Mica teoremă a lui Fermat pentru clase de resturi

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Este Consecința 2 a teoremei lui Lagrange aplicată grupului $U({\mathbb{Z}}_p,\cdot )$, care are $p-1$ elemente. Rețeta pentru puteri mari: se împarte exponentul la $p-1$ și se păstrează restul, fiindcă ${\hat{a}}^{k(p-1)+r}={\left({\hat{a}}^{p-1}\right)}^k{\hat{a}}^r={\hat{a}}^r$. ⚠️ Ipoteza $p$ prim e esențială: în ${\mathbb{Z}}_{10}$, clasa $\hat{2}$ nu e inversabilă și nicio putere a ei nu dă $\hat{1}$.

Exemplu: ${\hat{7}}^{23}$ în ${\mathbb{Z}}_{11}$: cum ${\hat{7}}^{10}=\hat{1}$, rămâne ${\hat{7}}^3=\widehat{343}=\hat{2}$, fiindcă $343=31\cdot 11+2$.