Test tehnologic: funcții inversabile și ecuații

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Supliment Bac M3 2027–2029: funcții — injectivitate, inversă, trigonometrice inverse

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculează $\sqrt[3]{-729}+\sqrt[3]{0,008}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Care dintre funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de mai jos este injectivă?

Variantele: a) „$f(x)=x^2-4x$”; b) „$f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$”; c) „$f(x)=2x^3-9$”; d) „$f(x)=3x^4+1$”.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=0,8x+14$, este bijectivă. Calculează $f^{-1}(30)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculează, în grade, $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{arctg}\sqrt{3}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{7x-3}=5$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Care dintre numerele de mai jos este soluție a ecuației ${\log }_2(x^2-7x+12)=1$?

Variantele: a) „2”; b) „3”; c) „4”; d) „6”.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

O fabrică de confecții cumpără stofă de la un furnizor care cere $C(m)=18,5m+240$ lei pentru $m$ metri, unde 240 de lei reprezintă transportul. Furnizorul livrează comenzi de la 20 m la 120 m, iar funcția $C:[20;120]\to \mathbb{R}$ este strict crescătoare.

a) (5 puncte) Calculează costul celei mai mici și al celei mai mari comenzi și scrie mulțimea valorilor lui $C$.

b) (5 puncte) Scrie funcția inversă $C^{-1}$ și află câți metri se cumpără cu 1 350 de lei. Poate fabrica să cumpere stofă de 2 800 de lei în aceste condiții de ofertă?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Temperatura din cuptorul unui atelier de ceramică a fost măsurată la 0, 10, 20 și 40 de minute după pornire: 20 °C, 220 °C, 380 °C și 620 °C. Unești punctele măsurătorilor printr-o linie frântă. Între măsurători temperatura crește fără salturi, iar curba ei are aceeași formă ca linia frântă.

a) (5 puncte) Calculează panta fiecărui pas, în °C pe minut, și spune ce formă are linia frântă: convexă, concavă sau dreaptă.

b) (5 puncte) Estimează pe coardă, între minutul 20 și minutul 40, temperatura la minutul 30. Valoarea reală este mai mare sau mai mică decât estimarea?

Exercițiul 9 (10 puncte)

O fabrică de prefabricate toarnă cuburi de beton cu muchia de $a$ dm. Masa unui cub este $m(a)=2,4a^3$ kg (valori din enunț).

a) (5 puncte) Ce muchie are un cub de 300 kg?

b) (5 puncte) Muchia cubului de la a) se dublează. Cât cântărește noul cub și de câte ori a crescut masa?

Partea a III-a – Cerințe de examen și o sinteză cu ecuații (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Cerințele a), b) și c) nu se sprijină una pe alta. Pentru orice număr real $b>0$, o primitivă a funcției $x\mapsto \frac{1}{x^2+b^2}$ este $x\mapsto \frac{1}{b}\mathrm{arctg}\frac{x}{b}$. Se mai dau trei rezultate de clasa a XII-a: o primitivă a funcției $x\mapsto 2x$ este $x\mapsto x^2$; două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă; integrala unei funcții de la $p$ la $q$ este $G(q)-G(p)$, unde $G$ este o primitivă a ei, iar pentru o funcție pozitivă ea este aria de sub grafic, între dreptele $x=p$ și $x=q$.

a) (5 puncte) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+5$. Determinați aria suprafeței plane cuprinse între graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{f(x)+11}$, axa $Ox$ și dreptele $x=-4$ și $x=4$.

b) (5 puncte) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+\frac{9}{x^2+1}$. Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(0)=0$.

c) (5 puncte) Se consideră funcția $f:(-4;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{9x}{x+4}$. Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^{2}f(x^2)dx=6(3+a\pi )$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Fiecare dintre cele trei ecuații are altă notație și se rezolvă separat.

a) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $25^x-30\cdot 5^x+125=0$.

b) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+66}=x-6$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\lg }^{2}x+\lg x-6=0$.

Barem și răspunsuri

Pașii rezolvărilor au punctele trecute între paranteze, iar orice metodă corectă păstrează aceleași puncte. Valorile finale sunt îngroșate. La Partea a III-a nu ajunge rezultatul: sunt necesare și calculele, și explicația.

Exercițiul 1.

Rădăcina cubică există și pentru numere negative: $\sqrt[3]{-729}=-9$, fiindcă $(-9{)}^3=-729$ (2 p). Apoi $\sqrt[3]{0,008}=0,2$, fiindcă $0,2^3=0,008$ (2 p). Suma este $-9+0,2=-8,8$ (1 p). Verificare: $(-9{)}^3=-729$ și $0,2^3=0,008$. Cine spune că $\sqrt[3]{-729}$ nu există confundă ordinul 3 cu ordinul 2.

Exercițiul 2.

Pentru a), b) și d) se caută perechi de numere diferite cu aceeași valoare: $f(0)=0=f(4)$ la a), $f(-1)=\frac{1}{2}=f(1)$ la b) și $f(-1)=4=f(1)$ la d) (3 p). La c), din $2x_1^3-9=2x_2^3-9$ rezultă $x_1^3=x_2^3$, deci $x_1=x_2$; funcția este injectivă, iar răspunsul este $\mathbf{c})$ (2 p). Verificare: graficul lui $2x^3-9$ urcă mereu, deci orice orizontală îl taie cel mult o dată, pe când ceilalți trei sunt tăiați de unele orizontale în două puncte.

Exercițiul 3.

Din $y=0,8x+14$ rezultă $x=\frac{y-14}{0,8}$, deci $f^{-1}(y)=\frac{y-14}{0,8}$ (2 p). Atunci $f^{-1}(30)=\frac{16}{0,8}=20$ (2 p). Verificare: $f(20)=0,8\cdot 20+14=30$ (1 p). Cine calculează $f(30)=38$ aplică funcția, nu inversa ei.

Exercițiul 4.

Unghiul al cărui sinus este $\frac{\sqrt{2}}{2}$ și care stă în $\left[-90^{\circ };90^{\circ }\right]$ este $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=45^{\circ }$ (2 p). Unghiul din $\left(-90^{\circ };90^{\circ }\right)$ cu tangenta $\sqrt{3}$ este $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=60^{\circ }$ (2 p). Suma este $45^{\circ }+60^{\circ }={105}^{\circ }$ (1 p). Verificare: $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$.

Exercițiul 5.

Radicalul este egal cu un număr pozitiv, deci se ridică la pătrat: $7x-3=5^2=25$ (3 p). Rezultă $7x=28$, deci $x=4$, care convine: $\sqrt{7\cdot 4-3}=\sqrt{25}=5$ (2 p).

Exercițiul 6.

Se înlocuiește fiecare valoare. Pentru $x=2$: argumentul este $4-14+12=2$, iar ${\log }_{2}2=1$, deci $x=2$ este soluție (2 p). Pentru $x=3$ și $x=4$ argumentul este $0$, iar ${\log }_{2}0$ nu există (2 p). Pentru $x=6$ argumentul este $36-42+12=6$, iar ${\log }_{2}6\ne 1$, deci răspunsul este $\mathbf{a})$ (1 p). Verificare: ecuația $x^2-7x+12=2$ mai are soluția $x=5$, care nu figurează printre variante.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Costul comenzii celei mai mici este $C(20)=18,5\cdot 20+240=370+240=610$ lei (2 p), iar al celei mai mari, $C(120)=18,5\cdot 120+240=2220+240=2460$ lei (2 p). Funcția crește odată cu $m$, deci mulțimea valorilor este $[610;2460]$ (1 p).

b) (5 p) Din $y=18,5m+240$ rezultă $m=\frac{y-240}{18,5}$, deci $C^{-1}(y)=\frac{y-240}{18,5}$ (1 p), cu $C^{-1}:[610;2460]\to [20;120]$ (1 p). Pentru 1 350 de lei: $C^{-1}(1350)=\frac{1110}{18,5}=60$ m (2 p). Suma de 2 800 de lei este peste 2 460, iar formula ar da $\frac{2560}{18,5}\approx 138,4$ m, peste 120 m, deci nu se poate cumpăra în aceste condiții (1 p). Verificare: $C(60)=1110+240=1350$.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Pantele sunt $\frac{220-20}{10-0}=20$, $\frac{380-220}{20-10}=16$ și $\frac{620-380}{40-20}=12$ °C pe minut (3 p). Pantele scad, deci linia frântă este concavă (2 p). Verificare: sporurile brute 200, 160, 240 nu scad și nu cresc, dar pașii au lungimi diferite (10, 10 și 20 de minute), așa că sporurile nu se compară direct.

b) (5 p) Coarda dintre punctele $(20;380)$ și $(40;620)$ are panta 12, deci la minutul 30 estimarea este $380+12\cdot 10=500$ °C (3 p). Curba temperaturii are forma liniei frânte, deci este concavă, iar o curbă concavă stă deasupra coardei: valoarea reală este mai mare decât 500 °C (2 p). Verificare: estimarea este chiar media valorilor $380$ și $620$.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Din $2,4a^3=300$ rezultă $a^3=125$ (2 p), deci $a=\sqrt[3]{125}=5$ dm (2 p). Verificare: $2,4\cdot 125=300$ (1 p).

b) (5 p) Noua muchie este $2\cdot 5=10$ dm (1 p), iar masa este $m(10)=2,4\cdot 1000=2400$ kg (2 p). Raportul maselor este $\frac{2400}{300}=8$, adică masa a crescut de 8 ori, fiindcă $2^3=8$ (2 p). Verificare: cine crede că masa se dublează odată cu muchia uită că volumul crește cu cubul.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Funcția este $g(x)=\frac{1}{x^2+5+11}=\frac{1}{x^2+16}$, pozitivă, cu $b=4$, deci o primitivă este $G(x)=\frac{1}{4}\mathrm{arctg}\frac{x}{4}$, iar aria este ${\int }_{-4}^{4}g(x)dx=G(4)-G(-4)$ (3 p). Cum $G(4)=\frac{1}{4}\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{16}$ și $G(-4)=\frac{1}{4}\mathrm{arctg}(-1)=-\frac{\pi }{16}$, aria este $\frac{\pi }{16}+\frac{\pi }{16}=\frac{\pi }{8}$ (2 p). Cine ia $G(-4)=0$ obține doar jumătatea, $\frac{\pi }{16}$.

b) (5 p) O primitivă a lui $f$ este $x^2+9\mathrm{arctg}x$, deci $F(x)=x^2+9\mathrm{arctg}x+c$, cu $c$ constantă (3 p). Din $F(0)=0+9\mathrm{arctg}0+c=0$ rezultă $c=0$, deci $F(x)={\mathbf{x}}^2+9\mathrm{arctg}\mathbf{x}$ (2 p).

c) (5 p) Se calculează $f(x^2)=\frac{9x^2}{x^2+4}=9-\frac{36}{x^2+4}$, iar ${\int }_0^{2}f(x^2)dx=9\cdot 2-36\cdot \frac{1}{2}\mathrm{arctg}1=18-18\cdot \frac{\pi }{4}$ (3 p). Atunci integrala este $18-\frac{9\pi }{2}=6\left(3-\frac{3\pi }{4}\right)$, deci $a=-\frac{3}{4}$ (2 p).

Exercițiul 11.

a) (5 p) Se notează $t=5^x$, cu $t>0$; atunci $25^x=t^2$ și ecuația devine $t^2-30t+125=0$ (2 p). Soluțiile sunt $t=5$ și $t=25$, ambele pozitive (1 p). Din $5^x=5$ rezultă $x=1$, iar din $5^x=25$ rezultă $x=2$ (2 p). Verificare: $25-150+125=0$ și $625-750+125=0$.

b) (5 p) Se pune condiția $x-6\ge 0$, adică $x\ge 6$ (1 p). Ridicând la pătrat: $x+66=x^2-12x+36$, deci $x^2-13x-30=0$ (2 p), cu soluțiile $x=15$ și $x=-2$ (1 p). Valoarea $-2$ nu convine, fiindcă $-2<6$, iar $x=15$ convine: $\sqrt{81}=9=15-6$ (1 p).

c) (5 p) Se notează $t=\lg x$, cu $x>0$, iar $t$ poate fi orice număr real; ecuația devine $t^2+t-6=0$ (2 p), cu soluțiile $t=2$ și $t=-3$ (1 p). Din $\lg x=2$ rezultă $x=100$, iar din $\lg x=-3$ rezultă $x=0,001$ (2 p). Verificare: $4+2-6=0$ și $9-3-6=0$.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică restul suplimentului clasei a X-a, adică funcțiile și ecuațiile, prin cele opt lecții ale celor două unități: „Putere și radical de ordin 3: grafice, tehnologic”, „Injectivitatea: coduri unice de produs, tehnologic”, „Funcția inversă: preț și cantitate, tehnologic”, „Funcții trigonometrice inverse pentru tehnologic”, „Convexitatea la tehnologic: îngrășământ și recoltă”, „Ecuații cu radicali: verifici soluțiile, tehnologic”, „Bac tehnologic: ecuații exponențiale și logaritmice” și „Ecuații cu t = ceva: substituția la tehnologic”. Calculele cu puteri, radicali și logaritmi au testul lor, iar numerele complexe, altul.

• Punctaj: din cele unsprezece exerciții se adună 90 de puncte, iar cu cele 10 puncte din oficiu se ajunge la 100.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: testul se scrie singur, pe foaie, fără calculator; acolo unde se rotunjește, enunțul dă valorile necesare. La ecuații, verificarea soluției în ecuația de început face parte din rezolvare: la radicali și la logaritmi, o valoare păstrată fără verificare nu ia punctajul întreg al subpunctului. Partea a III-a cere calculele și explicația. Ghidajul se deschide la nevoie: prima treaptă este o întrebare cu patru variante, urmează numerele de aflat, iar o variantă greșită îți arată ce ai confundat.
• 90–100 de puncte: suplimentul clasei a X-a este stăpânit; urmează lecțiile clasei a XI-a.
• 75–89 de puncte: pentru fiecare exercițiu cu puncte lipsă deschizi ghidajul și îl parcurgi treaptă cu treaptă.
• 60–74 de puncte: lecțiile din tabel devin tema pentru exercițiile cu sub jumătate din puncte; testul se scrie din nou peste opt zile.
• Sub 60 de puncte: reiei cele opt lecții, în ordinea din tabel, și scrii testul cu ghidajul de la primul exercițiu.
• Formule de reținut: $\sqrt[3]{x^3}=x$ și ${\left(\sqrt[3]{y}\right)}^3=y$ pentru orice numere reale; $f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$ pentru funcții injective; $f^{-1}(f(x))=x$ și $f(f^{-1}(y))=y$ pentru $f$ bijectivă, iar pentru $f(x)=ax+b$ cu $a\ne 0$, $f^{-1}(y)=\frac{y-b}{a}$; $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$, $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$; panta unui pas este creșterea lui $y$ împărțită la lungimea pasului pe axa $x$, iar pante crescătoare dau linie convexă și pante descrescătoare, linie concavă; $\sqrt{A}=B⟺A=B^2$ și $B\ge 0$; $a^u=a^v⟺u=v$ pentru $a>0$, $a\ne 1$; ${\log }_{a}f=c⟺f=a^c$, cu $f>0$; la o notație $t$, condiția pe $t$ vine din notația aleasă.

Marcajul „tip Bacalaureat M3” îl au exercițiile 5 și 10, făcute după cerințe reale din probele oficiale (ecuația cu radical din Subiectul I, iar la exercițiul 10, aria, primitiva și integrala din Subiectul al III-lea), dar cu alte numere și alte rezultate.

Programa și examenul. Testul de față reprezintă o parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029. Funcția putere și radicalul de ordin 3, funcțiile injective, bijective și inverse, funcțiile trigonometrice inverse, convexitatea de pe grafic și ecuațiile cu radicali, exponențiale, logaritmice sau cu schimbare de necunoscută figurează în programa de examen OMEN 4430/2014, la clasa a X-a, în timp ce programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) le prevede doar parțial sau deloc. Printre probele oficiale 2013–2026, ecuațiile cu radicali apar în 31 de probe, la Subiectul I; ecuațiile exponențiale și logaritmice, în 52 de probe, la Subiectul I și la Subiectul al II-lea; funcțiile trigonometrice inverse, în 4 probe, la Subiectul al III-lea. Restul temelor nu s-au dat încă, însă pot fi cerute, fiindcă sunt în programă. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6), ecuațiile cu radicali și cele exponențiale și logaritmice reapar, parțial, în unitatea IX.4 (funcții, lecturi grafice), la toate cele patru profiluri, iar celelalte teme nu mai sunt în programa de examen. Cine a început clasa a IX-a în 2026–2027 sau mai târziu va da Bacalaureatul din 2030 încolo (OMEC 4138/2026), pe programele noi, pe când absolvenții promoțiilor de intrare 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.