Progresii aritmetice și geometrice: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Progresii, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a IX-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a IX-a; în tema ei stă la finalul paginii „Progresii”.

Primele două rânduri sunt ale progresiei aritmetice, cu rația $r$, diferența dintre doi termeni vecini; ultimele două sunt ale celei geometrice, cu rația $q$, raportul dintre doi termeni vecini. $a_n$ și $b_n$ sunt termenii de rang $n$, $a_1$ și $b_1$ primii termeni, iar $S_n$ este suma primilor $n$ termeni. Rangul începe de la $1$, deci între $a_1$ și $a_n$ sunt $n-1$ pași. În suma geometrică $q\ne 1$, altfel numitorul ar fi $0$. Capcană: un ultim termen mai mare nu garantează o sumă mai mare; compară sumele. Control: la $n=1$ ambele sume dau primul termen.

Exemplu: O brutărie vrea să crească producția de pâine, pornind de la $600$ de pâini în prima zi. Planul A adaugă zilnic $45$ de pâini față de ziua dinainte, planul B o crește zilnic cu $6\%$ față de ziua dinainte, deci $q=1,06$. În ziua a zecea: $a_{10}=600+9\cdot 45=1005$ și $b_{10}=600\cdot 1,06^9\approx 1014$. Totalurile pe zece zile: $S_{10}=\frac{10\cdot (600+1005)}{2}=8025$ la A, respectiv $S_{10}=600\cdot \frac{1-1,06^{10}}{1-1,06}\approx 7908$ la B. Verificare la A: $a_5+a_6=780+825=1605=a_1+a_{10}$. Planul B ajunge mai sus în ziua a zecea, dar A produce cu $117$ pâini mai multe în total, deci A e mai bun pe zece zile.