Test tehnologic: puteri, radicali, logaritmi

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a X-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Supliment Bac M3 2027–2029: puteri, radicali, logaritmi

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculează $2 7^{\frac{2}{3}} \cdot 9^{- 0, 5} \cdot 3^{1, 5} \cdot 3^{0, 5}$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Care dintre numerele de mai jos este egal cu $31080$ ?

Variantele: a) „ $635$ ”; b) „ $3635$ ”; c) „ $536$ ”; d) „ $65$ ”.

Exercițiul 3 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Arătați că numărul $n = 5 (3 + 7) - 175$ este natural.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculează $2 lo g_{3} 18 - lo g_{3} 36$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{6} (4 x - 5) - lo g_{6} 7 = 0$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Mărimea $y$ depinde de $x > 0$ după legea $y = 4 x^{3}$ . Scrie $l g y$ cu ajutorul lui $l g x$ și calculează $l g y$ pentru $x = 5$ , cu $l g 2 \approx 0, 30103$ și $l g 5 \approx 0, 69897$ .

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un atelier de întreținere comprimă aer cu un compresor. După comprimare, presiunea este $p_{f} = p_{i} \cdot r^{1, 25}$ , unde $p_{i}$ este presiunea inițială, în bar, iar $r$ este raportul de comprimare, adică volumul inițial împărțit la volumul final (valori din enunț).

a) (5 puncte) Aerul intră la $p_{i} = 2$ bar, iar $r = 16$ . Calculează presiunea finală $p_{f}$ .

b) (5 puncte) Aerul se comprimă în două trepte legate în serie, fiecare cu $r = 4$ ; a doua treaptă pornește de la presiunea la care a ajuns prima. Scrie $4^{1, 25}$ ca produs dintre 4 și un radical și arată că presiunea finală este aceeași cu cea de la a).

Exercițiul 8 (10 puncte)

Pe un șantier se amenajează două bazine de decantare pătrate, cu ariile de 450 m² și 288 m².

a) (5 puncte) Scrie latura fiecărui bazin în forma cea mai simplă.

b) (5 puncte) O conductă dreaptă se așază pe lângă cele două bazine, cap la cap, pe câte o latură a fiecăruia. Calculează lungimea ei în forma cea mai simplă, apoi rotunjită la centimetru, cu $2 \approx 1, 41421$ . Conducta se face din tuburi de 6 m: câte tuburi trebuie comandate?

Exercițiul 9 (10 puncte)

Într-o hală, nivelul de zgomot, în dB, este $L = 10 l g \frac{I}{I _{0}}$ , unde $\frac{I}{I _{0}}$ arată de câte ori intensitatea sunetului depășește cea mai slabă intensitate auzibilă. O mașină de ștanțat dă $\frac{I}{I _{0}} = 3 \cdot 1 0^{7}$ , iar intensitățile mai multor mașini identice se adună. Folosește $l g 2 \approx 0, 30103$ și $l g 3 \approx 0, 47712$ .

a) (5 puncte) Calculează nivelul de zgomot al unei singure mașini, rotunjit la sutimea de dB.

b) (5 puncte) Lucrează 12 mașini identice. Calculează nivelul de zgomot, rotunjit la sutimea de dB, și spune dacă depășește limita de 85 dB.

Partea a III-a – Cerințe de examen și o sinteză cu logaritmi (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Cele trei cerințe sunt independente.

a) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x + 1} - 5^{x - 1} = 600$ .

b) (5 puncte) Arătați că $(3 + 10)^{2} - 610 = 19$ .

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{5} x + lo g_{5} (x - 8) = lo g_{5} 33$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Cerințele a), b) și c) sunt independente; folosește $l g 2 \approx 0, 30103$ și $l g 5 \approx 0, 69897$ .

a) (5 puncte) Câte cifre are numărul $N = 2^{30} \cdot 5^{18}$ ?

b) (5 puncte) La un utilaj de spălat piese, fiecare clătire îndepărtează 20 % din detergentul rămas pe piese. După câte clătiri rămâne pe piese mai puțin de 1 % din detergentul de la început?

c) (5 puncte) Viteza apei într-un canal este $v = k \cdot R^{\frac{2}{3}}$ , unde $R$ este raza hidraulică a canalului și $k$ este o constantă. Viteza devine de 4 ori mai mare. De câte ori a crescut $R$ ?

Barem și răspunsuri

Fiecare pas al baremului are punctele lui între paranteze, iar o altă rezolvare corectă păstrează punctajul. Cifrele finale sunt îngroșate. La Partea a III-a, subpunctul nu are punctajul întreg fără calcule și fără explicație.

Exercițiul 1.

Scrii bazele ca puteri ale lui 3: $2 7^{\frac{2}{3}} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{2}$ și $9^{- 0, 5} = (3^{2})^{- 0, 5} = 3^{- 1}$ (2 p). Adunând exponenții, $3^{2 + (- 1) + 1, 5 + 0, 5} = 3^{3}$ (2 p), adică $27$ (1 p). Verificare: $9 \cdot \frac{1}{3} \cdot 9 = 27$ , fiindcă $3^{1, 5} \cdot 3^{0, 5} = 3^{2} = 9$ . Cine lasă bazele 27 și 9 neschimbate nu poate aduna exponenții, fiindcă regula produsului cere aceeași bază.

Exercițiul 2.

Se caută cel mai mare cub care divide 1080: $1080 = 216 \cdot 5 = 6^{3} \cdot 5$ (2 p). Atunci $3 6^{3} \cdot 5 = 635$ , deci răspunsul este $a)$ (2 p). Verificare: $(635)^{3} = 216 \cdot 5 = 1080$ (1 p). Cine scoate pătratul în loc de rădăcină scrie $3635$ , adică varianta b), al cărei cub este de $216$ ori prea mare.

Exercițiul 3.

Se scoate factorul de sub radical: $175 = 25 \cdot 7 = 57$ , iar $5 (3 + 7) = 15 + 57$ (2 p). Atunci $n = 15 + 57 - 57 = 15$ , număr natural (3 p). Verificare: cu $7 \approx 2, 6458$ rezultă $15 + 13, 229 - 13, 229 = 15$ . Cine lasă $175$ nesimplificat nu vede că radicalii se reduc.

Exercițiul 4.

Coeficientul 2 urcă în exponent: $2 lo g_{3} 18 = lo g_{3} 1 8^{2} = lo g_{3} 324$ (2 p). Diferența devine logaritmul câtului: $lo g_{3} 324 - lo g_{3} 36 = lo g_{3} \frac{324}{36} = lo g_{3} 9$ (2 p), iar $lo g_{3} 9 = 2$ (1 p). Verificare: $3^{2} = 9$ . Cine înmulțește coeficientul cu argumentul scrie $lo g_{3} 36$ și nu obține un număr întreg.

Exercițiul 5.

Argumentul trebuie să fie pozitiv: $4 x - 5 > 0$ , adică $x > \frac{5}{4}$ . Diferența de logaritmi este logaritmul câtului: $lo g_{6} \frac{4 x - 5}{7} = 0$ , deci $\frac{4 x - 5}{7} = 1$ (3 p). Rezultă $4 x = 12$ și $x = 3$ , care convine, fiindcă $3 > \frac{5}{4}$ (2 p). Verificare: $lo g_{6} (4 \cdot 3 - 5) - lo g_{6} 7 = lo g_{6} 7 - lo g_{6} 7 = 0$ .

Exercițiul 6.

Logaritmul produsului este suma logaritmilor, iar coeficientul 3 urcă din exponent: $l g y = l g 4 + 3 l g x = 2 l g 2 + 3 l g x$ (2 p). Pentru $x = 5$ : $l g y = 2 \cdot 0, 30103 + 3 \cdot 0, 69897 = 0, 60206 + 2, 09691$ (2 p), adică $2, 69897$ (1 p). Verificare: pentru $x = 5$ , $y = 4 \cdot 125 = 500$ , iar $l g 500 = 2 + l g 5 \approx 2, 69897$ .

Exercițiul 7.

a) (5 p) Se scrie $16 = 2^{4}$ , deci $1 6^{1, 25} = (2^{4})^{1, 25} = 2^{5} = 32$ (3 p). Presiunea finală este $p_{f} = 2 \cdot 32 = 64$ bar (2 p). Verificare: $1 6^{1, 25} = 16 \cdot 1 6^{0, 25} = 16 \cdot 2 = 32$ .

b) (5 p) Se desface exponentul: $4^{1, 25} = 4^{1} \cdot 4^{0, 25} = 4 \cdot (2^{2})^{0, 25} = 4 \cdot 2 = 42$ (2 p). După prima treaptă presiunea este $2 \cdot 42 = 82$ bar, iar după a doua $82 \cdot 42 = 32 \cdot 2 = 64$ bar (2 p), adică $64$ bar, ca la a) (1 p). Verificare: $(4^{1, 25})^{2} = 4^{2, 5} = 2^{5} = 32 = 1 6^{1, 25}$ .

Exercițiul 8.

a) (5 p) Latura primului bazin: $450 = 225 \cdot 2$ , deci $450 = 152$ m (2 p). Latura celui de-al doilea: $288 = 144 \cdot 2$ , deci $288 = 122$ m (2 p). Verificare: $(152)^{2} = 225 \cdot 2 = 450$ și $(122)^{2} = 144 \cdot 2 = 288$ (1 p).

b) (5 p) Radicalii sunt asemenea, deci lungimea conductei este $152 + 122 = 272$ m (2 p). Cu $2 \approx 1, 41421$ rezultă $27 \cdot 1, 41421 \approx 38, 18$ m (1 p). Cum $38, 18 : 6 \approx 6, 36$ , șase tuburi nu ajung, iar numărul de tuburi se rotunjește în sus: $7$ tuburi (2 p). Verificare: $6 \cdot 6 = 36 < 38, 18 < 42 = 7 \cdot 6$ .

Exercițiul 9.

a) (5 p) Logaritmul unui produs este suma logaritmilor: $l g (3 \cdot 1 0^{7}) = l g 3 + 7$ (2 p). Nivelul este $L = 10 \cdot (0, 47712 + 7) = 74, 7712$ (2 p), adică $74, 77$ dB (1 p).

b) (5 p) Intensitățile se adună: $12 \cdot 3 \cdot 1 0^{7} = 36 \cdot 1 0^{7}$ (1 p). Cum $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ , $l g 36 = 2 l g 2 + 2 l g 3 \approx 0, 60206 + 0, 95424 = 1, 5563$ (2 p). Nivelul este $L = 10 \cdot (1, 5563 + 7) = 85, 563$ , adică $85, 56$ dB (1 p). Cum $85, 56 > 85$ , limita este depășită (1 p). Verificare: o mașină dă $74, 77$ dB, iar 12 mașini adaugă $10 l g 12 \approx 10, 79$ dB. Cine adună nivelurile, $12 \cdot 74, 77$ , obține un număr fără sens pentru zgomot.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Se desface prima putere: $5^{x + 1} = 5^{x - 1} \cdot 5^{2}$ , apoi se scoate factorul comun: $5^{x - 1} \cdot (25 - 1)$ este egal cu 600, deci $24 \cdot 5^{x - 1}$ este 600, iar $5^{x - 1}$ este $\frac{600}{24} = 25$ (3 p). Rezultă $x - 1 = 2$ , deci $x = 3$ (2 p). Verificare: $5^{4} - 5^{2} = 625 - 25 = 600$ .

b) (5 p) Pătratul sumei este $(3 + 10)^{2} = 9 + 610 + 10 = 19 + 610$ (3 p). Atunci $19 + 610 - 610 = 19$ (2 p).

c) (5 p) Argumentele trebuie să fie pozitive: $x > 0$ și $x - 8 > 0$ , deci $x > 8$ . Suma logaritmilor este logaritmul produsului: $lo g_{5} [x (x - 8)] = lo g_{5} 33$ , deci $x^{2} - 8 x = 33$ , adică $x^{2} - 8 x - 33 = 0$ (3 p). Soluțiile sunt $x = - 3$ și $x = 11$ ; valoarea $- 3$ nu convine, fiindcă $- 3 < 8$ , iar $x = 11$ convine (2 p). Verificare: $lo g_{5} 11 + lo g_{5} 3 = lo g_{5} 33$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) Logaritmul zecimal al lui $N$ este $l g N = 30 l g 2 + 18 l g 5 \approx 30 \cdot 0, 30103 + 18 \cdot 0, 69897 = 9, 0309 + 12, 58146 = 21, 61236$ (3 p). Un număr cu $k$ cifre are logaritmul zecimal între $k - 1$ și $k$ , deci $N$ are $21 + 1 = 22$ de cifre (2 p). Verificare: $N = 2^{12} \cdot 1 0^{18} = 4096 \cdot 1 0^{18}$ , adică $4 + 18 = 22$ cifre.

b) (5 p) După $n$ clătiri rămâne $0, 8^{n}$ din detergent, deci se cere $0, 8^{n} < 0, 01$ , adică $n l g 0, 8 < l g 0, 01 = - 2$ (2 p). Cum $l g 0, 8 = l g 8 - 1 \approx 3 \cdot 0, 30103 - 1 = - 0, 09691$ (1 p), împărțirea la numărul negativ întoarce inegalitatea: $n > \frac{- 2}{- 0 , 09691} \approx 20, 64$ (1 p). Cel mai mic număr natural care convine este $n = 21$ de clătiri (1 p). Verificare: $0, 8^{20} \approx 0, 0115 > 0, 01$ , iar $0, 8^{21} \approx 0, 0092 < 0, 01$ .

c) (5 p) Dacă $R$ se înmulțește cu $q$ , viteza se înmulțește cu $q^{\frac{2}{3}}$ , deci $q^{\frac{2}{3}} = 4$ și $\frac{2}{3} l g q = l g 4 = 2 l g 2$ (2 p). Rezultă $l g q = 3 l g 2 = l g 8$ (2 p), adică $q = 8$ : raza hidraulică a crescut de 8 ori (1 p). Verificare: $8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4$ .

Pentru părinți și profesori

Testul verifică partea de calcul a suplimentului din clasa a X-a, prin cele patru lecții ale unității: „Bac tehnologic: reguli pentru puteri reale”, „Factori de sub radical, ordin 2 și 3: tehnologic”, „Logaritmul produsului: reguli de calcul, tehnologic” și „Logaritmare: calcule pe expresii la tehnologic”. Ecuațiile exponențiale și logaritmice rezolvate pe larg, cu verificarea soluțiilor, rămân în sarcina testului de funcții și ecuații; aici ele apar doar ca aplicație a regulilor de calcul.

Punctaj: cele unsprezece exerciții valorează împreună 90 de puncte; cu cele 10 puncte din oficiu totalul ajunge la 100.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează singur, pe foaie, fără calculator; când un exercițiu are nevoie de logaritmi zecimali, valorile lor sunt date în enunț. La Partea a III-a se cer și calculele, și explicația, iar un rezultat scris direct nu ia punctajul întreg al subpunctului. Pentru fiecare exercițiu, ghidajul pornește cu o întrebare cu patru variante și continuă cu numere de aflat; o variantă greșită spune ce a fost încurcat. Se deschide numai dacă exercițiul nu iese.
La 90–100 de puncte: unitatea e stăpânită; poți trece la testul de numere complexe.
La 75–89 de puncte: lucrezi din nou, cu ghidajul pornit, exercițiile în care îți lipsesc puncte.
La 60–74 de puncte: tabelul de mai jos te trimite la lecțiile de reluat, pentru exercițiile rezolvate sub jumătate; testul se repetă peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: începi cu prima lecție a unității, le parcurgi pe toate patru în ordine și repeți testul cu ghidajul de la primul exercițiu.
Formule de reținut: pentru $a > 0$ : $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ , $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ , $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ și $a^{m / n} = n a^{m}$ ; $a^{2} b = a b$ pentru $a \geq 0$ , $b \geq 0$ și $3 a^{3} b = a 3 b$ pentru orice $a$ , $b$ reale; $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ , $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ și $lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$ , pentru $x > 0$ , $y > 0$ , $a > 0$ , $a \neq = 1$ ; $l g (k \cdot x^{a}) = l g k + a \cdot l g x$ , cu $k > 0$ și $x > 0$ .

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 7, 10 a)	puterile cu exponent real: aducerea la aceeași bază și factorul comun	Bac tehnologic: reguli pentru puteri reale
2, 3, 8, 10 b)	scoaterea factorilor de sub radical, la ordinul 2 și la ordinul 3	Factori de sub radical, ordin 2 și 3: tehnologic
4, 5, 9, 10 c)	logaritmul unui produs, al unui cât și al unei puteri	Logaritmul produsului: reguli de calcul, tehnologic
6, 11	logaritmarea unei expresii și alegerea tastei sau a valorilor date	Logaritmare: calcule pe expresii la tehnologic

Marcajul „tip Bacalaureat M3” îl au exercițiile 3, 5 și 10, făcute după cerințe reale din Subiectul I al probelor oficiale („Arătați că …” sau „Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația …”), dar cu alte numere și alte rezultate.

Programa și examenul. Testul despre puteri, radicali și logaritmi se numără printre cele ale suplimentului pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029. Puterile cu exponent real, factorii scoși de sub radical, regulile logaritmilor și logaritmarea se află în programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), iar programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) le cuprinde doar parțial sau deloc. Între probele oficiale din 2013–2026, regulile puterilor figurează în 7 probe, factorii de sub radical în 22 de probe și regulile logaritmilor în 4 probe, toate la Subiectul I; logaritmarea unei expresii n-a apărut încă, dar poate fi cerută, fiindcă este în programă. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) temele reapar, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la profilul MAT_P3. Elevii care au intrat în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace susțin Bacalaureatul din 2030 încolo (OMEC 4138/2026), iar cei din promoțiile 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 susțin Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.