Grupuri de matrice cu un parametru: formulă

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Este tiparul clasic de Subiectul al II-lea: $G=\{A(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$, cu o familie de matrice depinzând de un parametru. Rețeta în patru pași: stabilitate (se calculează produsul și se arată că are aceeași formă), asociativitate (moștenită de la înmulțirea matricelor, nu se reface), neutru ($A(0)$, care trebuie să fie chiar în $G$ — de obicei $I_2$), invers ($A(-x)$, obținut rezolvând $A(x)A(y)=A(0)$). Dacă, în plus, valori diferite ale lui $x$ dau matrice diferite (funcția $x\mapsto A(x)$ este injectivă), relația $A(x)A(y)=A(x+y)$ arată că $(G,\cdot )\simeq (\mathbb{R},+)$, prin $A(x)\mapsto x$; altfel această funcție nici nu este bine definită (la matricele de rotație, de exemplu, $A(x)=A(x+2\pi )$).

Exemplu: $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$: $A(x)A(y)=\left(\begin{array}{cc}1& x+y\\ 0& 1\end{array}\right)=A(x+y)$, $e=A(0)=I_2$, $A(x{)}^{-1}=A(-x)$.