Test tehnologic: radical, exponențială, logaritm

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcții: lecturi grafice

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Un teren pătrat cu aria de $A$ metri pătrați se îngrădește cu gard care costă 30 de lei pe metru. Costul gardului este $C(A)=120\sqrt{A}$ lei. Aria terenului crește de la 25 m² la 225 m². Ce se întâmplă cu costul gardului?

Variantele: a) „crește cu 200 de lei, ca aria”; b) „se înmulțește cu 3”; c) „se înmulțește cu 9, ca aria”; d) „se înmulțește cu 81”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Pe apa unui port, o pată de ulei își dublează aria la fiecare 2 ore. Aria ei, în m², la $t$ ore de la primul semnal este $a(t)=30\cdot 2^{t/2}$. Calculează aria după 6 ore și află după câte ore ajunge la 480 m².

Exercițiul 3 (5 puncte)

Un cod de acces format din $n$ cifre (fiecare cifră de la 0 la 9) are $C=10^n$ combinații posibile, deci $n=\lg C$. Calculează câte cifre are un cod cu un milion de combinații și de câte ori crește numărul de combinații atunci când se adaugă 2 cifre.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un telemetru ultrasonic calculează viteza sunetului în aer cu formula $v(T)=20\sqrt{T}$ m/s, unde $T$ este temperatura aerului în kelvin. Calculează viteza pentru $T=289$ K și află la ce temperatură viteza este de 360 m/s.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Iarba cosită pentru fân se usucă pe câmp: în fiecare zi însorită pierde 20 % din apa pe care o mai conține. Iarba de pe o parcelă conține, proaspăt cosită, 1250 kg de apă; după $x$ zile însorite, apa rămasă, în kilograme, este $C(x)=1250\cdot 0,8^x$. Calculează câtă apă mai conține iarba după 3 zile însorite și ce procent din apa inițială reprezintă.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Care dintre egalitățile de mai jos este adevărată?

Variantele: a) „$\lg 0,01=2$”; b) „$\lg 0,01=0,1$”; c) „$\lg (-100)=2$”; d) „$\lg 0,01=-2$”.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Perioada de oscilație a unui vibrator cu masa $m$, în kilograme, este $T(m)=0,5\sqrt{m}$ secunde, pentru $m\in [4;64]$.

a) (5 puncte) Calculează $T(4)$ și $T(64)$ și scrie mulțimea valorilor lui $T$.

b) (5 puncte) Pentru ce mase din $[4;64]$ este perioada cuprinsă între 1,5 s și 3 s, capetele incluse?

Exercițiul 8 (10 puncte)

După oprire, un cuptor de tratament termic se răcește: diferența dintre temperatura lui și cea din atelier se înjumătățește la fiecare 5 minute. Diferența, în °C, la $t$ minute după oprire este $D(t)=160\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/5}$.

a) (5 puncte) Calculează $D(15)$ și de câte ori a scăzut diferența față de cea de la oprire.

b) (5 puncte) După câte minute ajunge diferența la 5 °C? Dar la 2,5 °C?

Exercițiul 9 (10 puncte)

La sterilizarea conservelor, tratamentul termic distruge sporii; reducerea logaritmică a tratamentului este $R=\lg \frac{N_0}{N}$, unde $N_0$ este numărul de spori pe gram dinainte de tratament, iar $N$ cel rămas după tratament.

a) (5 puncte) Un lot are $N_0=10^8$ spori pe gram, iar după tratament rămân $N=10^3$. Calculează $R$ și ce procent din spori a fost distrus.

b) (5 puncte) Fiecare minut de tratament dă o reducere logaritmică de 0,4. Câte minute sunt necesare ca din $10^8$ spori pe gram să rămână cel mult 10?

Partea a III-a – Sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Sinteză.) Un atelier încasează din vânzarea a $x$ mii de piese $V(x)=11\sqrt{x}$ mii de lei, fiindcă piața se saturează, și are cheltuieli de $C(x)=\frac{x}{2}+56$ mii de lei, pentru $x\in [0;400]$. Atelierul câștigă atunci când $V(x)>C(x)$.

a) (5 puncte) Calculează $V$ și $C$ pentru $x=100$ și pentru $x=324$ și spune la care dintre cele două cantități câștigă atelierul.

b) (5 puncte) Notează $s=\sqrt{x}$ și arată că egalitatea $V(x)=C(x)$ se scrie $s^2-22s+112=0$. Află valorile lui $x$ pentru care atelierul nu câștigă și nu pierde.

c) (5 puncte) Pentru ce valori ale lui $x$ câștigă atelierul și care este câștigul maxim, în mii de lei?

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Într-o probă de lapte crud ținută la cald în laborator, numărul de bacterii pe mililitru se înmulțește de 10 ori la fiecare 3 ore: $N(t)=1000\cdot 10^{t/3}$, cu $t$ în ore de la prima analiză.

a) (5 puncte) Calculează $\lg N(t)$ pentru $t=0,3,6$ și $9$ și află rația progresiei aritmetice formate de cele patru numere.

b) (5 puncte) Scrie $\lg N(t)$ în funcție de $t$ și află după câte ore ajunge numărul de bacterii la $10^7$ pe mililitru.

c) (5 puncte) Laboratorul a fixat pentru această probă pragul de $10^9$ bacterii pe mililitru. După câte ore de la prima analiză depășește numărul de bacterii acest prag?

Barem și răspunsuri

Rezolvările sunt scrise pe pași, iar punctele fiecărui pas apar între paranteze. O rezolvare diferită, dar corectă, are același punctaj. Îngroșate sunt rezultatele finale. Fără calcul și fără justificare, la Partea a III-a, un rezultat nu ia punctajul unui subpunct.

Exercițiul 1.

$C(25)=120\sqrt{25}=120\cdot 5=600$ lei (1 p) și $C(225)=120\sqrt{225}=120\cdot 15=1800$ lei (1 p). Raportul este $1800:600=3$, deci costul se înmulțește cu 3, iar răspunsul este $\mathbf{b})$ (2 p). Celelalte sunt false: costul crește cu $1800-600=1200$ de lei, iar 200 este creșterea ariei; aria se înmulțește cu $225:25=9$, dar costul cu $\sqrt{9}=3$; numărul 81 este $9^2$ (1 p).

Exercițiul 2.

$a(6)=30\cdot 2^3=30\cdot 8=240$ m² (2 p). Din $30\cdot 2^{t/2}=480$ rezultă $2^{t/2}=16=2^4$ (2 p), deci $\frac{t}{2}=4$ și $t=8$ ore (1 p). Verificare: aria se dublează din 2 în 2 ore, $30\to 60\to 120\to 240\to 480$, adică patru dublări, 8 ore.

Exercițiul 3.

Un milion este $10^6$, deci $n=\lg 10^6=6$ cifre (2 p). Cu 2 cifre în plus avem $n=8$ cifre și $10^8$ combinații (1 p), adică numărul de combinații se înmulțește cu $10^8:10^6=100$ (2 p). Verificare: fiecare cifră în plus înmulțește numărul de combinații cu 10, iar $10\cdot 10=100$.

Exercițiul 4.

$v(289)=20\sqrt{289}=20\cdot 17=340$ m/s (2 p). Din $20\sqrt{T}=360$ rezultă $\sqrt{T}=18$ (2 p), deci $T=18^2=324$ K (1 p). Verificare: $20\sqrt{324}=20\cdot 18=360$. Cine împarte 360 la 20 și se oprește obține $T=18$ K, dar 18 este rădăcina temperaturii, nu temperatura.

Exercițiul 5.

Scăderea cu 20 % înseamnă înmulțirea cu $1-0,2=0,8$ în fiecare zi (1 p). $0,8^3=0,512$ și $C(3)=1250\cdot 0,512=640$ kg de apă (2 p). Raportul $640:1250=0,512$ înseamnă $51,2\%$ din apa inițială (2 p). Verificare: în 3 zile se pierde $100\%-51,2\%=48,8\%$ din apă, nu $3\cdot 20\%=60\%$, fiindcă fiecare pierdere de 20 % se calculează din apa rămasă.

Exercițiul 6.

Avem $0,01=10^{-2}$, deci $\lg 0,01=-2$, iar răspunsul este $\mathbf{d})$ (2 p). Celelalte sunt false: $\lg 100=2$, dar numărul 0,01 este inversul lui 100, nu 100 (1 p); $10^{0,1}$ este mai mare decât 1, nu egal cu 0,01 (1 p); logaritmul se definește numai pentru numere pozitive, iar $-100<0$ (1 p).

Exercițiul 7.

a) (5 p) $T(4)=0,5\cdot 2=1$ s și $T(64)=0,5\cdot 8=4$ s (2 p). Funcția $T$ este strict crescătoare, fiindcă $0,5>0$ (1 p), deci ia toate valorile dintre 1 și 4: mulțimea valorilor este $[1;4]$ (2 p).

b) (5 p) Condiția este $1,5\le 0,5\sqrt{m}\le 3$ (1 p), adică $3\le \sqrt{m}\le 6$ (1 p). Numerele sunt pozitive și $T$ este crescătoare, deci ridicăm la pătrat: $9\le m\le 36$ (2 p). Masele cerute sunt $m\in [9;36]$ kg, care se află în $[4;64]$ (1 p). Verificare: $T(9)=0,5\cdot 3=1,5$ și $T(36)=0,5\cdot 6=3$.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Exponentul $\frac{15}{5}=3$ este numărul de perioade de înjumătățire (1 p), deci $D(15)=160\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=160:8=20$ °C (2 p). La oprire, $D(0)=160$ °C, iar $160:20=8$, adică diferența a scăzut de 8 ori (2 p).

b) (5 p) Din $160\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/5}=5$ rezultă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/5}=\frac{1}{32}={\left(\frac{1}{2}\right)}^5$ (2 p), deci $\frac{t}{5}=5$ și $t=25$ de minute (1 p). Pentru 2,5 °C: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/5}=\frac{2,5}{160}=\frac{1}{64}={\left(\frac{1}{2}\right)}^6$, deci $t=30$ de minute (2 p). Verificare: din 25 în 30 de minute diferența se înjumătățește o singură dată, de la 5 la 2,5 °C, iar o înjumătățire durează 5 minute.

Exercițiul 9.

a) (5 p) $R=\lg \frac{10^8}{10^3}=\lg 10^5=5$ (2 p). Rămân $10^3:10^8=10^{-5}$ din spori, adică $0,001\%$ (1 p), deci a fost distrus $100\%-0,001\%=99,999\%$ din spori (2 p).

b) (5 p) Din $N\le 10$ rezultă $R\ge \lg \frac{10^8}{10}=\lg 10^7=7$ (2 p). Cu 0,4 pe minut, $0,4t\ge 7$ (1 p), deci $t\ge 17,5$: sunt necesare cel puțin $17,5$ minute (2 p). Verificare: $0,4\cdot 17,5=7$, iar la 17 minute reducerea ar fi doar $6,8$, adică rămân mai mult de 10 spori pe gram.

Exercițiul 10.

a) (5 p) $V(100)=11\cdot 10=110$ și $C(100)=\frac{100}{2}+56=106$, deci $V(100)-C(100)=4>0$ (2 p). $V(324)=11\cdot 18=198$ și $C(324)=162+56=218$, deci $V(324)-C(324)=-20<0$ (2 p). Atelierul câștigă la 100 de mii de piese și pierde la 324 de mii (1 p).

b) (5 p) Cu $s=\sqrt{x}$ avem $x=s^2$, iar $11s=\frac{s^2}{2}+56$; înmulțind cu 2 obținem $22s=s^2+112$, adică $s^2-22s+112=0$ (2 p). Descompunem: $s^2-22s+112=(s-8)(s-14)$ (1 p), deci $s=8$ sau $s=14$ (1 p). Rezultă $x=s^2$, adică $x=64$ sau $x=196$ de mii de piese (1 p).

c) (5 p) $V(x)-C(x)=11s-\frac{s^2}{2}-56=-\frac{1}{2}(s^2-22s+112)=-\frac{1}{2}(s-11{)}^2+4,5$ (2 p). Diferența este pozitivă când $(s-11{)}^2<9$, adică $8<s<14$, deci pentru $x\in (64;196)$ (2 p). Cel mai mare câștig este 4,5 mii de lei, la $s=11$, adică $x=121$ de mii de piese (1 p). Verificare: la $x=100$ câștigul este $110-106=4$ și la $x=144$ este $132-128=4$, ambele mai mici decât 4,5.

Exercițiul 11.

a) (5 p) $N(0)=10^3$, $N(3)=10^4$, $N(6)=10^5$ și $N(9)=10^6$ (2 p), deci $\lg N$ ia valorile $3,4,5,6$ (2 p). Ele formează o progresie aritmetică cu rația $1$ (1 p).

b) (5 p) $\lg N(t)=\lg 1000+\lg 10^{t/3}=3+\frac{t}{3}$ (2 p). Pentru $10^7$ bacterii: $3+\frac{t}{3}=7$ (1 p), deci $\frac{t}{3}=4$ și $t=12$ ore (2 p).

c) (5 p) Numărul depășește $10^9$ dacă $\lg N(t)>9$, adică $3+\frac{t}{3}>9$ (2 p); atunci $\frac{t}{3}>6$ și $t>18$ (2 p). La $t=18$ numărul este exact $10^9$, deci pragul se depășește după mai mult de 18 ore (1 p). Verificare: $N(18)=1000\cdot 10^6=10^9$.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică ultimele trei lecții ale unității de funcții din clasa a IX-a, filiera tehnologică: „Scurgerea apei: funcția radical pentru tehnologic”, „Funcția exponențială și deprecierea, tehnologic” și „Logaritmul zecimal: concentrații, tehnologic”. Lecturile grafice, funcția de gradul I, funcția de gradul II și funcțiile-raport, adică primele patru lecții, au testul lor: „Test tehnologic: funcții citite pe grafic”.

• Punctaj: 90 de puncte pentru cele 11 exerciții și 10 puncte din oficiu; totalul este 100.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: lucrarea se rezolvă singur, pe foaie, fără calculator: rădăcinile sunt pătrate perfecte, bazele puterilor sunt 2, 0,8, $\frac{1}{2}$ și 10, iar logaritmul zecimal apare numai la puteri ale lui 10. Fiecare mărime are unitatea ei de măsură. La Partea a III-a contează drumul, nu doar rezultatul: fără calcul și justificare, un subpunct nu ia punctajul întreg. Ghidajul împarte exercițiul în pași mici (o întrebare cu patru variante, apoi un număr de aflat) și arată, la fiecare variantă greșită, unde s-a greșit; se deschide atunci când exercițiul se blochează.
• 90–100 de puncte: funcțiile elementare sunt stăpânite și se poate trece mai departe.
• 75–89 de puncte: exercițiile pierdute se reiau cu ajutorul ghidajului.
• 60–74 de puncte: se reiau lecțiile din tabel pentru exercițiile la care au rămas sub jumătate dintre puncte, iar testul se repetă peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: se reiau toate cele trei lecții, în ordine, iar testul se rezolvă cu ghidajul activ de la primul exercițiu.
• Formule de reținut: pentru $f(x)=c\sqrt{x}$, cu $c>0$ și $x\ge 0$, avem $f(x)=m⟺x={\left(\frac{m}{c}\right)}^2$, cu $m\ge 0$, iar funcția este strict crescătoare. Pentru $f(x)=V_0\cdot a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, factorul este $a=1-\frac{p}{100}$ la o scădere cu $p\%$ și $a=1+\frac{p}{100}$ la o creștere cu $p\%$; dacă mărimea se înjumătățește la fiecare perioadă, $a=\frac{1}{2}$, iar $x$ numără perioadele. Pentru logaritmul zecimal, $\lg x=y⟺10^y=x$, cu $x>0$; logaritmul zecimal al lui 10 la puterea $k$ este chiar $k$.

Niciuna dintre cele trei lecții nu a avut cerințe în probele oficiale 2013–2026, așa că testul nu conține exerciții marcate „tip Bacalaureat M3”. Partea a III-a este de sinteză: exercițiul 10 leagă radicalul de ecuația de gradul al doilea, iar exercițiul 11 leagă logaritmul zecimal de progresia aritmetică.

Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026); la ei, testul face parte din unitatea «IX.4», cu titlul «Funcții - observarea unor proprietăți ale funcțiilor utilizând lecturi grafice», fiecare dintre cele unsprezece exerciții fiind acoperit de ea. Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); la ei, programa din 2014 așază funcția radical la clasa a X-a și o cuprinde întreagă, funcția exponențială o cuprinde doar prin forma $a^x$, fără numărul $e$, iar funcția logaritmică doar prin ${\log }_{a}x$, fără logaritmii zecimal și natural. De aceea exercițiile 1, 4, 7 și 10 (radicalul) și 2, 5 și 8 ($a^x$) intră în programa lor, iar 3, 6, 9 și 11 (logaritmul zecimal) numai în parte. Nicio temă a testului nu a apărut în probele oficiale 2013–2026; fiind în programă, poate fi cerută.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.