Puteri, radicali, logaritmi: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Exponențiale și logaritmi, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a X-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a X-a; în tema ei stă la finalul paginii „Exponențiale și logaritmi”.

Baza $a$ este pozitivă; exponenții $m$ și $n$ sunt reali. Primul rând adună, scade sau înmulțește exponenții, după cum înmulțești, împarți sau ridici la putere. Al doilea scoate de sub radical pătratul perfect $a^2$ și lasă $b$ dedesubt. Ultimele două rânduri sunt ale logaritmului în baza $a$, cu $a\ne 1$ și argumente strict pozitive: produsul devine sumă, câtul, diferență, iar puterea, cu exponentul $k$, iese în față ca factor. Capcană: ${\log }_a(x+y)$ nu se desface, nu există regulă pentru sumă. Control: ridici baza la logaritmul găsit și ajungi înapoi la argument.

Exemplu: Piscina unei pensiuni are baza pătrată, cu aria de $288$ m². Latura ei: $\sqrt{288}=\sqrt{12^2\cdot 2}=12\sqrt{2}\approx 16,97$ m. Clorul din apă are $3,2$ mg/l dimineața și se înjumătățește la fiecare 2 ore, deci factorul pe 2 ore este $2^{-1}$. Pe 6 ore: $(2^{-1}{)}^3=2^{-3}$, iar în două etape, 4 ore și apoi 2 ore, $2^{-2}\cdot 2^{-1}=2^{-3}$. Raportul dintre factorul de la ora 2 și cel de la ora 8: $\frac{2^{-1}}{2^{-4}}=2^3=8$. Baia se deschide sub $1$ mg/l; după $k$ perioade de câte 2 ore, $3,2\cdot 2^{-k}\le 1$ cere $k\ge \frac{\lg 3,2}{\lg 2}$, cu $\lg 3,2=\lg 32-\lg 10=5\lg 2-1\approx 0,505$, deci $k\ge 1,68$ și $k=2$, adică 4 ore. Verificare: $\lg (3,2\cdot 2^{-2})=\lg 3,2+\lg 2^{-2}\approx 0,505-0,602=-0,097$, adică $0,8<1$ mg/l.