Ecuația de gradul întâi în clase de resturi

Formulă din tema Legi de compoziție și clase de resturi, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Când $d=1$, clasa $\hat{a}$ e inversabilă și soluția e unică: $\hat{x}={\hat{a}}^{-1}\hat{b}$. Când $d>1$ nu se poate înmulți cu inversul; se simplifică relația $n\mid (ax-b)$ prin $d$ și se rezolvă ecuația mai mică obținută în ${\mathbb{Z}}_{n/d}$, apoi se ridică soluția înapoi în ${\mathbb{Z}}_n$ adunând multiplii lui $\frac{n}{d}$. ⚠️ Greșeala clasică de barem: se dă o singură soluție acolo unde se cereau $d$ — răspunsul complet cere numărul lor, nu doar una dintre ele.

Exemplu: $\hat{6}\hat{x}=\widehat{10}$ în ${\mathbb{Z}}_{14}$: $d=(6,14)=2$ și $2\mid 10$, deci exact două soluții, $\hat{x}\in \{\hat{4},\widehat{11}\}$ (într-adevăr $6\cdot 4=24=14+10$ și $6\cdot 11=66=4\cdot 14+10$).