nimic.

Exemplu: $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }x\ln x\left(0\cdot \infty \right)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\ln x}{1/x}\left(\frac{\infty }{\infty }\right)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1/x}{-1/x^2}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }(-x)=0$.