Parte stabilă și legea indusă

Formulă din tema Legi de compoziție și clase de resturi, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$H$ se numește parte stabilă a lui $M$ în raport cu $\ast$ (nu „parte închisă”), iar restricția lui $\ast$ la $H\times H$ se numește legea indusă. Verificarea se face cu elemente generice: se scriu $x$ și $y$ în forma care descrie mulțimea și se arată că $x\ast y$ are aceeași formă. Pentru a arăta că $H$ nu este parte stabilă e de ajuns o singură pereche care iese din $H$. Partea stabilă moștenește automat asociativitatea și comutativitatea de la legea de pe $M$, dar nu moștenește elementul neutru: el trebuie să fie în $H$.

Exemplu: Pentru $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$, mulțimea $H=(2,+\infty )$ este parte stabilă: din $x>2$ și $y>2$ rezultă $(x-2)(y-2)>0$, deci $x\ast y>2$.